全等三角形总复习

关于全等三角形总复习一、全等三角形1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。第2页,共49页，2024年2月25日，星期天2.全等三角形的判定:

①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL第3页,共49页，2024年2月25日，星期天一般三角形

全等的条件：1.定义（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法第4页,共49页，2024年2月25日，星期天3.三角形全等的证题思路：①②③第5页,共49页，2024年2月25日，星期天1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时

①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。

②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

③有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。

第6页,共49页，2024年2月25日，星期天例题选讲1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB第7页,共49页，2024年2月25日，星期天2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对D第8页,共49页，2024年2月25日，星期天3.如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=

。12cABDE第9页,共49页，2024年2月25日，星期天4已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.ABCD第10页,共49页，2024年2月25日，星期天5:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C

第11页,共49页，2024年2月25日，星期天6：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△ADB≌△CEB。BE=BDBA=BCDA=EC第12页,共49页，2024年2月25日，星期天7：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：ABCDE证明：中线延长它一倍第13页,共49页，2024年2月25日，星期天课堂练习1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DE＝DF┏┏第14页,共49页，2024年2月25日，星期天2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。证明：第15页,共49页，2024年2月25日，星期天4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

EDCAB证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD第16页,共49页，2024年2月25日，星期天

EDCAB3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转10°时，第17页,共49页，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转60°时，EDCAB第18页,共49页，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转120°时，EDCAB第19页,共49页，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转180°时，EDCAB第20页,共49页，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转240°时，EDCAB第21页,共49页，2024年2月25日，星期天4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，当△ABC绕点C顺时针旋转ɑ时，连接BE，DA；结论BE=AD还成立吗？若成立请加以证明。EDCABEDCABα﹙第22页,共49页，2024年2月25日，星期天引申：.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，AC与BE相交于M，CE与AD相交于N，试判定△ＣＭＮ的形状

EDCABMN解：△ＣＭＮ是等边三角形证明：（１）先证∠ACE＝６０°（２）证明△BCE≌△ACD→∠BEC＝∠ADC（３）在证△MCE≌△NCD→CM=CN第23页,共49页，2024年2月25日，星期天5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中

∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD第24页,共49页，2024年2月25日，星期天6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF证明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中

AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）第25页,共49页，2024年2月25日，星期天7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：EG∥AF

求证：GFEDCBA高第26页,共49页，2024年2月25日，星期天8.如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且AD＝BE＝CF，图中全等三角形有那些？解：共六个AFEDC

BGIH△ＡＤＧ≌△BEH≌△CFI△ＡBH≌△BCI≌△CAG△ＡBE≌△BCF≌△CAD△ＡHF≌△BID≌△CGE△ＡBF≌△BCD≌△CAE第27页,共49页，2024年2月25日，星期天8引申如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且△DEF也是等边三角形，图中（１）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（２）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移旋转而得到，如AE和BF，把AE绕这A点沿顺时针方向选旋转６０°，，再沿着AB方向平移使点A至点F即可得到BF，其余类同AFEDC

B第28页,共49页，2024年2月25日，星期天8引申如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且△DEF也是等边三角形，图中（１）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（２）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移旋转而得到，如AE和BF，把AE绕这A点沿顺时针方向选旋转６０°，，再向下然后再向左平移使点A至点F即可得到BF，其余类同AFEDC

B第29页,共49页，2024年2月25日，星期天９.阅读理解（１）如果两个三角形均为直角三角形，显然它们全等1阅读：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。（２）如果两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（３）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等2证明：请你从（２）（３）选择一个加以证明（３）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等已知：△ABC和△A′B′C′均为锐角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求证：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D

A

B

C

第30页,共49页，2024年2月25日，星期天已知：△ABC和△A′B′C′均为锐角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求证：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D′

