上海七年级上学期期中【压轴53题考点专练】-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）（解析版）

上海七年级上学期期中【压轴53题考点专练】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（

）个A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．【详解】，，，根据为整数，有以下10种情况：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，；（8）当时，；（9）当时，；（10）当时，；综上，符合条件的m的值为，共有5个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．2．（2021·上海·七年级期中）合并同类项的结果为（

）A．0 B． C． D．以上答案都不对【答案】C【分析】m与-3m结合，5m与-7m结合，依此类推相减结果为-2m，得到505对-2m,再进行计算，即可得到结果，【详解】解：=-2m-2m-2m...-2m=-2m×505=1010m即答案为C.【点睛】本题考查了合并同类项，弄清式子的规律确定-2m的个数是解答本题的关键.3．（2021·上海市西延安中学七年级期中）在矩形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则．二、填空题4．（2021·上海·七年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案,第个图案有4个黑棋子,第个图案有9个黑棋子,第个图案有14个黑棋子,,依此规律,第n个图案有1499个黑棋子,则______．【答案】300【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可．【详解】解：观察图1有个黑棋子；图2有个黑棋子；图3有个黑棋子；图4有个黑棋子；图n有个黑棋子,当,解得：,故答案：300【点睛】本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是能够仔细观察并发现图形的变化规律,难度不大.5．（2021·上海·七年级期中）如图，一个的方格图，由粗线隔为个横竖各有个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有至的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个位数，这个位数是__________．【答案】【分析】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；此题分析规律，试着通过推理就可得到待求的数.【详解】用（7,3）表示位于第7行、第3列的方格，由图形可知，要将3、5、6、7、9填入（9,2）（9,3）（9,6）（9，8）（9,9）中；其中第3、6、8、9列中都含有9，故（9,2）应填9；第3、6、、9列中都含有7，故（9,8）应填7；第3、6列中都含有3，故（9,3）应填5，（9,6）应填6；所以这个9位数应是495186273故答案为495186273【点睛】本题考查数阵图，数阵图是把一些数按一定的规则，填在特定形状的图形中，观察图形，找出规律是解题关键.6．（2021·上海·七年级期中）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第n个单项式为______.【答案】【详解】观察系数为：1，-2，4，-8都是-2的乘方，x的指数依次增加1．x=，=，，=，故第n个单项式为：．点睛：关键是发现系数的变化规律，一定要善于从变中寻找不变，再观察变的规律．7．（2021·上海·七年级期中）若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．【答案】2【详解】∵，∴，，∴.8．（2021·上海·七年级期中）下列图形由大小相等的等边三角形组成：图1为一个白三角形；图2在图1外部，画了3个黑三角形；图3在图2外部，画了6个白三角形；图4在图3外部，画了9个黑三角形；图5在图4外部，画了12个白三角形；……；以此类推，那么图（为大于1的整数）在前一个图外部，画了___个三角形（用含有的代数式表示）【答案】3(n-1).【分析】结合图形，通过5幅图中，后一幅图比前一幅增加的三角形数量与序数之间的关系总结规律即可解答.【详解】解：观察图形可知，第2幅图比第1幅图增加的三角形数量：3=3×1，第3幅图比第2幅图增加的三角形数量：6=3×2，第4幅图比第3幅图增加的三角形数量：9=3×3，第5幅图比第4幅图增加的三角形数量：12=3×4，如此可得规律为，图（为大于1的整数）比前一个图多了3(n-1)个三角形，故答案为3(n-1).【点睛】本题考查了规律的探索，通过示例图形，根据问题进行规律的总结是解题关键.9．（2021·上海·七年级期中）若关于a,b单项式的系数是,次数是5,则_____,_____．【答案】

