专题23 数轴上由动点引起的分类讨论问题(解析版)2

专题23数轴上由动点引起的分类讨论问题【模型展示】特点数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:一、数轴上点移动后的表示【总结归纳】在数轴中动点移动的问题之间就是行程问题解决；点移动的单位长度就是路程、每秒移动的单位长度就是速度（v），和时间（t）的基本关系：s=vt（路程=速度×时间即点移动的单位长度=每秒移动的单位长度×时间）动点向右移动后表示的数=起点+每秒移动的单位长度×时间动点向左移动后表示的数=起点－每秒移动的单位长度×时间【总结归纳】点的移动问题方法：“三找”：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度二、两个点之间的距离数轴上的公式：设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，AB的中点为M。则：1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数）2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2；3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.三、数轴上动点移动问题【总结归纳】点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程动点问题解题步骤：1、审题，分清楚动点在不同的时间段处于怎样的状态（时间段、速度）；2、设未知数，列出等式（列方程）；3、解方程；4、检验：将求解结果与题意对照，把不符合题意的结果舍去，留下正确的答案。结论数轴的动点问题【题型演练】一、单选题1．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解．【详解】解：当点M在原点左边，由题意得：2（6-3t）=4+t，解得：t=；当点M在原点右边，由题意得：2（3t-6）=4+t，∴t=，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．2．如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是（）A．﹣7 B．﹣2 C．﹣3 D．2【答案】D【分析】先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解．【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，∵点C表示的数为1，∴点B表示的数为-4，∴点A表示的数为-2，∴则与点A表示的数互为相反数的是2，故选：D．【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数．3．如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（

）①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合；②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合；③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8；④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可．【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行，当时，P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，∴点P和点Q重合，∴①正确；②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，∴点P和点Q重合，∴②正确；③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，，∴点P，Q之间的距离为8，∴③正确；④小俐：当时，若点P，Q相对而行，P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：，，∴此时点P，Q之间的距离为6，∴④正确．综上所述，正确的有①②③④，有4个．故选：D．【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解．4．在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（

）①当时，；②当时，若a为奇数，且，则或5；③若，，则；④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据，可得，从而得到，可得①正确；当时，，根据，可得，再由a为奇数，可得②错误；根据，可得，再分两种情况，可得或2，故③错误；根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为，从而得到，可得点对应的数为，从而得到④正确，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴当时，，故①正确；∵，∴，∴，∵a为奇数，∴，故②错误；∵，∴，当点M在原点右侧时，，即，∵，∴，即；当点M在原点左侧时，，即，∵，∴，即；∴或2，故③错误；当，时，，根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为，∴，∵，∴，∴点对应的数为，∴点表示的数为，故④正确；∴正确的有①④，共2个．故选：B【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．5．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（

