专题05 函数动点最值之线段与面积（解析版）

专题05函数动点最值之线段与面积典例分析：典例分析：典例1如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D典例1（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．解题思路：：（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1）（点），表示PE的长（线），根据三角形面积公式可得△APD的面积(式)，配方后可得结论．答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：a-解得：a=-∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△PAD的面积=12•PE•（4+1）=52（﹣t2+3t+4）=-52当t=52时，△PAD的面积最大，且最大值是典例2如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4典例2（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．解题思路：（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y=12x+1，则易得B（﹣2，（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，12x2-12x﹣3），Q（x，12x+1），（点）则PQ=12x+1﹣（12x2-12x﹣3），（线）把解析式配成顶点式得到PQ=-12（x答案详解：解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：4k+1＝3，解得：k=1∴一次函数解析式为y=12x当y＝0时，12x+1＝0解得x＝﹣2，则B（﹣2，0），把B（﹣2，0），A（4，3）代入y=12x2+bx+2-2-2b+c=0解得：b=∴抛物线解析式为y=12x2-12（2）设P（x，12x2-12x﹣3），则Q（x，1∴PQ=12x+1﹣（12x2-1=-12x2=-12（x﹣1）∴当x＝1时，PQ最大，最大值为92实战训练实战训练一．线段最值之纵差法1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+3．（2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D的坐标为（1，4）；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为﹣5．（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．试题分析：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数解析式；（3）①由y＝﹣（x﹣1）2+4，即可求顶点坐标；②当x＝1时，函数有最大值4，当x＝4时，函数有最小值﹣5；（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），可得MN=-(t-3答案详解：解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴3k+m=0m=3∴k=-∴y＝﹣x+3，所以答案是：y＝﹣x+3；（2）把B（3，0），和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得-9+3b+c=0解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3；（3）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4），所以答案是：（1，4）；②∵函数的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最大值4，∵0≤x≤4，∴当x＝4时，函数有最小值﹣5，所以答案是：4，﹣5；（4）设点M（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），∴MN＝﹣t2+3t=-∴线段MN的最大值是942．如图，直线y=-23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=-43x2+bx+（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①试用含m的代数式表示线段PN的长；②求线段PN的最大值．试题分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①M（m，0），则P（m，-23m+2），N（m，-②根据二次函数的性质可得线段PN的最大值．答案详解：解：（1）∵y=-23x+c与x轴交于点A（3，0），与y∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y=-43x2+bx+c经过点A∴-12+3b+c=0c=2，解得∴抛物线解析式为y=-43x2+（2）①M（m，0），则P（m，-23m+2），N（m∴PN=(-43m2+10②∵PN=-∴m=32时，线段PN有最大值为3．如图，已知二次函数y=12x2﹣x-32的图象与x轴交于A、B两点，与（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若D是线段OB上一个动点，过D作x轴的垂线交直线BC于E点，交抛物线于F点，求线段EF的最大值．试题分析：（1）将x＝0代入函数解析式即可求出C点坐标，将y＝0代入函数解析式即可求出A、B的坐标；（2）利用一次函数的待定系数法直接求解即可；（3）设点D的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可．答案详解：（1）解：∵二次函数y=12x2﹣x令y＝0，即12∴x1＝3，x2＝﹣1，由图可得，B在A的右边，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y=-32（2）解：设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，﹣2）代入得，3k+b=0b=-解得k=1∴直线BC解析式为y=1（3）解：设D（x，0），0≤x≤3，DF⊥x轴，∴xD＝xE＝xF＝x，∵E在直线BC上，∴yE=1∵F在抛物线上，∴yF=1∴EF=|y∴x=-∴0≤x≤32，y随x的增大而增大，3∴x=32时，∴EF=-∴EF的最大值是984．