4【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案．【详解】解：是关于a,b的单项式,系数是,次数是5,,,解得：,,故答案为,4．【点睛】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．10．（2021·上海·七年级期中）若一个多项式加上得到,则这个多项式是________．【答案】【分析】根据题意，列出等式，再利用整式的加减和去括号法则计算即可.【详解】设这个式子为A，由题意得：所以故答案为【点睛】本题主要考查整式的加减和去括号，熟练掌握整式的加减和去括号法则是解题关键.11．（2021·上海·七年级期中）计算：____________.【答案】2019.【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．【详解】解：∵∴=故答案是：2019.【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．12．（2021·上海·七年级期中）古希腊Pythagoras学派把自然数与小石子堆放的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数别表示分别表示数1、5、12、22、…，那么第n个五角形数是_______(n为正整数)【答案】【分析】先数出前几个图实心点的个数，根据求出的实心点的个数总结规律，即可得出答案.【详解】由图像可知，第一个图有1个实心点第2个图有1+1×3+1=5个实心点第3个图有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点第4个图有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点……以此类推，第n个图有：1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n-1)+1=3[1+2+3+…+(n-1)]+n个实心点故答案为.【点睛】本题主要考查整式探索和表达规律，根据前面几个图总结出通用规律是解决本题的关键.13．（2021·上海·七年级期中）已知：则代数式的值为________．【答案】-70【分析】先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.【详解】解：∵∴∴xy=7===7×（11-3×7）=-70【点睛】本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系．14．（2021·上海·七年级期中）已知求_________________．【答案】47【分析】根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.【详解】∵，，∴两边同时除以x得：，即，∴，即，∴，∴.【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.15．（2021·上海·七年级期中）观察下列各式：(x−1)(x+1)=x²−1(x−1)(x²+x+1)=x³−1(x−1)(x³+x²+x+1)=x−1…根据以上规律，求1+2+2²+…+__________.【答案】22018-1【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.【详解】解：1+2+2²+…+=（2-1）(1+2+2²+…+)=22018-1故答案为22018-1【点睛】本题考查的是算式规律探究问题，根据题意归纳得出一般性规律是解答此题的关键.16．（2021·上海·七年级期中）若a,b,c满足，则________【答案】【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.【详解】因为所以，即因为所以因为所以因为所以即因为即故答案为：【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.17．（2021·上海·七年级期中）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【详解】解：；；；，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．18．（2021·上海·七年级期中）正数满足，那么______．【答案】64【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．【详解】解：∵，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,∴=12可化为a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,∵a为正数，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,∴(2+2)×(2+2)×(2+2)=64故答案为64．【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．三、解答题19．（2021·上海·七年级期中）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________;（3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值．（写出具体求解过程）【答案】（1）-b;(2)：a=-2，b=2;(3)9.【分析】（1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a与b的关系；（2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值；（3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b的值.【详解】解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a，即a=-b；故答案为-b；（2）由题意得：解得：故答案为a=-2，b=2（3）由题意得：，即：，可得：;故答案为9.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等"列出等式.20．（2021·上海·七年级期中）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、…)，受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a与层数n之间满足关系式a=n²−32n+247，1⩽n<16，n为整数．(1)例如，当n=2时，a=2²−32×2+247=187，则a=___，a=___；(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱;(用含n的代数式表示)(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层?为什么?【答案】（1）112，91；（2）（31-2n）个；（3）①46.75N；②该仪器最多可以堆放5层.【分析】（1）把n=5，n=6分别代入n²−32n+247中进行计算.；（2）分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法计算；（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．【详解】解：（1）当n=5时，a5=5²−32×5+247=112，当n=6时，a6=6²−32×6+247=91；（2）由题意可得，n²−32n+247-[(n+1)²−32(n+1)+247]=n²−32n+247-(n2+2n+1−32n-32+247)=n²−32n+247-n2-2n-1+32n+32-247=31-2n（个）答：第n层比第(n+1)层多堆放（31-2n）个仪器箱.（3）①由题意得，==46.75（N）答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75N.②该仪器箱最多可以堆放5层,理由如下.当n=1时，a1=216，当n=2时，a2=187，当n=3时，a3=160，当n=4时，a4=135，当n=5时，a5=112，当n=6时，a6=91，当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=148.5<160（N）当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：=171.25>160（N）所以，该仪器箱最多可以堆放5层.【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想.21．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）分解因式：.【答案】（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【详解】设x2+x=y，则原式=（y+1）（y+2）﹣12=y2+3y﹣10=（y﹣2）（y+5）=（x2+x﹣2）（x2+x+5）=（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．【点睛】本题主要考查了因式分解-十字相乘法，对于展开后次数较高的因式分解，不要急于展开，要多观察查找规律．常用换元法来解决．22．（2021·上海·七年级期中）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，原图（图2左）载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中.这一成果比国外领先600年！这个三角形的构造法则是：两腰都是1，其余每个数为其上方左右两数之和.它给出（a+b）n（n为正整数）展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着的展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数；等等．(1)请根据贾宪三角直接写出的展开式：．．（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的的结果．【答案】(1);;(2)【分析】（1）根据系数规律，由题意展开即可；（2）利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，即可得到结果．【详解】解：（1）；（2）.【点睛】本题考查了整式的混合运算，规律型：数字的变化类，解题的关键是根据题意展开计算即可.23．（2018·上海市松江九峰实验学校七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：=按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：①；(只写最后结果)②当x为何值时,；