）秒追上点Q．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据追及模型列出方程即可求解．【详解】解：设点P运动x秒追上点Q，根据题意得：5x-3x=8-(-6)，解得x=7，∴点P运动7秒追上点Q，故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，列出一元一次方程是解决本题的关键．6．如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，若将A，B，C三点表示的数进行混合运算（每个数只能用一次），则可得到最大数为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先求出点B和点A对应的数，再将A，B，C三点表示的数进行混合运算得出结果进行判断即可．【详解】解：数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动1个单位长度到达点C，点C表示的数为－1，∴点B表示的数为－2，点A表示的数为2，∴故选：A【点睛】本题主要考查了数轴以及有理数的乘方，解题的关键是利用数轴确定A、B的值．7．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（

）①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为4，且，∴，∴，∴点B对应的数是-2，故①错误；由题意得：6÷2=3（秒），∴点P到达点B时，t=3，故②正确；分两种情况：当点P在点B的右侧，∵AB=6，BP=2，∴，∴4÷2=2（秒），∴BP=2时，t=2，当点P在点B的左侧，∵AB=6，BP=2，∴，∴8÷2=4（秒），∴BP=2时，t=4，综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴，，∴，当点P在点B的左侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，，，∴，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确．所以，上列结论中正确的是②④．故选：D．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（

）①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．二、填空题9．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．【答案】1或7【分析】分两种情况讨论：当0<t≤5.5时，点P表示的数为-5+t，点Q表示的数为6-2t，根据原点O恰好是线段PQ的中点，得到点P、Q表示的数互为相反数，推出-5+t+6-2t=0，得到t=1；当5.5<t≤11时，点P表示的数为-5+t，点Q表示的数为-5+2t-11=2t-16，推出-5+t+2t-16=0，得到t=7．【详解】当0<t≤5.5时，点P表示的数为-5+t，点Q表示的数为6-2t，∵原点O恰好是线段PQ的中点，∴点P、Q表示的数互为相反数，∴-5+t+6-2t=0，∴t=1；当5.5<t≤11时，点P表示的数为-5+t，点Q表示的数为-5+2t-11=2t-16，∴-5+t+2t-16=0，∴t=7．故答案为：1或7．【点睛】本题主要考查了数轴与动点，一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的动点表示的数与起始点表示的数和动点移动距离的关系，中点为原点的线段两端点表示的数的关系，互为相反数的两个数的和的特征，解一元一次方程的一般方法．10．数轴上，两点表示的数分别为，2，是射线上的一个动点，以为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．（1）当点是线段的中点时，线段________．（2）若，则点表示的数是________．【答案】

3

或【分析】（1）先根据数轴的性质求出点所表示的有理数，再计算有理数的减法即可得；（2）设点表示的数是，则，再根据折叠的性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得．【详解】解：（1）当点是线段的中点时，则点所表示的有理数为，所以线段，故答案为：3．（2）设点表示的数是，点是射线上的一个动点，，则，由折叠的性质得：，，，即或，解得或，均符合题意，则点表示的数是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、有理数加减法的应用、折叠，熟练掌握数轴的性质是解题关键．11．如图，在数轴上点A表示a，点C表示c，且|a+20|+（c﹣30）2＝0．动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，2AB﹣mBC的值不随时间t的变化而改变，则m的值是_____．【答案】3【分析】根据题目的已知可得，c=30，然后再利用两点间距离进行计算即可解答．【详解】解：∵|a+20|+（c-30）2=0，∴a+20=0，c-30=0，∴，c=30，∴点A表示-20，点C表示30，∴运动时间t秒后，点A对应的数为：-20-2t；点B对应的数为：1+t；点C对应的数为：30+3t；∴AB=1+t-（-20-2t）=21+3t，BC=30+3t-（1+t）=29+2t，∴2ABmBC=2（21+3t）-m（29+2t）=42+6t-29m-2mt=42+（6-2m）t-29m，当6-2m=0时，即m=3时，2AB-mBC的值不随时间t的变化而改变，故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．12．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧．（1）若，点D与点A重合，，则_________；（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_______．【答案】