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．试题分析：（1）通过待定系数法求解．（2）由B，C坐标求出直线BC解析式，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），从而可得点N坐标，进而求解．答案详解：解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得25+5b+c=0c=5解得b=-∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得5k+n=0n=5解得k=-∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-52）2∴MN最大值为254二．线段最值之改邪归正5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，B（1，0），与y轴交于D（0，3），直线与抛物线交于B、C两点，其中C（﹣2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC，抛物线上是否存在一点P使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．试题分析：（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与BC交点F，可知PE和PF的比例关系确定，即PF越大，PE就越大．答案详解：解：（1）把点B（1，0），D（0，3），C（﹣2，3）分别代入y＝ax2+bx+c，得a+b+c=0c=3解得a=-故该抛物线解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图，过点P作PG⊥x轴于点G，与BC交点F，过点C作CH⊥x轴于点H，则有CH∥PG，H（﹣2，0），∴BH＝1﹣（﹣2）＝3，CH＝3，∴BC=32∵在△FPE和△FGB中，∠PEF＝∠FGB＝90°，∠PFE＝∠GFB，∴∠EPF＝∠FBG＝∠CBH，∴cos∠CBA＝cos∠EPF=BH∴PE=22设直线BC的解析式为：y＝kx+t（k≠0），把B（1，0），C（﹣2，3）分别代入，得k+t=0-2k+t=3解得k=-∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+1．设P（a，﹣a2﹣2a+3），则F（a，﹣a+1），∴PF＝﹣a2﹣2a+3﹣（﹣a+1）＝﹣a2﹣a+2，∴当a=--1-2则此时点P的坐标为（-12，154），PEmax=26．如图1，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0（1）求这个抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，若点D是在直线BC上方的抛物线的一点，作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值．试题分析：（1）由抛物线y=-12x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，2），用待定系数法即得抛物线解析式为y=-12（2）过P作PM⊥x轴于M，设P（m，-12m2+32m+2），根据∠PAB＝∠ACO，得tan∠PAB＝tan∠ACO，即PMAM=AOCO=12，有|-（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，由y=-12x2+32x+2得B（4，0），可得直线BC为y=-12x+2，在Rt△BOC中，可求cos∠CBO=OBBC=255，而DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，知∠EDF＝∠NBF，故DE＝DF•cos∠EDF＝DF•cos∠CBO=255DF，即知DF最大时，DE最大，设D（n，-12n答案详解：解：（1）∵抛物线y=-12x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0∴0=-12∴抛物线解析式为y=-12x2+（2）过P作PM⊥x轴于M，如图：设P（m，-12m2+32m+2），则PM＝|-12m2+32∵∠PAB＝∠ACO，∴tan∠PAB＝tan∠ACO，即PMAM∴|-1当P在x轴上方时，-1解得m＝3或m＝﹣1（与A重合，舍去），∴P（3，2），当P在x轴下方时，-1解得m＝5或m＝﹣1（舍去），∴P（5，﹣3），综上所述，点P的坐标为（3，2）或（5，﹣3）；（3）作D作DN⊥x轴于N交BC于F，如图：在y=-12x2+32x+2中，令y＝0得-12x解得x＝4或x＝﹣1，∴B（4，0），设直线BC为y＝kx+2，∴0＝4k+2，解得k=-∴直线BC为y=-12在Rt△BOC中，BC=OC2∴cos∠CBO=OB∵DE⊥BC，∠DFE＝∠BFN，∴∠EDF＝∠NBF，∴DE＝DF•cos∠EDF＝DF•cos∠CBO=25∴DF最大时，DE最大，设D（n，-12n2+32n+2），则F（n，∴DF＝（-12n2+32n+2）﹣（-12n+2）=-1∴n＝2时，DF最大为2，∴DE的最大值为255×三．面积最值--改邪归正纵横积7．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进行计算即可解答；（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，先求出点A的坐标，再求出直线AC的解析式为y=-34x﹣3，然后设点D的坐标为（t，34t2+94t﹣3），则点E的坐标为（t，-34t﹣3），从而可得DE=-34t2﹣答案详解：解：（1）∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵OC＝3OB，∴OC＝3，∴点C的坐标为（0，﹣3），把B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+3ax+c中得：a+3a+c=0，解得：a=3∴抛物线的表达式为y=34x2+94（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，当y＝0时，34x2+94x﹣3解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b中得：-4k+b=0解得：k=-∴直线AC的解析式为y=-34x设点D的坐标为（t，34t2+94t﹣3），则点E的坐标为（t，-3∴DE=-34t﹣3﹣（34t2+94t﹣3）=∴△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积=12DE•AF+1=12DE•（AF+=12DE=12•（-34t2﹣=-32t2=-32（t+2）∴当t＝﹣2时，△ACD面积有最大值，最大值为6，∴△ACD面积的最大值为6．