(只写最后结果)③将下面式子进行因式分解：.【答案】①；②；③【分析】①根据题意列出算式；②根据题意列出方程：,解方程;③根据题列出多项式：.【详解】①；②；③原式=【点睛】本题借助定义新运算，实际考查解一元一次方程的解法和因式分解等,根据定义的新运算列出对应代数式、方程是关键．24．（2021·上海·七年级期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根据面积差可得结论；②根据图形可以直接得结论；（2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论．【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．25．（2021·上海·七年级期中）已知：设(1)求的值(2)试写出三者之间的关系(3)根据以上得出的结论，求【答案】（1），，；（2）；（3）521.【分析】（1）首先求出，，然后将S3变形得，整体代入可求其值，同理可求和；（2）观察（1）中的结果，总结规律可得；（3）根据（2）中的规律，依次求解，可得.【详解】解：（1）∵，，∵，，，，；（2）∵，，，，，∴，，，总结规律可得：；（3）∵，，∴，，，，，，.【点睛】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意求出S2＝3，S3＝4，S4＝7，分析归纳出规律：．26．（2021·上海·七年级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么他总共需要多少张纸片？【答案】（1）；（2）50；（3）143.【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.【详解】解：（1）（2）由（1）可知：（3）根据题意得，所以，，所以答：小明总共需要张纸．【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.27．（2021·上海·七年级期中）阅读理解题阅读材料：

两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．

比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以

该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．

两数相乘可得：.（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）问题：

两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．

如、、等．（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．【分析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则可得出（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．规律：先将和为10的数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．（3）根据（1）即可得出结论．【详解】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（10a+a）（10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（b+1）a×100+ac．规律：先将和为10的数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．故答案为11a，9b+10．（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（10a+a）（10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（b+1）a×100+ac．故答案为（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．【点睛】本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．28．（2021·上海·七年级期中）现有若干根长度相同的火柴棒，用a根火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，用b根火柴棒，按如图②摆放时可摆成2n个正方形．(m、n是正整数)（1）如图①，当m=4时，a=______；如图②，当b=52时，n=______；（2）当若干根长度相同的火柴棒，既可以摆成图①的形状，也可以摆成图②的形状时，m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由；（3）现有61根火柴棒，用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法．【答案】（1）a=13，n=10；（2）3m+1=5n+2；（3）如图①摆放1个正方形，如图②摆放11个正方形【分析】（1）根据每多一个正方形多用2根火柴棒写出摆放m个正方形所用的火柴棒的根数，然后把m=4代入进行计算即可得解；（2）根据a相等列出关于m、n的关系式；（3）可以摆出图①说明a是比3的倍数多1的数，可以摆出图②说明2a是比5的倍数多2的数，所以，2a取5与6的倍数大2的数，并且现有61根火柴棒进而得出答案．【详解】（1）由图可知，图①每多1个正方形，多用3根火柴棒，所以，m个小正方形共用3m+1根火柴棒，图②每多2个正方形，多用5根火柴棒，所以，2n个小正方形共用5n+2根火柴棒，当m=4时，a=3×4+1=13，图②可以摆放5n+2=52个小正方形,∴n=10.（2）∵都用a根火柴棒，∴3m+1=5n+2，整理得，3m=5n+1；（3）∵3m+1+5n+2=61，∴3m+5n=58，当m=1，n=11，是方程的根，∴第一个图形摆放3×1+1=4根火柴棒，第二个图形摆放5×11+2=57根火柴棒，如图，∵4+57=61，∴符合题意（答案不唯一）．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出正方形的个数与火柴棒的根数之间的变化关系是解题的关键．29．（2021·上海·七年级期中）阅读下面内容，并完成题目通过计算容易得到下列算式:，，，...（1）填写计算结果___,___,___，（2）观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数，可以看出规律，结果的末两位数字都是25，即是原来数字个位数字5的平方，前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果，如:就是再连着写25得到225，就是再连着写25得到625，就是再连着写25得到1225，...如果记-一个个位数字是5的多位数为,试用所学知识计算并归纳解释上述规律【答案】（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25【分析】（1）先认真审题，观察已知中算式的计算过程，根据计算过程得出规律，即可得出答案；（2）根据计算过程得出规律，即可得出答案.【详解】解：（1）通过计算，探索规律：∵152=225可写成100×1×（1+1）+25，252=625可写成100×2×（2+1）+25，352=1225可写成100×3×（3+1）+25，…∴652=4225可写成