（1）

（2）或．【分析】（1）画出符合题意的图形，由，求解，再利用线段的和差关系求解即可得到答案；（2）根据AC=2BC，AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式，再分六种情况讨论，①当在点A左侧时，②当在之间时，③当在线段上时，④当在之间时，⑤当在之间时，⑥当在的右边时，可以设CE=x，DC=y，用含x和y的式子表示的长，从而得出x与y的等量关系，即可求出的值．【详解】解：（1）如图，（2）∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式，①当在点A左侧时，如图，设CE=x，DC=y，则，∴，∴∴∴∵，∴，解得，，∴②当在之间时，如图，设则，同理可得：③当在线段上时，设则，＜,＞不合题意舍去；④当在之间时，如图，设CE=x，DC=y，则DE=x+y，∴,∴∴∴∵∴，解得，，∴．⑤当在之间时，设则∵同理可得：与图形条件＞不符舍去，⑥当在的右边时，设则∵同理可得：与图形条件＞不符，舍去，综上：的值为：或．故答案为或．【点睛】本题考查的是线段的和差关系，二元一次方程思想，与线段相关的动态问题，分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键．13．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若点M在点B的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若点M在线段BO上时，如图2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M在点A的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或．【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．三、解答题14．点A、B在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点．(1)当P、B两点之间的距离为1时，则点P表示的数为__________；(2)当点P将A、B两点之间的距离三等分时，则点P表示的数为__________；(3)现在点A以每秒2个单位长度、点B以每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】(1)3或5(2)0或2(3)点P所对应的数是或．【分析】（1）根据，分两种情况：①点P在点B的左边；②点P在点B的右边；分别求出点P表示的数即可；（2）根据点P是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点P表示的数即可；（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．（1）解：由题意，知点A，B表示的数分别为，4，分两种情况进行解答：①点P在点B的左边时，∵，，∴点P表示数的是3，②点P在点B的右边时，∵，，∴点P表示的是5，综上，可得点P表示的数是3或5；故答案为：3或5；（2）解：∵，∴线段的长度是6，分两种情况：①时，点P表示的数是，②时，点P表示的数是，综上，可得点P表示的是0或2；故答案为：0或2；（3）解：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，需要的时间为t，根据题意得：点B对应的数为；点A对应的数为；点P对应的数为；①当点A在点B左边两点相距3个单位时，则，解得：，则点P对应的数为；②当点A在点B右边两点相距3个单位时，则，解得：，则点P对应的数为；综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是或．【点睛】此题考查的是一元一次方程及数轴，掌握数轴上两点间距离公式是解决此题的关键．15．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a，b，c，且，点O为原点．(1)请写出____________；____________；____________；(2)以AB为长，BO为宽，作出长方形EFGH，其中G与A重合，H与B重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点在数轴上不断滚动（无滑动），求出E点第3次落在数轴上对应的数字；(3)将（2）中的长方形EFGH，G与A重合，H与B重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动，当H点与C点重合时停止运动，整个过程中速度保持不变．数轴上一动点P与长方形同时开始运动，从C点出发，沿数轴向左移动，速度为3个单位长度/秒，设它们的运动时间为t，求t为何值时，点P与点H之间的距离为5（即）．【答案】(1)，，10(2)E点第3次落在数轴上对应的数是96(3)当或时，点P与点H之间的距离为5【分析】（1）根据题意，绝对值和偶次方的非负性得，，，进行计算即可得；（2）根据题意得AB=24，，则E点第1次落在数轴上对应的数是：，第2次落在数轴上对应的数是：，第3次落在数轴上对应的数是：，即可得；（3）根据题意，，即（s），10s时停止运动，①点P、Q相遇之前，，②点P、Q相遇之后，，进行计算即可得．（1）解：∵∴，，，即，，，故答案为：，，10；（2）解：∵，，∴，，则，E点第1次落在数轴上对应的数是：，第2次落在数轴上对应的数是：，第3次落在数轴上对应的数是：，即E点第3次落在数轴上对应的数是96；（3）解：根据题意，，（s），①点P、Q相遇之前，，，②点P、Q相遇之后，，，综上，当或时，点P与点H之间的距离为5．