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，与x轴另一交点为B．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴找出点若M，使得∠BMC＝90°，求出点M的坐标；（3）点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（点P与B、C不重合）求△PBC面积的最大值．试题分析：（1）把A，C代入抛物线，求得a，c即可；（2）求出点B（4，0），对称轴为直线x＝1，设M（1，m），利用勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得结论；（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设点P（x，14x2-12x﹣2），则点D（x，12x﹣2），PD=12x﹣2﹣（14x2-12x﹣2）=-14x2+x，由S△PBC=12PD•OB=12（答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）经过A（﹣2，0），C（0，﹣2）两点，∴c＝﹣2，4a+4a﹣2＝0，解得a=1∴抛物线解析式为y=14x2-12（2）∵y=14x2-12x﹣2=14（x∴抛物线对称轴为直线x＝1．当y＝0时，14x2-12x﹣2∴x＝﹣2或4，∴B（4，0），∴设点M（1，m），∴CM2+BM2＝BC2．∴1+（m+2）2+（4﹣1）2+m2＝42+22，∴m＝﹣3或1，∴点M的坐标为（1，﹣3）或（1，1）；（3）过点P作PD∥y轴，交交BC于点D，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），∵B（4，0），C（0，﹣2），∴4k+b=0b=-2，解得：k=故直线BC的解析式为：y=12x﹣设点P（x，14x2-12x﹣2），则点D（x，12∴PD=12x﹣2﹣（14x2-12x﹣2）=∴S△PBC=12PD•OB=12（-14x2+x）×4=-12（x﹣2）∵-12∴这个二次函数有最大值．当x＝2时，S△PBC的最大值为2．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标．试题分析：过点P作PK∥y轴交BC于点K，首先求得A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC=-32（t+32）答案详解：解：如图，过点P作PK∥y轴交BC于点K，令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴C（0，3），令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（1，0），B（﹣3，0），设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，得：-3k+b=0解得：k=1b=3∴直线BC解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK=12PK•（t+3）+12PK•（0﹣t）=32PK=3S△ABC=12AB•OC=12×4∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC=32（﹣t2﹣3t）+6=-32（t∵-32∴当t=-32此时点P的坐标为（-32，10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求出该抛物线的函数关系式；（2）求出该抛物线的对称轴；（3）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标．试题分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）由y＝（x﹣1）2﹣4直接求对称轴即可；（3）先求直线BC的解析式，过点P作PQ∥y轴交于BC于点Q，则P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，m﹣3），再由S△PBC=-32（m-32）答案详解：解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴a-解得a=1b=-2∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴3k+b=0b=-3解得k=1b=-3∴y＝x﹣3，过点P作PQ∥y轴交于BC于点Q，∵点P的横坐标为m，∴P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PBC=12×3×（﹣m2+3m）=-32（∵0＜m＜3，∴当m=32时，△此时P（32，-11．如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．试题分析：（1）直接把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得b的值，从而可得结论；（2）根据三角形的面积差可得结论；（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，利用待定系数法可得直线AC的解析式，设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），表示MN的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论．答案详解：解：（1）把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得：﹣1﹣b+3＝4，∴b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴对称轴是：直线x＝﹣1；（2）如图1，连接OD，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），∵D（﹣1，4），C（0，3），∴△ADC的面积＝S△AOD+