100×6×（6+1）+25，852=7225可写成100×8×（8+1）+25，1052=11025可写成100×10×（10+1）+25；（2）依据（1）的结果，归纳猜想得（10a+5）2=100a（a+1）+25，故答案为（1）4225，7225，11025；（2）100a（a+1）+25.【点睛】本考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能根据求出的结果和算式得出规律，题目比较好，有一定的难度．30．（2021·上海·七年级期中）（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____（4）若则_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【分析】（1）根据题意，得到；再将原式进行变形即可得出答案（2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案（4）采用赋值法进行计算【详解】（1）由题意得：；∴======2001（2）设，则；∴，即∴原式=（3）=∙==192∴∴∴（4）当x=1时，1=

……①当x=﹣1时，=

……②当x=0时，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【点睛】本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键31．（2021·上海·七年级期中）已知求a的值.【答案】.【分析】先对等式左边进行变形，使之符合平方差公式，而后计算出结果，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出a值.【详解】解：===∵∴∴【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并进行正确变形是解题关键.32．（2021·上海·七年级期中）如图,正方形ABCD与正方形BEFG,点E在边AB上,点G在边BC上.已知AB=a,BE=b(b<a).(1)用a、b的代数式表示右图中阴影部分面积之和S(2)当a=5cm，b=2cm时，求S的值【答案】（1）S；（2）8【分析】（1）用含a、b的代数式表示AE、CG的长，再利用三角形面积公式即可完成；（2）将a=5cm，b=2cm代入（1）中代数式即可解答.【详解】（1）解：AE=a-b，EF=b，CG=a-b，CD=a，阴影面积之和：阴影部分面积之和S（2）当a=5cm，b=2cm时，S.【点睛】本题考查列代数式表示面积，熟练掌握代数式以及三角形面积公式是解题关键.33．（2021·上海·七年级期中）下图是按规律排列的一组图形的前三个,观察图形,并在空白处填空(1)第五个图形中,一共有_______个点(2)请用n的代数式表示出第n个图形中点的数量__________(3)第100个图形中一共有_______个点【答案】（1）31（2）（6n+1）个（3）601【分析】（1）根据第一个图形中点的个数为7，第二个图形中点的个数为13，第三个图形中点的个数为19，即可计算出第5个图形中点的个数；（2）根据（1）中规律，用含n的代数式表示即可；（3）将n=100代入（2）中代数式，即可完成.【详解】（1）第一个图形中，一共有7个点，7=6×1+1；第二个图形中，一共有13个点，13=6×2+1；第三个图形中，一共有19个点，19=6×3+1；……第五个图形中，一共有6×5+1=31个点；故答案为31.（2）由（1）可得：第n个图形中点的数量：（6n+1）个；（3）由（2）得：当n=100时，6n+1=6×100+1=601∴第100个图形中一共有601个点.【点睛】本题考查图形的变化规律，难度适中，观察图形，找出规律是解题关键.34．（2021·上海·七年级期中）阅读理解（1）已知下列结果，填空：......（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）【答案】（1）；（2）342【分析】（1）根据题中给出的等式，写出的值即可；（2）根据已知条件知，推导出，然后进行化简即可.【详解】（1）依据题意∴(2)由已知得∴====342故答案为（1）；（2）342【点睛】本题考查了根据已知等式探索规律，通过已知的等式找出等式的规律是解题的关键.35．（2021·上海·七年级期中）观察下图，填空：（1）第n个图形中有多少个“”和“☆”？（2）第n个图形有182个“”该图形中有多少个“☆”？【答案】（1）第n个图形中有2（3n+1）个“”，n2个“☆”；（2）900.【分析】（1）根据第1个图形中有8个“”和1个“☆”，第2个图形中有14个“”和4个“☆”，第3个图形中有20个“”和9个“☆”，可知图形中“”的个数规律是2（3n+1），“☆”个数规律是n2，据此求出规律即可；（2）由（1）得出的规律代入求出n的值即可求出图形中有多少个“☆”.【详解】（1）根据第1个图形中有8个“”和1个“☆”，第2个图形中有14个“”和4个“☆”，第3个图形中有20个“”和9个“☆”，∴第n个图形中有2（3n+1）个“”，n2个“☆”；（2）根据（1）知，第n个图形中有2（3n+1）个“”，n2个“☆”∴当2（3n+1）=182时，解得n=30故有302=900个“☆”.【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解题的关键是根据图的数量的变化找出变化规律．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出图中“”和“☆”的数量，根据数值的变化找出变化规律是关键．36．（2021·上海·七年级期中）用双十字相乘法分解因式例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14．∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33，∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)．双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=【答案】(2x-3y-4z)(3x+2y+5z)【分析】结合题意画出图形，即可得出结论.【详解】6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2∵2×2+3×(-3)=-5，2×5z+3×(-4z)=-2z，-3×5z+2×（-4z）=-23z，∴6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=(2x-3y-4z)(3x+2y+5z).故答案为(2x-3y-4z)(3x+2y+5z).【点睛】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）.37．（2021·上海·七年级期中）已知a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1求的值【答案】36【分析】先将原式移项得到：，然后对于前三项利用完全平方式进行因式分解，中间两项提取公因式得到：，然后将看成一个整体利用完全平方式因式分解，再将已知的、的值代入计算即可【详解】原式=