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．16．有A，B两点，在数轴上分别表示实数a、b，若a的绝对值是b的绝对值的4倍，且A，B两点的距离是15个单位，(1)探讨a、b的值.①A，B两点都在原点的左侧时，a=___________，b=___________；②若规定A在原点的左侧、B在原点的右侧，a=___________，b=___________；(2)数轴上现有两个动点P、Q，动点P从A点出发向B点运动，每秒2个单位；动点Q从B点出发向A点运动，每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止，经过t秒后P、Q两点相距3个单位，求此时t的值.【答案】(1)①，；②，(2)4或者6【分析】（1）根据题意有：，，①A，B两点都在原点的左侧，有，，据此取绝对值，即可求解；②A在原点的左侧、B在原点的右侧，有，，据此取绝对值，即可求解；（2）分两种情况讨论：第一种情况，P、Q两点相遇之前相距3个单位，第二种情况，P、Q两点相遇之后相距3个单位，根据相遇问题的特点列方程即可求解．（1）根据题意有：，，①∵A，B两点都在原点的左侧，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∵，∴，即，故答案为：，；②∵A在原点的左侧、B在原点的右侧，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∵，∴，即，故答案为：，；（2）分两种情况讨论：第一种情况，P、Q两点相遇之前相距3个单位，根据题意有：，解得，此时t的值为4；第二种情况，P、Q两点相遇之后相距3个单位，根据题意有：，解得，此时t的值为6；综上：t的值为4或者6．【点睛】本题主要考查了数轴与有理数，绝对值以及一元一次方程的应用等知识，根据点的位置去掉绝对值求出a，b是解答本题的关键．17．在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为．(1)在图中画出当时，点A关于点B的“联动点”P；(2)点A从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为___________（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①，②不存在，见解析【分析】（1）当时，，将点A向右移动2个单位长度，由此求出点P表示的数，并作图即可；（2）①根据点B的运动方向和运动速度即可求解；②运动的时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，分为点B在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可．（1）解：当时，，将点A向右移动2个单位长度，此时点P表示的数为：，作图如下：（2）解：①点B从数轴上表示7的位置出发，以每秒1个单位的速度向左运动t秒，则点B表示的数为，故答案为：；②解：不存在，理由如下：运动的时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，分两种情况：当时，，此时点A关于点B的“联动点”P表示的数为：，由于，故，不可能与原点重合；当时，，此时点A关于点B的“联动点”P表示的数为：，也不能与原点重合，综上，不存在这样的t，使得点A关于点B的“联动点”P与原点重合．【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论．18．在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点到点的距离为4，点到点的距离为9，如图所示，设点、、所对应的数的和是．(1)若以为原点，则___________；若以为原点，则___________．(2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为6，求的值．(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点移动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动，秒后，两点间距离是2，则___________秒（直接写出答案）．【答案】(1)17；5(2)的值为23或(3)6或2【分析】（1）根据数轴的性质，求得点A、B、C所对应的数，再经有理数加法运算，即可得到答案；（2）根据数轴的性质，首先确定点O的位置；再求得点A、B、C所对应的数，再经有理数加法运算，即可得到答案；（3）结合题意，根据数轴的性质，通过列绝对值方程并求解，即可得到答案．（1）解：以A为原点，结合题意，可知B点对应的数是4，C点对应的数是：，∴，以B为原点，结合题意，可知A点对应的数是，C点对应的数是9，∴．故答案为：17；5．（2）解：原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为6，且点O可能在点B的左边或者右边，若点O在点B的左边，如图所示：∵，∴A点对应的数是2，B点对应的数是6，C点对应的数是，∴；若点O在点B的右边，如图：∴A点对应的数是，B点对应的数是，C点对应的数是，∴；综上分析可知，的值为23或．（3）解：以A为原点，结合题意得：M在t秒后对应的数为；N在t秒后对应的数为：，∵t秒后M，N两点间距离是2，∴，∴，∴或2．故答案为：6或2．【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，并运用到实际问题求解中，从而完成求解．19．已知，点A、B在数轴上对应的数分别是a、b；(1)求a、b的值，并在数轴上标出点A和点B；(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P与点B的距离是3个单位长度；(3)在（2）的条件下，动点Q以每秒2个单位长度的速度，从点B出发向数轴正方向运动，求几秒后点P与点Q的距离等于3个单位长度．