2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合考点2排列问题

排列问题1.3名男生4名女生站成一排，在下列条件下的不同排法分别为：(1)选其中5人排成一排；2520(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；5040(3)全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；1320(4)全体排成一排，女生必须站在一起；576(5)全体排成一排，男生互不相邻；1440(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；720(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；2520(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．3720[解析](1)从7人中选5人来排，是排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(特殊元素优先法)甲站排头有Aeq\o\al(6,6)种排法；乙站排头有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)种排法，故共有Aeq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝1320种排法．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将4名女生进行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有Aeq\o\al(2,2)种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有Aeq\o\al(3,5)种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720种．(7)消序法：eq\f(A\o\al(7,7),2！)＝2520种．(8)间接法：Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,7)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720种．位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有Aeq\o\al(6,6)(种)排法，甲不在右端的排法有5×5Aeq\o\al(5,5)(种)排法，∴共有Aeq\o\al(6,6)＋25Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．2．(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为(B)A．240 B．480C．1440 D．2880[解析]因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中，且a、b元素不相邻，则不同的排法种数为Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480.故选B.[引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中间的站法有720种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有960种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有960种；(4)3名男生相邻，4名女生相邻的站法有288种；(5)4名女生不全相邻的站法有4464种．[解析](1)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝720；或Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝960.(3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝960.(4)Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝288.(5)Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝4464.名师点拨：求解排列应用问题的常用方法【变式训练】1．(2024·九省联考试题)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(B)A．20种 B．16种C．12种 D．8种[解析]因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有Aeq\o\al(2,2)种方法，排甲有Aeq\o\al(1,2)种方法，剩余两个位置两人全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，所以有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有Aeq\o\al(2,2)种方法，排甲有Aeq\o\al(1,2)种方法，剩余两个位置两人全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，所以有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16种排法，故选B.2．(2024·四川绵阳突击班诊断)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有(D)A．288种 B．336种C．384种 D．672种[解析]甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，2Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，2Aeq