A

B

C

D

证明：分别作B，B′两点作BD⊥CA于D，B′D′⊥C′A′于D，先证：△ABD≌△A′B′D′

再证：△ABC≌△A′B′C′

（3）由此你得出一个什么结论：结论：两边及其中一边的对边分别相等的两个锐角（直角三角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形第31页,共49页，2024年2月25日，星期天10已知命题：如图点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌DEF，判定这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请加以证明；如果是假命题，请添加一个适当的条件使它称为真命题，并加以证明A

F

C

E

D

B

解答：题设命题是假命题；可以下添加一个条件均可证明三角形全等（1）当AC＝DF（２）∠CBA＝∠E（３）∠C＝∠F证明：略第32页,共49页，2024年2月25日，星期天1１已知：如图线段AC与BD相交与点O，连接AB，DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF；A

B

C

D

O

F

E

（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB＝DC（２）分别将∠A＝∠D记为①；∠OEF＝∠OFE记为②；AB=DC记为③；添加条件①③，以②为结论构成命题1；添加条件②③，以①为结论构成命题2，命题1是——命题；命题2是——命题（选“真”或“假”）证明：（1）略（２）命题1为真命题；可以AAS证明；命题2是假命题，此命题的条件为SSA，不能证明全等第33页,共49页，2024年2月25日，星期天13已知点A，E，F，C在同一条直线上，且AE＝CF，过E

F两点分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，（１）求证：BD平分EF（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变化为2时，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由A

D

B

C

E

F

G

图1A

D

B

C

E

F

G

图2第34页,共49页，2024年2月25日，星期天E

证明：在DC上截取DE＝DB，连接AE

A

C

D

B

·

１４。如图在三角形ABC中，BC上的高为AD，且∠B=2∠C求证：CD=AB＋BD第35页,共49页，2024年2月25日，星期天15已知△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有如下四个论断：（1）AD＝CB（２）AE＝CF（3）∠B=∠D（4)AD//BC,请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。其中①的组合是错误的，无法证明A

B

C

E

F

D

解：①由（1）（2）（3）为条件（4）为结论②由（1）（2）（4）为条件（3）为结论③由（1）（3）（4）为条件（2）为结论④由（2）（3）（4）为条件（1）为结论下面我们以④为例写出已知，求证，并进行证明已知：AE＝CF，∠B=∠D，AD//BC求证：AD=BC证明：略第36页,共49页，2024年2月25日，星期天16在正方形ABCD中，E是AD是中点，F是BA的延长线的一点，AF=AE，已知△ABE≌△ＡＤＦ（１）在图中可以通过平移，翻折，旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ＡＤＦ的位置FEDCBA（２）线段BE与DF有什么位置关系？证明你的结论解：图中通过绕A点按逆时针方向旋转９０°，使△ABE变到△ＡＤＦ的位置（图１）理由：延长BE交DF于点G，FEDCBAG∵△ABE≌△ＡＤＦ∴∠ABE=∠ADF又∵∠AEB=∠DEG∴∠DGB=∠DAB＝９０°∴BE⊥DF第37页,共49页，2024年2月25日，星期天17。如图在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B

C两点在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E求证：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗提示证明：△ABD≌△ACE（AAS）证明：第38页,共49页，2024年2月25日，星期天17。如图在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B

C两点在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E求证：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明提示证明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第39页,共49页，2024年2月25日，星期天17。如图在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B

C两点在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E求证：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明（３）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明提示证明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第40页,共49页，2024年2月25日，星期天17。如图在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B

C两点在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E求证：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明（３）若直线AE绕点A旋转到右图位置时，（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE和CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明（４）归纳（１）（２）（３）请用简洁的语言表达BD，DE和CE的关系归纳：当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE；当B，C在AE的同侧时，BD=DE-CE第41页,共49页，2024年2月25日，星期天拓展题1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED第42页,共49页，2024年2月25日，星期天2.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE;ECAB21D(2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合?(3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系?(4)试证ED⊥BC(1)观察图中有没有全等三角形?第43页,共49