2025版高考数学一轮总复习考点突破第7章立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系考点3异面直线所成的角

异面直线所成的角1.(2024·山东潍坊检测)已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，PA＝3，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为(D)A.eq\f(2\r(15),15) B．eq\f(5\r(3),12)C．eq\f(5,14) D．eq\f(9,13)[解析]如图所示，由AB＝2，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，则有AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，解法一(平移法)：取BC的中点E，连接AE，DE，则DE∥PC，∠ADE或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．E为BC的中点，则AE＝eq\r(2)，PA⊥平面ABC，Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，∴DE＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(13),2)，Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，∴DA＝eq\f(\r(13),2)，在△ADE中，根据余弦定理可得cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2AD×DE)＝eq\f(\f(13,4)＋\f(13,4)－2,2×\f(13,4))＝eq\f(9,13).所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为eq\f(9,13).故选D.解法二(向量法)：由PA⊥平面ABC可知PA⊥AB、PA⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2,0)，A(0,0,0)，P(0,0,3)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(3,2)))，从而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(3,2)))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)，记AD与PC所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))||\o(PC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(9,2),\r(13)×\f(\r(13),2))＝eq\f(9,13).故选D.2.(2024·湖北部分学校联考、黑龙江大庆质检)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(D)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(30),10)[解析]解法一：设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，则DF∥B1E，∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角．易求DF＝B1E＝eq\r(5)，C1F＝eq\r(5)，C1D＝eq\r(6)，所以cos∠C1DF＝eq\f(\f(1,2)C1D,DF)＝eq\f(\f(\r(6),2),\r(5))＝eq\f(\r(30),10).解法二：由题意知AB、BC、BB1两两垂直．如图建立空间直角坐标系，设AB＝BC＝AA1＝2，则eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，记C1D与B1E所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·\o(EB1,\s\up6(→))|,|\o(DC1,\s\up6(→))|·|\o(EB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).故选D.3．若两条异面直线a、b所成角为60°，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60°的直线有3条．[解析]如图，过O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成角为60°，如图易知过O与a′、b′所成角都为60°的直线有3条，即与a，b所成角都为60°的直线有3条．[引申]本例3中与异面直线a、b所成角都为75°的直线有4条．注：与异面直线所成角都为θ，则(1)0<θ<eq\f(π,6)时，0条；(2)θ＝eq\f(π,6)时，1条；(3)eq\f(π,6)<θ<eq\f(π,3)时，2条；(4)θ＝eq\f(π,3)时，3条；(5)eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)时，4条；(6)θ＝eq\f(π,2)时，1条．名师点拨：求异面直线所成角的方法1．定义法定义法求异面直线所成角的步骤(1)找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线所成的角．(2)证：说明所作的角是异面直线所成的角．(3)算：寻找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2．向量法向量法又分为坐标法和基本向量法，利用公式|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．【变式训练】1.(2022·重庆育才中学诊断)如图所示，已知空间四边形ABCD，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF＝(C)A．1 B．eq\r(3)C．1或eq\r(3) D．2或eq\r(3)[解析]取CD的中点H，连接EH、HF，由题意知EH綉eq\f(1,2)BD＝1，HF綉eq\f(1,2)AC＝1，∴∠EHF为AC，BD所成的角或其补角．∴∠EHF＝60°或120°.当∠EHF＝60°时，EF＝1；当∠EHF＝120°时，EF＝eq\r(3).故选C.2．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P－ABC中，AB为底面圆的直径，C为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为(C)A.30° B．45°C．60° D．90°[解析]解法一：如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，则DE綉eq\f(1,2)PA，OD綉eq\f(1,2)BC，所以∠EDO为异面直线PA与BC所成的角，因为△APB、△ABC、△POC，都是等腰直角三角形，∴PA＝PC＝BC，从而DE＝OE＝OD，所以△DOE是正三角形，故∠EDO＝60°，即异面直线PA与BC所成的角为60°.故选C.解法二：设AB的中点为O.由题意可知OC、OB、OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设OC＝a，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0，－a，－a)，eq\o(BC,\s\up6(→))