=

=又∵a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1∴原式==36【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，熟练掌握相关概念公式是解题关键38．（2019·上海市毓秀学校七年级期中）已知：a-a-1=6，求下列代数式的值．(1)a2+a-2(2)(a+a-1)2【答案】（1）38;（2）40.【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案；（2）根据完全平方公式即可求出答案．【详解】（1）∵a-a-1=6且（a-a-1）2=a2-2+a-2，∴36=a2-2+a-2，∴a2+a-2=38，（2）∵(a+a-1)2=a2+2+a-2，由（1）可知：a2+a-2=38，∴(a+a-1)2=a2+2+a-2=38+2=40.【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．39．（2021·上海·七年级期中）现用a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆放2n个正方形.(1)如图①，当m=2时，a=，如图②，当n=3时，a=；(2)m与n之间有何数量关系，请你写出来并说明理由;(3)现有56根火柴棒，现用若干根火柴棒摆成图①的形状后，剩下的火柴棒刚好可以摆成图②的形状．请你直接写出一种摆放方法，并通过计算验证你的结论.【答案】（1）①7，②17；（2）3m=5n+1；（3）第一个图形摆放4根火柴棒，第二个图形摆放52根火柴棒【分析】（1）根据每多一个正方形多用2根火柴棒写出摆放m个正方形所用的火柴棒的根数，然后把m=2代入进行计算即可得解；（2）根据a相等列出关于m、n的关系式；（3）可以摆出图①说明a是比3的倍数多1的数，可以摆出图②说明2a是比5的倍数多2的数，所以，2a取5与6的倍数大2的数，并且现有56根火柴棒进而得出答案．【详解】解：（1）由图可知，图①每多1个正方形，多用3根火柴棒，所以，m个小正方形共用3m+1根火柴棒，图②每多2个正方形，多用5根火柴棒，所以，2n个小正方形共用5n+2根火柴棒，当m=2时，a=3×2+1=7，图②当n=3时,3×5+2=17；（2）∵都用a根火柴棒，∴3m+1=5n+2，整理得，3m=5n+1；（3）∵3m+1+5n+2=56，∴3m+5n=53，当m=1，n=10，是方程的根，∴第一个图形摆放3×1+1=4根火柴棒，第二个图形摆放5×10+2=52根火柴棒，∵4+52=56，∴符合题意（答案不唯一）．故答案为（1）①7，②15；（2）3m=5n+1；（3）第一个图形摆放4根火柴棒，第二个图形摆放52根火柴棒.【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出正方形的个数与火柴棒的根数之间的变化关系是解题的关键．40．（2021·上海·七年级期中）已知满足（1）利用因式分解求的值；（2）求的值【答案】（1）2（2）34，±8【分析】（1）提取公因式进行因式分解即可求解；（2）根据（1）知的值，即可推出，即可求出，即可求解的值.【详解】解：（1）∴

