2022年广东省湛江市培才中学高二数学文上学期摸底试题含解析

2022年广东省湛江市培才中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一段演绎推理是这样的：“两个角不相等，则它们的正弦值也不相等；已知角，则”，结论显然是错误的，这是因为（

）A大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.大前提和小前提都是错误的参考答案：A分析：逐次判断大前提、小前提以及推理形式是否正确即可得结果.详解：因为两个角不相等，正弦值可以相等，比如与，角不相等，而正弦值相等，所以”两个角不相等，则它们的正弦值也不相等”错误，即大前提错误，故选A.点睛：本题主要考查三段论的基本原理，属于简单题.要正确应用三段论，大前提与小前提都正确，才能保证结论正确.2.若直线与直线平行，则实数的值为（

）A．

B．1

C．1或

D．

参考答案：A3.在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）．A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：由，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．4.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+x0)与曲线C

(

)

A.恰有一个公共点

B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点

D.没有公共点参考答案：D6.已知复数z=-1+i,则在复平面内对应的点在第（）象限。Ａ．一

Ｂ．二

Ｃ．三

Ｄ．四参考答案：C略7.将个不同的球放入个不同的盒中，每个盒内至少有个球，则不同的放法种数为（

）A.24

B.36

C.48

D.96参考答案：B8.用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：数学归纳法．专题：常规题型．分析：直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．解答： 解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选B．点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．9.函数f(x)=的零点的个数是（

）A.3个

B.2个

C.1个

D.0个参考答案：B略10.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于(

)A．66 B．99 C．144 D．297参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是_________________.参考答案：（0，）略12.已知直线，则两平行直线间的距离为

.参考答案：13.已知函数f(x)＝xex，则函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程为_______；参考答案：略14.已知点A（0，2）为圆C：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0（a＞0）外一点，圆C上存在点P使得∠CAP=45°，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，由题意可得1≥≥sin∠CAP，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，∴圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，∴AC=，PC=|a|，∵AC和PC长度固定，∴当P为切点时，∠CAP最大，∵圆C上存在点P使得∠CAP=45°，∴若最大角度大于45°，则圆C上存在点P使得∠CAP=45°，∴=≥sin∠CAP=sin45°=，整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤﹣，又=≤1，解得a≤1，又点A（0，2）为圆C：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1∵a＞0，∴综上可得﹣1≤a＜1．故选B．【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．15.已知函数，（为常数），若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围是

．参考答案：16.已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，.其中正确的是

（将所有你认为正确的序号填在横线上）．参考答案：③④17.棱长为2的四面体的体积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值．【解答】解：（1）函数f（x）=cosx﹣cos（x+）=cosx+sinx=sin（x+），∴f（x）的最小正周期为=2π．（2）对于f（x）=sin（x+），当x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为；当x+=2kπ﹣，即x=2kπ﹣，k∈Z时，函数f（x）取得最小值为﹣．19.已知集合，，（1）求

（2）

（3）参考答案：（1）

8分（2）

11分（3）

14分

略20.

已知等差数列满足：，．的前项和为．求及；（2）令，求数列的前项和．参考答案：（1）设等差数列的首项为，公差为．

由于，则解得．

所以，

．

（2）因为，

所以．

因此

．

所以数列的前项和为=．略21.已知定圆M：（x+）2+y2=16，动圆N过点F（，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为C直线l过点E（﹣1，0）且与C于A，B（Ⅰ）求轨迹C方程；（Ⅱ）△AOB是否存在最大值，若存在，求出△AOB的最大值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以N，F为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x=my﹣1，联立椭圆方程，整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得y1=，y2=．再换元，结合函数的单调性，由此能求出S△AOB的最大值．【解答】解：（I）易知点F（，0）在圆M：（x+）2+y2=16内，所以圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，所以|NM|+|NF|=4＞2=|FM|，所以点N的轨迹C为椭圆，且2a=4，c=，所以b=1，所以轨迹C的方程为=1

（Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．…因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x=my﹣1或y=0（舍）．联立椭圆方程，整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．…由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得y1=，y2=．则|y2﹣y1|=．∴S△AOB=|OE||y2﹣y1|=…设g（t）=t+，t=，t≥．则g（t）在区间[，+∞）上为增函数．所以g（t）≥．所以S△AOB≤，当且仅当m=0时取等号，所以S△AOB的最大值为．…22.已知点M（3,1），直线。（13分）（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为，求a的值。参考答