2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布高考大题规范解答-概率统计

高考大题规范解答——概率统计1.(2023·江西上饶、景德镇等地名校联考)(12分)2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏，记发放的消费券额度为x(百万元)，带动的消费为y(百万元)．某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程．(2)①若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用(1)中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？②当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的．若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因．参考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).当|r|>0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关关系．参考数据：eq\r(35)≈5.9.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋3＋4＋5＋5＋6＋6＋8,8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10＋12＋13＋18＋19＋21＋24＋27,8)＝18.(1分)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，(2分)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3分)代入公式可得相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,8,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(69,\r(20)×\r(252))＝eq\f(23,4\r(35))≈0.97.(4分)由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系．(5分)经计算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(69,20)＝3.45，(6分)eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝18－3.45×5＝0.75.所以所求线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3.45x＋0.75.(7分)(2)①当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝35.25，所以预计能带动的消费达35.25百万元．(9分)②因为eq\f(|30－35.25|,35.25)>10%，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的．(11分)发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不同，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平，A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量(只要写出一个原因即可)．(12分)评分细则：(1)第(1)问中，x，y的平均数只求对了一个，不给分．(2)第(2)问的第②问涉及的其他因素很多，比较主观，学生只要答出一个比较合理的原因即可．2．(2024·贵州六校联考)(12分)第19届亚运会的开幕式于2023年9月23日在我国杭州举行.2023年8月，某商场为了吸引顾客，举行了“答题领优惠，杭州看亚运”促销活动．具体规则是：两人一组进行答题比拼，比拼分两关进行．第一关：一道题，两人抽签决定谁答题eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(都有\f(1,2)的机会被抽到))，答对得10分并获得100元优惠券，否则另一人得10分并获得100元优惠券；第二关：由第一关获得积分和优惠券的人从6道题目中抽取2道题目回答，每回答正确一道题目就获得10分和100元优惠券，每答错一道题目另一人获得10分和100元优惠券，两轮比赛结束后，积分更高者获胜，胜者将获得一张亚运会开幕式门票和200元优惠券．现有甲、乙两人组成一组参加该游戏，已知第一关的问题甲能答对的概率为eq\f(2,3)，乙能答对的概率为eq\f(3,5)；第二关的6道题目中甲能答对4题，乙能答对3题．(1)求甲获胜的概率；(2)设X表示甲获得的优惠券总金额，求X的分布列和期望．[解析](1)令事件A为“甲第一关胜出进入第二关”，事件B为“乙第一关胜出进入第二关”，则P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＝eq\f(8,15)，(2分)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,10)＝eq\f(14,30)＝eq\f(7,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PB＝1－PA＝\f(7,15)))，(3分)令：C1：第二关甲两题都答对D1：第二关乙两题都答对C2：第二关甲答题一对一错D2：第二关乙答题一对一错C3：第二关甲两题都答错D3：第二关乙两题都答错E：经过两关比赛，甲获胜，(4分)所以P(E)＝P(A)(1－P(C3))＋P(B)P(D3)＝eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,15)))＋eq\f(7,15)×eq\f(3,15)＝eq\f(112,225)＋eq\f(21,225)＝eq\f(133,225).(6分)(2)X的所有可能取值为0,100,400,500，(7分)P(X＝0)＝P(B)P(D1)＝eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)×eq\f(3,15)＝eq\f(7,75)，P(X＝100)＝P(A)P(C3)＋P(B)P(D2)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,225)＋eq\f(63,225)＝eq\f(71,225)，P(X＝400)＝P(A)P(C2)＋P(B)P(D3)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(64,225)＋eq\f(21,225)＝eq\f(85,225)＝eq\f(17,45)，P(X＝500)＝P(A)P(C1)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(48,225)＝eq\f(16,75)，(9分)所以X的分布列是：X0100400500Peq\f(7,75)eq\f(71,225)eq\f(17,45)eq\f(16,75)E(X)＝0×eq\f(7,75)＋100×eq\f(71,225)＋400×eq\f(17,45)＋500×eq\f(16,75)＝289eq\f(1,3).(12分)3．(2024·安徽皖东名校联盟体质检)(12分)2022年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有8个外形完全相同的金蛋，8个金蛋中有1个一等奖，1个二等奖，3个三等奖，3个参与奖，现甲、乙两人进行砸金蛋比赛，砸中1个一等奖记4分，砸中1个二等奖记3分，砸中1个三等奖记2分，砸中1个参与奖记1分，规定砸蛋人得分不低于8分为获胜，否则为负，并制定规则如下：①一个人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和．(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).(2分)(2)如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸3个金蛋，则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分．(4分)P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(ξ＝7)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝8)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(ξ＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝11)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,35)，(10分)∴ξ的分布列为：P67891011ξeq\f(1,35)eq\f(9,35)eq\f(9,35)eq\f(4,35)eq\f(9,35)eq\f(3,35)∴ξ的数学期望E(ξ)＝6×eq\f(1,35)＋7×eq\f(9,35)＋8×eq\f(9,35)＋9×eq\f(4,35)＋10×eq\f(9,35)＋11×eq\f(3,35)＝eq\f(60,7).(12分)4．(2024·云南三校联考)(12分)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]甲49232824102乙214151716151(1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？一等品非一等品合计甲乙合计(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了20个，检出1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d；x0.05＝3.841.[解析](1)由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180(2分)χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(180×75×32－48×252,123×57×100×80)≈4.621，∵4.621>3.841＝x0.05，(4分)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．(5分)(2)由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为eq