【答案】(1)，，图见解析(2)3秒或9秒(3)1秒或3秒【分析】（1）根据非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0即可求出a和b的值，再在数轴上表示出来即可；（2）先求出距离点B三个单位长度的点所表示的数，再求出时间即可；（3）根据题意，分别讨论在相遇前距离为3个单位长度和相遇后距离为3个单位长度的情况．（1）解：∵，∴，，∴，；在数轴上表示如下：（2）∵，，∴，根据题意，当点P在点B左侧3个单位长度时，，（秒）当点P在点B右侧3个单位长度时，AP=9（秒）∴3秒或9秒后点P与点B的距离是3个单位长度（3）①当点P与点Q相遇前时，∵点P与点Q的距离等于3个单位长度∴（秒）②当点P与点Q相遇后时，∵点P与点Q的距离等于3个单位长度∴（秒）综上所述，1秒或3秒后，点P与点Q的距离等于3个单位长度．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，两点之间的距离以及追击问题，熟练掌握相关知识根据题意进行分类讨论是解题的关键．20．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题:(1)如果点A表示数-4，将点A向右移动3个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是________；(2)如果点A表示数-2，将A点向右移动188个单位长度，再向左移动266个单位长度，那么终点B表示的数是_________，A，B两点间的距离是________．(3)一般地，如果A点表示的数为a，将A点向右移动b个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是_________，A，B两点间的距离是________．(4)在（1）的条件下，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t妙（t>0），当t为何值时，P、A两点之间的距离为9个单位长度？【答案】(1)-1，3；(2)-80，78；(3)，；(4)或【分析】（1）根据数轴上点的移动规律，列出算式即可求解；（2）根据数轴上点的移动规律，列出算式即可求解；（3）根据数轴得出终点B表示的数，求出A与B的距离，归纳总结得到规律，得出一般结果即可．（4）根据题意列出方程，即可求解．（1）解：B表示的数是：，A、B两点间的距离是：，故答案为：-1，3；（2）解：点B表示的数：，A，B两点间的距离是：，故答案为：-80，78；（3）解：终点B表示的数是：，A，B两点间的距离是：，故答案为：，；（4）解：∵B表示的数是-1，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，∴P表示的数是：，∵点A表示数-4，P、A两点之间的距离为9个单位长度，∴，解得：或（负值舍去）【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，理解数轴上点的移动规律，两点间的距离表示法是解本题的关键．21．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足．(1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．(2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？(3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？【答案】(1)，，A与B之间的距离为12个单位长度(2)6秒(3)2秒或4秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a、b，再利用AB=求解即可；（2）根据运动距离÷速度=时间求解即可；（3）分点P、Q相遇前和相遇后两种情况求解即可．（1）解：因为，所以，所以点A与点B之间的距离为．（2）解：因为A、B两点之间的距离为12个单位长度，所以秒，答：点P运动6秒后到达B点．（3）解：由题意，有两种情况：P、Q相遇前：（秒），P、Q相遇后：（秒），所以运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度．【点睛】本题考查绝对值、数轴，理解绝对值的非负性，会利用数形结合思想和分类讨论思想解决数轴上的动点问题是解答的关键．22．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝，PC＝；(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止．①求当t为何值时Q点追上P点？②当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离．【答案】(1)t；；(2)①24；②24．【分析】（1）求出P表示的数，即可得到答案；（2）①求出Q表示的数，列方程可解得t的值；②求出Q从C返回所运动的时间，即可求出当P、Q两点运动停止时，点P和点Q的距离．（1）解：P表示的数是，∴，；故答案是：t；；（2）①P运动到B所需时间为（秒），∴Q表示是数是，当Q追上P时，，解得t＝24，∴当t为24时Q点追上P点；②P运动到C所需时间为（秒），Q运动到C所需时间为（秒），∴Q运动到C时，（秒），∴Q从C返回所用时间是（秒），∴当P、Q两点运动停止时，点P和点Q的距离是（个单位）．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示P，Q所表示的数．23．已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、-6表示，P是数轴上的一个动点.