∴∵∴；（2）根据（1）知=2∴∴，∵，∴∴故答案为（1）2（2）34，±8.【点睛】本题主要考查了因式分解与完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并学会对公式进行适当变形是解答本题的关键.41．（2021·上海·七年级期中）填空：已知多项式________是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：完全平方公式，分情况讨论：（1）当相当于项时，，可满足题意；（2）当相当于项时，，可满足题意；（3）当与相当于a与b，则需要求的是项，则，可满足题意.故答案为.【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．42．（2021·上海·七年级期中）在长方形ABCD中，AB=a，BC=2a，点P在边BA上，点Q在边CD上，且BP=m，CQ=n，其中，m＜a，n＜a，m≠n，在长方形ABCD中，分别以BP、CQ为边作正方形BPP1P2，正方形CQQ1Q2（点P2、Q2在边BC上）．（1）画出图形．（2）当m＜n时，求三角形PQ1C的面积．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）连结PQ1，Q1C，PC．根据△PQ1C的面积=梯形PBQ2Q1面积+△Q1Q2C面积－△PBC面积计算即可．【详解】（1）所画图形如下：（2）如图，连结PQ1，Q1C，PC．则△PQ1C的面积=梯形PBQ2Q1面积+△Q1Q2C面积－△PBC面积==．【点睛】本题考查了列代数式．得出△PQ1C的面积的计算公式是解答本题的关键．43．（2021·上海·七年级期中）已知：，请按规律，进行以下的探索：①②③求.(用含n的代数式表示)【答案】①a+b；②a2+ab+b2；③a-b，a3+a2b+ab2+b3；2n+1-2【分析】根据题意易得（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1，根据规律即可求解.【详解】解：∵时，⋯∴（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1；∴①（a-b）（a+b）=a2-b2；②（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；③（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1）=-2（1-2n）=2n+1-2故答案为①a+b；②a2+ab+b2；③a-b，a3+a2b+ab2+b3；2n+1-2.【点睛】本题考查了整式的混合运算及数字变化类问题，根据题意熟练得到数字变化规律是解本题的关键．44．（2021·上海·七年级期中）（1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个大正方形．请问：这两个图形的什么量不变？（2）把所得的大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式表示为（m-n）2或m2-2mn+n2．（3）由前面的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，当时，面积最大．（4）若矩形的周长为24cm，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）两图形周长不变；（2）（m-n）2或m2-2mn+n2；（3）长和宽相等；（4）6，36【分析】（1）根据图形中各边长得出两个图形的周长即可；（2）根据两图形得出阴影部分面积即可；（3）根据两图形面积可得出在周长一定的矩形中，当长和宽相等时，面积最大；（4）由（3）得出边长即可，最大面积即可．【详解】解：（1）∵图（1）的周长为：2m+2n+2m+2n=4m+4n；图（2）的周长为：4（m+n）=4m+4n；∴两图形周长不变；（2）大正方形面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积为：（m-n）2或m2-2mn+n2；（3）长和宽相等；（4）由（3）得出：当边长为：=6（cm）时，最大面积为：36cm2．故答案为（1）两图形周长不变；（2）（m-n）2或m2-2mn+n2；（3）长和宽相等；（4）6，36.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及矩形的性质以及图形面积求法，根据已知图形得出周长与面积关系是解题关键．45．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式===.【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.46．