福建省漳州市前亭中学高三数学理联考试题含解析

福建省漳州市前亭中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则M，N大小关系是（

）A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不能确定参考答案：A2.（5分）执行图中的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（

）

A．4B．5C．6D．7参考答案：D【考点】：程序框图．图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5时，退出循环，输出S的值为7．解：每次循环的结果分别为：n=0，S=0；n=1，S=1；n=2，S=1+1=2；n=3，S=2+1=3；n=4，S=3+2=5；n=5，S=5+2=7，这时n＞4，输出S=7．故选：D．【点评】：本题考查程序框图的运算和对不超过x的最大整数[x]的理解．要得到该程序运行后输出的S的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件n＞4？调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序，本题属于基本知识的考查．3.条件，条件，则是的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

（

）

A．（0,）

B．（1,）

C．（,）

D．（0,）参考答案：A5.已知向量在x轴上一点P使有最小值，则P的坐标为（

）.A.（-3，0）

B.（2，0）

C.（3，0）

D.（4，0）参考答案：C略6.设原命题：若，则或，则原命题或其逆命题的真假情况是（

）A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真C.原命题真，逆命题真

D．原命题假，逆命题假参考答案：A逆否命题为：若且，则，为真命题，故原命题为真；否命题为：若，则且，为假命题，故逆命题为假.故选A.

7.某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S的结果是(A)143

(B)120

(C)99

(D)80参考答案：B8.已知命题：命题.则下列判断正确的是A.p是假命题 B.q是真命题C.是真命题 D.是真命题参考答案：C9.已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由?可得y2﹣y﹣4=0，yA+yB=，yAyB=﹣4，|yA﹣yB|=△AOB的面积为，可得：|yA﹣yB|=，，解得k=|AB|=?，|yA﹣yB|=．故选：A．10.设是虚数单位，则等于A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列中，，公比，若，则的值为

参考答案：1612.已知A是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B（点B在x轴上方），若|AB|=2|AF|，则点A的坐标为________．参考答案：或(，)13.已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为

．参考答案：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由已知中函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=logau，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=logau为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）14.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是

．参考答案：1015.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为

．参考答案：47由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为.

16.某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有

_________名学生．参考答案：800

17.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4，其中结论正确的同学是

．参考答案：甲、乙、丁【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题利用函数的奇偶性和函数的解析式的关系，得到函数的对称关系，从而得到函数的中心对称和轴对称的性质，得到本题的相关结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x）．∵函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=f（x），∴函数f（x）的周期为8．（1）命题甲∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）．∵x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，∴f（3）=1．∴命题甲正确；（2）命题乙∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增．∴函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增．∵f（﹣2+x）=﹣f（2﹣x）=f[（2﹣x）﹣4]=f（﹣2﹣x），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数．∴命题乙正确．（3）命题丙∵f（4﹣x）=﹣f（x﹣4）=﹣f（x﹣4+8）=﹣f（4+x）∴由点（4﹣x，f（4﹣x））与点（4+x，f（4+x））关于（4，0）对称，知：函数f（x）关于点（4，0）中心对称．假设函数f（x）关于直线x=4对称，则函数f（x）=0，与题意不符，∴命题丙不正确．（4）命题丁∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增，0≤f（x）≤log23．∵f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣2﹣4）=f（x﹣6）=f（2+x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称．∴函数f（x）在[2，4]上单调递减，0≤f（x）≤log23．∵函数f（x）关于点（4，0）中心对称，∴当x∈[4，8]时，﹣log23≤f（x）≤0．∴当m∈（0，1）时，则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根有两个，且关于2对称，故x1+x2=4．∴命题丁正确．故答案为：甲、乙、丁．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性与函数图象的关系，本题综合性强，难度较大，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝exsinx－cosx，g(x)＝xcosx－ex

，其中e是自然对数的底数.（1）判断函数y＝f(x)在(0，)内零点的个数，并说明理由；（2）任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞－1，求证：f(x)－g(x)＞0.参考答案：（1）函数y＝f(x)在(0,)上的零点的个数为1，理由如下：因为f(x)＝exsinx－cosx，所以f′(x)＝exsinx＋excosx＋sinx.因为x∈(0，)，所以f′(x)＞0.所以函数f(x)在(0，)上是单调递增函数.因为f(0)＝－1＜0，f()＝＞0，根据函数零点存在性定理得函数y＝f(x)在(0，)上的零点的个数为1.（2）因为不等式f(x1)＋g(x2)≥m等价于f(x1)≥m－g(x2)，所以任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，等价于f(x)min≥(m－g(x))min，即f(x)min≥m－g(x)max.当x∈[0，]时，f′(x)＝exsinx＋excosx＋sinx＞0，故f(x)在区间[0，]上单调递增，所以x＝0时，f(x)取得最小值－1，又g′(x)=cosx－xsinx－ex，由于0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，所以g′(x)＜0，故g(x)在区间[0，]上单调递减.因此，x＝0时，g(x)取得最大值－.所以m≤－－1.（3）当x＞－1时，要证f(x)－g(x)＞0，只要证f(x)＞g(x)，只要证exsinx－cosx＞xcosx－ex，只要证exsinx＋ex＞cosx＋xcosx，由于sinx＋＞0，1＋x＞0综上所述，当x＞－1时，f(x)－g(x)＞0成立.【说明】考查函数零点问题、函数不等式的转化与证明，转化与化归的思想。19.不等式选讲

已知函数．(l)当a=l，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求a的取值范围参考答案：略20.已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=?=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣，故kAM?kBM===﹣，综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．21.已知λ∈R，函数f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx（x＞0），g′（x）=，函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，?λ=xex，（x＞0），可得λ的取值范围．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，结合（2）分λ≤e，λ＞e，讨论x≥1时，是否f（x）≥0恒成立，即可．【解答】解：（1）f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0．（2）∵g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）=函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，?λ=xex，（x＞0），令G（x）=xex，G′（x）=x（ex+1）＞0在（0，+∞）恒成立．x∈（0，+∞）时，G（x）＞0，∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0结合（2）x≥1时，g′（x）=≥0，可得λ≤xex，（x≥1），G（x）=xex，在（1，+∞）恒成立．∴λ≤e时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0故f（x）在[1，+∞）递增，∴f（x）≥f（1）=0．当λ＞e时，存在