(1)数轴上A、B两点的距离为___________；(2)当P点满足时，求P点表示的数；(3)将一枚棋子放在数轴上点，第一步从点向右跳2个单位到k，第二步从点向左跳4个单位到，第三步从点向右跳6个单位到，第四步从点向左跳8个单位到.①如此跳6步，棋子落在数轴的点，若表示的数是10，则的值是多少？②若如此跳了1001步，棋子落在数轴上的点，如果所表小的数是2020，那么所表示的数是___________（请直接写答案）.【答案】(1)8(2)-14或(3)①16，②1018【分析】(1)根据数轴上两点之间距离的计算方法，即两个数差的绝对值；(2)分两种情况，列方程解答即可；(3)①设的值是a，利用距离公式得到a+2−4+6−8+10−12=10，求出a即可；②同①方法建立方程求出a即可．（1）解：数轴上A、B两点的距离为：|2-(-6)|=8，故答案为：8；（2）解：设P点表示的数x，当点P在A、B之间时，2-x=2[x-(-6)]，解得当点P在点B的左侧时，2-x=2(-6-x)，解得x=-14，综上，P点表示的数为-14或；（3）解：①设的值是a，根据题意可得：a+2-4+6-8+10-12=10，解得a=16；②设的值是a，根据题意可得：a+2-4+6-8+10-12+…+1998-2000+2002=2020，得，解得a=1018，故所表示的数是1018，故答案为：1018．【点睛】本题考查了数轴、两点之间的距离、一元一次方程的应用和分类讨论的数学思想及规律问题，理解求数轴上两点之间距离的方法是解答本题的关键．24．已知数轴上两点、对应的数分别为、5，点为数轴上一动点，其对应的数为．(1)若点到点、点的距离相等，直接写出点对应的数是___________；(2)若点到点、点的距离之和为8．请直接写出的值为___________；(3)现在点、点分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点与点之间的距离为5个单位长度时，求点所对应的数是多少？【答案】(1)1.5；(2)或5.5；(3)或．【分析】（1）根据数轴上两点之间的中点所表示数的计算方法计算即可；（2）根据数轴两点之间距离的计算方法列方程求解即可；（3）分两种情况进行解答，即移动后点在点的左边，使，移动后点在点的右边，使，求出移动的时间，进而求出点所表示的数．（1）解：点所对应的数；故答案为：1.5；（2）解：由题意得，，又因为，，且点在点的左侧或点的右侧，所以点所表示的数或，当时，，，当时，，，故答案为：或5.5；（3）解：设移动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，①当点在点的左边，使时，有，解得，此时点移动的距离为；②当点在点的右边，使时，有，解得，此时点移动的距离为，所以当点与点之间的距离为5个单位长度时，点所对应的数是或．【点睛】此题考查了数轴表示数，理解数轴表示数的意义是解决问题的前提，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解决此问题的关键．25．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．(1)例图，数轴上点A，B，C三点所表示的数分别为1，3，4，点B到点A的距离___________，点B到点C的距离BC=___________，因为是的两倍，所以称点B是点A，C的“关联点”；(2)若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是___________；(3)点A表示数，点B表示数为，P是数轴上一个动点；若点P从点B出发向数轴的正方向运动，速度是每秒1个单位长度，问：当时间t为多少秒时，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，并写出此时点P表示的数．【答案】(1)2，1(2)，(3)，3或6时，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为，或．【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；（2）利用数轴上两点之间的距离公式分别求得与、与、与、与的关系，从而即可得到答案；（3）根据PA=2PB或PB=2PA列方程求解；分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点三种情况列方程解答．（1），，故答案为：2，1；（2）∵，，∴，∴是点A，B的“关联点”；∵，，∴，∴不是点A，B的“关联点”；∵，，∴，∴是点A，B的“关联点”；∵，，∴，∴不是点A，B的“关联点”．故答案为：，；（3）依题意，得：，①若点P是点A，B的“关联点”，则，∴∴，∴，此时点P表示的数为；②若点B是点A，P的“关联点”则或，∴或，∴或，此时点P表示的数为或；③若点A是点B，P的“关联点”则，∴，∴，此时点P表示的数为．综上所述：，3或6时，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为，或．【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解方法，解题的时候注意分情况讨论．26．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为-4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．(1)点C表示的数是___________．(2)求当t等于多少秒时，点P到达点A处？(3)t=3时，点P表示的数是___________．(4)求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．【答案】(1)1(2)5秒(3)2(4)1.5或3.5秒【分析】（1）根据点C是AB的中点求解即可；（2）根据点P的运动路程和运动速度列式即可；（3）根据点P的运动路程和运动速度列式求解即可；（4）分两种情况：点P在点C的左边和右边，分别求解即可．