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】观察式子可发现：，故可设，，将原式变为进行化简分解，最后将A、B替换再化简即可.【详解】解：设，，则,∴原式======.【点睛】本题考查因式分解，观察得出式子之间的关系是解答本题的关键.47．（2021·上海·七年级期中）已知(2x－1)＝ax＋bx＋cx＋dx＋ex＋fx＋g(a，b，c，d，e，f，g均为常数)，试求:(1)a＋b＋c＋d＋e＋f＋g的值；(2)a－b＋c－d＋e－f＋g的值；(3)a＋c＋e＋g的值；【答案】（1）1；（2）729；（3）365【分析】（1）令x=1代入即可求解；（2）令x=-1代入即可求解；（3）根据（1）、（2）结果，将两式作和即可求解.【详解】解：（1）当x=1时，a×16＋b×15＋c×14＋d×13＋e×12＋f×1＋g=(2×1-1)6=1∴a＋b＋c＋d＋e＋f＋g=1（2）当x=-1时，a×(-1)6＋b×(-1)5＋c×(-1)4＋d×(-1)3＋e×(-1)2＋f×(-1)＋g=[2×(-1)-1]6=729∴a-b＋c-d＋e-f＋g=729（3）∵a＋b＋c＋d＋e＋f＋g=1①a-b＋c-d＋e-f＋g=729②∴①+②，得2a+2c+2e+2g=730∴a+c+e+g=365【点睛】本题采用赋值法，结合代数式的形式对x取适当的值是解答此题的关键.48．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】【分析】先分组分解后提取公因式即可.【详解】【点睛】本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键.49．（2021·上海·七年级期中）已知：，，，设，，，……，（1）计算___________，____________，____________（2）写出，，，四者之间的关系，并证明你的结论．（3）根据（2）的结论，直接写出的值是_____________【答案】（1）5，4，13；（2），见解析；（3）38【分析】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，由(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2)，可求s3，由变形可求s4；（2）sn=sn﹣1•(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1•(a+b+c)﹣[sn﹣2•(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1•(a+b+c)﹣sn﹣2•(ab+ac+bc)+sn﹣3•abc，将已知条件代入即可；（3）利用所求关系式可得：s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，则s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38．【详解】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc．∵a+b+c=1，abc=﹣1，∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(1-a)+3b2(1-b)+3c2(1-c)+6abc∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2-3a3+3b2-3b3+3c21-3c3+6abc∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)-6+3(a2+b2+c2)，∴s3=a3+b3+c3=4．∵ab+bc+ac=-2，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴∴∴s4=a4+b4+c4=13．故答案为：5，4，13；（2）关系为sn=sn﹣1﹣2sn﹣2﹣sn﹣3；理由：sn=sn﹣1•(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1•(a+b+c)﹣[sn﹣2•(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1•(a+b+c)﹣sn﹣2•(ab+ac+bc)+sn﹣3•abc．∵a+b+c=1，ab+bc+ca=﹣2，abc=﹣1，∴sn=sn﹣1+2sn﹣2﹣sn﹣3；（3）∵s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，∴s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38，∴a6+b6+c6的为38．故答案为：38．【点睛】本题考查了因式分解