黑龙江省伊春市宜春同安中学高三数学理下学期期末试卷含解析

黑龙江省伊春市宜春同安中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的值是

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：

D2.函数的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2] B．[0，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）参考答案：C【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C4.某几何体的三视图如图，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的表面积即可．解答： 解：由三视图可知几何体底面半径为1，高为的圆锥的一半，圆锥的母线长为：2．所以所求几何体的表面积为：S表=S侧+S底=π?1?1++=．故选C．点评：本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．5.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称数x1，x2为[a，b]上的“对望数”，函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+m是[0．m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是(

) A．（1，） B．（，3） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，）∪（，3）参考答案：B考点：导数的运算；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=m2﹣m，即方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围解答： 解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x1）==m2﹣m，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=x2﹣2x，∴方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解．令g（x）=x2﹣2x﹣m2+m，（0＜x＜m）．则，解得＜a＜3，∴实数a的取值范围是（，3）．故选：B．点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数f（x）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m所满足的条件，解之即得所求．属于中档题．6.已知定义在R上函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=f（x），得到关于t的函数g（t），通过求导得到函数g（t）的大致图象，从而判断出所求方程解的个数．【解答】解：令t=f（x），则有t3﹣3t﹣1=0，令g（t）=t3﹣3t﹣1，g′（t）=3t2﹣3=3（t+1）（t﹣1），于是可得：g（t）的图象如下：，∴方程t3﹣3t﹣1=0有3个不同的解，其中2个解是负的，而函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，∴方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0有2个不同的实数解，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道中档题．7.等于A． B． C． D．参考答案：D8.定义；平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy中，若=xe1+xe2(其中e1、e2分别是斜坐标系x轴y轴正方向上的单位向量x,yR，O为坐标系原点)，则有序数对(x，y)称为点P的斜坐标．在平面斜坐标系xOy中，若∠xOy=120o，点C的斜坐标为(1，2)，则以点C为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程是(

)

A．x2+y2－xy－3y+2=0

B．x2+y2－2x－4y+4=0

C．x2+y2－xy+3y－2=0ks5u

D．x2+y2－2x+4y－4=0参考答案：A略9.如图所示的程序框图的输出结果是（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的an，T的值，当T=时，满足条件T＞2，退出循环，输出n的值为10．【解答】解：模拟执行程序，可得T=1，n=3a3=，T=，n=4不满足条件T＞2，a4=，T=×，n=5不满足条件T＞2，a5=，T=××，n=6…不满足条件T＞2，a4=，T=××…×==，n=10此时，满足条件T=＞2，退出循环，输出n的值为10．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．10.在平行四边形ABCD中，,E为CD的中点．若，

则AB的长为A.

B.1

C．

D．2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率

．参考答案：略12.已知z、y满足，则的最大值是________．参考答案：略13.已知分别是双曲线的左右焦点，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足则面积的最大值是

参考答案：解：设，由题意得，c=1由双曲线定义∴由余弦定理当时面积的最大值是说明：此题还可以用海伦公式完成当时面积的最大值是14.已知平行四边形ABCD中，AB=AC，，则此平行四边形面积的最大值为_____．参考答案：12【分析】如图所示，设AB=x,则，OB=3,先求出，再求出平行四边形的面积S的表达式，再利用换元和二次函数的图像和性质求函数的最大值.【详解】如图所示，设AB=x,则，OB=3,所以，所以，由题得.由题得平行四边形的面积S=设,所以当t=时，故答案为：12【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知函数，则

.参考答案：-2

16.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.参考答案：120分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．详解：．故答案为120．点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．17.设全集，非空集合A，B满足以下条件：①，；②若，，则且当时，1______B（填或），此时B中元素个数为______.参考答案：

18【分析】先假设1∈A，推出与条件矛盾，得1∈B，然后根据条件以及进行讨论求解即可．【详解】（1）因为，；所以，有且只有一个成立，若，对于任一个，1·，与若，，则矛盾，所以，不成立，只有；（2）因为，所以，，若，则与矛盾，所以，，由，可得：，同理，若，因为，所以，，与矛盾，所以，，因为，所以，，，可推得：，若，由，可得：，与矛盾，所以，，所以，，若，由，可得：，与矛盾，所以，，所以，，所以，，，共有18个。【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用反证法结合分类讨论进行求解即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=900，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成的角；参考答案：解析：解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH//AD//EF，∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，∴PB//面EFG。

（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，同理，又，∴在Rt△MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为。

12分解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则，，，，，，，。（1）证明：∵，，，设，即解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。

6分（2）解：∵，，∴。故异面直线EG与BD所成的角为。

12分19.设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．20.（本小题满分14分）在海岸处，发现北偏东45方向,距离的处有一艘走私船,在处北偏西75的方向，距离

2的处的缉私船奉命以

的速度追截走私船，此时，走私船正以10的速度从处向北偏东30方向逃窜.(1)求线段的长度；（4分）（2）求的大小；（4分）（参考数值：）（3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船?（6分）

参考答案：解:（1）在中，90+30=120,………………

1分由余弦定理，得………………

2分==6，……………

3分所以，=

.……………

4分

（2）在中，由正弦定理，得，所以，………………

6分==.

………………

7分又，.…

……………

8分（3）设缉私船用th在D处追上走私船,如图,则有.在△ABC中,

又90+30=120,在△BCD中,由正弦定理,得sin

…

8分.

…

10分∴,又因为

…

12分所以==即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.…

14分21.(12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。参考答案：解析：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：0123

甲答对试题数的数学期望：

（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为