（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是：＝1．故答案是：1；（2）（秒）答：当t＝5秒时，点P到达点A处．（3）3秒时，点P运动距离3×2=6，∵点P从点B出发，向右平移6个单位，此时点P表示的数是-4+6=2（4）当点P在点C的左边2个单位时，∵点C表示1，∴点P在的位置上，此时点P运动了3个单位，t=3÷2=1.5，∴t=1.5；当点P在点C的右边时，∵点C表示1，点P表示1+2=3，此时PB=3-（-4）=7，∴t=7÷2=3.5，∴t=3.5，综上所述，当t等于1.5秒或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时恰当利用数形结合、分类讨论的数学思想是关键．27．在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．(1)点B表示的数是_______．(2)动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？(3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？【答案】(1)(2)经过秒或4秒点P与点A的距离是2个单位长度(3)经过2秒或秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍【分析】（1）设点B表示的数是b，根据题意列方程求解即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．（1）解：设点B表示的数是b，则，∴，故答案为：；（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，，∴或，∴或t＝4，∴经过秒或4秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）解：设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴或∴或∴经过2秒或秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用、数轴以及根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．28．数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别为，12．(1)线段的长为_________；(2)若，求点表示的数；(3)在（2）的条件下点，是该数轴上沿正方向同时出发的两个动点，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，设运动时间为秒．①请用含的式子表示点P运动t秒后，到达位置上表示的数_______________；②当，两点到点的距离相等时，求的值．【答案】(1)15(2)或2(3)①或；②或5或10【分析】（1）用B点表示的数减去A点表示的数即为AB的长度；（2）分点C在点A左侧和点C在点A右侧两种情况计算；（3）①分点C表示的数为或2两种情况，每种情况再分点P在B点左侧和点B点右侧两种情形，②根据，两点到点的距离相等，列一元一次方程，解方程即可．（1）解：，即线段的长为15；故答案为：15；（2）解：∵，∴，当点C在点A左侧时，，当点C在点A右侧时，，∴点C表示的数为或2；（3）解：①根据题意，点P运动t秒的路程为，因此当点C表示的数为时，到达位置上表示的数为：，当点C表示的数为2时，到达位置上表示的数为：，即点P运动t秒后，到达位置上表示的数为或，故答案为：或；②根据题意，点Q运动t秒后，到达位置上表示的数为：，当点C表示的数为时，分两种情况，当点P在B点左侧时，，解得，当点P在B点右侧时，，解得；同理，当点C表示的数为2时，当点P在B点左侧时，，解得，当点P在B点右侧时，，解得；综上，的值为或5或10．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，列代数式，解一元一次方程等知识点，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．29．已知a是最小的正整数，b是的相反数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数，动点P从点A出发沿数轴正方向匀速运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向匀速运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t秒．(1)a=______，b=______，c=______；(2)当t=1时，线段PQ长为______；(3)若P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度．再运动几秒，M能追上P？再运动几秒，M能追上Q？【答案】(1)(2)(3)运动秒，M能追上P，再运动秒，M能追上Q【分析】（1）根据最小的正整数，相反数，绝对值的含义可直接得到的值；（2）设运动时间为s，则s后对应的数为对应的数为则再把代入计算即可；（3）由题意可得：s后对应的数为：当相遇，则当相遇，则再解方程可得答案．（1）解：∵a是最小的正整数，b是的相反数，，∴故答案为：（2）设运动时间为s，则s后对应的数为对应的数为∴当时，（3）由题意可得：s后对应的数为：当相遇，则解得：当相遇，则解得：而∴运动秒，M能追上P，再运动秒，M能追上Q．【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练的利用方程思想解决数轴上的动点问题是解本题的关键．30．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．【答案】(1)，20，30；(2)3或75；(3)．【分析】（1