河北省张家口市黑山寺中学高三数学理月考试题含解析

河北省张家口市黑山寺中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（

）A．{－1,0,1,2}

B．{－2,－1,0,1}C．{－3,－2,2,3}

D．{－3,－2,3}参考答案：D2.已知则（）A．

B．

C.6

D．1参考答案：A3.已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|2﹣|FB|2|的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程求得焦点坐标，利用直线方程的点斜式，求得直线的方程与抛物线方程联立，求得x1=3，x2=，然后根据抛物线的定义，答案可得．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）抛物线的焦点为（1，0），则直线方程为y=（x﹣1），代入抛物线方程得3x2﹣10x+3=0∴x1=3，x2=，根据抛物线的定义可知||FA|2﹣|FB|2|=|（3++2）（3﹣）|=，故选B．4.若曲线y=ex﹣（a＞0）上任意一点切线的倾斜角的取值范围是[，），则a=（）A． B． C． D．3参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导f′（x）=ex+，从而由f′（x）=ex+≥，求解．【解答】解：f′（x）=ex+，∵f（x）=ex﹣在任一点处的切线的倾斜角的取值范围是[，），∴f′（x）=ex+≥，∴≤[f′（x）]min，而由a＞0知，ex+≥2；（当且仅当ex=时，等号成立），故2=，故a=故选：C．5.已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点满足：，则A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B6.已知正整数列中，，则等于 （

） A．16 B．8 C． D．4参考答案：D略7.数列的前项和为，若，则等于（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：B8.（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．9.过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A10.已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2015）=（） A． B． C． ﹣ D． 0参考答案：考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．解答： 解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6个一循环2015届÷6=370余5f（2015）=f（5）=．故选：B．点评： 本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（2，0），则p=

；若已知点A（6，3），且点M在抛物线C上，则|MA|+|MF|的最小值为

．参考答案：4；

8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点坐标，真假求解P即可；判断A的位置，利用抛物线的性质求解|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F（2，0），则p=4；已知点A（6，3），且点M在抛物线C：y2=8x上，可知A的抛物线内部，则|MA|+|MF|的最小值为M到抛物线的准线的距离；抛物线的准线方程为：x=﹣2，则|MA|+|MF|的最小值为：8．故答案为：4；

8．12.13.设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是

。参考答案：

13.若，则__________．参考答案：14.若向量与满足：，则与的夹角为________参考答案：120略15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则Sn=

。参考答案：44

略16.设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为．参考答案：23【考点】简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，5）目标函数z=2x+3y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=23．故答案为：2317.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速的范围是[30,80]，数据分组为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]．设时速达到或超过60km/h的汽车有x辆，则x等于________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分10分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。（I）求证：DE是⊙O的切线；（II）若的值.参考答案：（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC

…2分∴OD//AE

又AE⊥DE

…………………3分∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线

………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB

…………6分设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x

……………8分又由△AEF∽△DOF

可得

……………………10分19.（14分）已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.

参考答案：解析：（I）由

（II）

（III）

（i）当n=1时结论成立（已验证）.

（ii）假设当

故只须证明

即n=k+1时结论成立.

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.

故

20.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1．

（1）求f(x)的解析式；（2）区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．参考答案：解析：(1)设f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，

故f（x）＝ax2＋bx＋1．

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．

即2ax＋a＋b＝2x，所以，

∴f(x)＝x2－x＋1．(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x)在[－1，1]上递减．故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．21.已知．（1）证明；（2）若，记的最小值为m，解关于x的不等式．参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）由绝对值三角不等式证明；（2）利用基本不等式求m，再零点分段解不等式【详解】（1）．当且仅当,等号成立（2）∵，当且仅当a=b=c等号成立由不等式即．由得：不等式的解集为．【点睛】本题考查绝对值三角不等式证明，考查基本不等式求最值及绝对值不等式的解法，考查计算能力，是中档题22.（2016秋?安庆期末）已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为ρ=6cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数，θ∈R）．（Ⅰ）求曲线Ω的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l交曲线Ω于A、C两点，过点（4，﹣1）且与直线l垂直的直线l0交曲线Ω于B、D两点．求四边形ABCD面积的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程即ρ2=6ρcosθ，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，把它化为直角坐标方程；消去参数，可得直线l的普通方程；（Ⅱ）先确定AC2+BD2为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x；直线l的参数方程是（t为参数，θ∈R），直线l的普