人教版八年级数学上册轴对称章末重难点题型试卷

专题04轴对称章末重难点题型汇编【举一反三】

【人教版】

面芍点］1

考点6设计轴对称图案-考点1判断轴对称图形

考点7等腰三角形的判定\一-----

考点2角平分线的应用

考点8“二^合一”性质的应用---------件1滤§£附1-----------

考点3线段垂直平分线性质的应用

考点9等边三角形的判定与频----/\-------

考点4等腰三角形

考点10翻折变换''

考点5轴对称性质的应用

K舞列分所II

【考点1判断轴对称图形】

【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折,，如果直线两旁的部分能够互相重

合，那么称这个图形是轴时称图形，这条直线就是对称轴。

注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：

（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。

（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条,但至少要有一条。

【例1】（2019春•相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（）

.WD.羽

◎.0C

【变式1-1］（2018秋•思明B区校级期中）如图,四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）

qD»

【变式1-2］（2018秋•开封期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（)

Aqp‘a0圄

【变式1-3）（2018秋•宜兴市校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点2角平分线的应用】

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

【例2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=BC,40平分/C48交8c于。,

DELABTE,若AB=6cm,则△D8E的周长是（）

A.6cmB.7cmC.ScmD.9cm

【变式2-1］（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，A。是△ABC的角平分线，DELABE,已知△ABC的

面积为28.AC=6,DE=4,则A8的长为（）

【变式2-2］（2018秋•思明区校级期中）如图，△ABC中，AB=6,AC=4,AD平分N8AC,£>EJ_AB于点

E,BELAC于点尸，DE=2,则B尸的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式2-3］（2018秋•西城区校级期中）如图，AO是△ABC中NB4C的角平分线，DEJ_AB于点E,SMBC

=24,D£=4,48=7,则4c长是（）

【考点3线段垂直平分线性质的应用】

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

法就：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

【例3】（2019春•普宁市期中）如图：在AABC中，和AC的垂直平分线分别交BC于点。、E,且点。

在点E的左侧，BC=6cm,则△4DE的周长是（）

A.3cmB.\2cmC.9cmD.6cm

【变式3-1］（2019春•南华县期中）如图，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4,A8的垂直平分

线交BC于点O,连接AO,则△ACO的周长是（）

A.7B.8C.9D.10

【变式3-2］（2018秋•南岗区校级期中）如图，在△48C中，点E在边AC上，OE是A5的垂直平分线,

△ABC的周长为19,ZXBCE的周长为12,则线段AB的长为（)

D,

E

产-----------

A.9B.8C.7D.6

【变式3-3］（2018春•雨城区校级期中）如图，在AABC中，PM、QN分别是48、AC的垂直平分线，Z

【考点4等腰三角形的性质】

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例4】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,

则此等腰三角形的顶角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【变式4-1］（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB=4C=BO,则NI与N2的关系是（）

C.Zl+3Z2=180°D.Z1=2Z2

【变式4-2］（2018秋•祁江区期中）如图，若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的

是（)

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

【变式4-3](2018秋•新吴区期中)如图，在第一个△AB4中NB=20°,AB=A\B,在48上取一点C,

延长44到42,使得AI42=4C,得到第二个△A1A2C；在A2c上取一点£),延长442到43,使得A2A3

=A2Q；…，按此做法进行下去，则以点4为顶点的等腰三角形的底角的度数为()

B

【考点5轴对称性质的应用】

【方法点拨】掌握轴对称的性质：

1.成轴对称的两个图形全等。

2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。

3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

【例5】(2019春•贵阳期末)如图，点P是△ACB外的一点，点。，E分别是AACB两边上的点，点P关

于CA的对称点P恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE=25,

【变式5-1](2019春•普宁市期末)如图，在△4BC中，点。为BC边上一点，点。关于AB,AC对称的

点分别为E、F,连接E尸分别交4B、4C于M、N,分别连接。M、DN,已知△。例N的周长是6cvn,那

么EF=

N

E

BD

【变式5-2］（2019春•山亭区期末）如图，在NAO3的内部有一点尸，点M、N分别是点P关于OA,OB

的对称点，MN分别交。4,08于C,。点，若△P（：£＞的周长为30cm,则线段MN的长为cm.

【变式5-3］（2018春•凤翔县期末）如图，点P是/AOB外一点，点M、N分别是/AOB两边上的点，点

P关于04的对称点。恰好落在线段MN上，点、P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上.若PM

=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为.

【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些

图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案

时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，

我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。

（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的：

（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；

（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。

【例6】（2019春•赫山区期末）如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）

（1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；

（2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）

图①图②

【变式6-1］（2019春•东明县期末）如图，下列4X4网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中

有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对

称图形，请设计出四种方案.

【变式6-2］（2018秋•赣榆区期中）如图，在2X2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别

在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与aABC成轴对称图形.

【变式6-3］（2018秋•东台市期中）方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的

多边形称为“格点多边形”.

:

u.<

.

4.

.

.

4.-

.

.™

:,

（1）在图1中确定格点。，并画出一个以A、B、C、。为顶点的四边形，使其为轴对称图形;

(2)在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；

(3)直接写出图3中△FGH的面积是.

【考点7等腰三角形的判定】

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。筒称“等角对等边”

牢记:(1)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反,

要注意区分；

(2)判定定理可以用来判定一个三角形是等腰,三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

【例7】(2019春•深圳期中)如图，DE//BC,CG=GB,Z1=Z2,求证：△QGE是等腰三角形.

【变式7-1](2018秋•双阳区校级期中)如图，8。是AABC的角平分线，DE//BC,交AB于点£求证:

△3E。是等腰三角形.

【变式7-2](2018秋•鸠江区期中)己知：如图，。为△ABC的NBAC的角平分线上一点，/1=/2,求

证：△ABC是等腰三角形.

【变式7-3](2019秋•望谟县期中)已知：如图，锐角△ABC的两条高80、CE相交于点O,且O8=OC.

求证：△48C是等腰三角形.

A

【考点8“三线合一”性质的应用】

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。

【例8】(2019秋•武昌区期中)如图，在△ABC中，NBAC=90°,AD1BC,BE平分NA8C,G为E尸的

中点，求证：AGLEF.

【变式8-1](2019秋•青山区期中)在△ABC中，BC边上的高4G平分/54C.

(1)如图1,求证:AB=AC；

(2)如图2,点。、E在AABC的边BC上,AD=AE,BC=l0cm,DE=6cm,求8。的长.

图1图2

【变式8-2](2019•衡阳校级期中)已知I：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点Q,BC的延长线上

【变式8-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,AB=AC.

(1)若。为BC的中点，过。作。M_LON分别交AB、AC于M、N,求证：DM=DN；

(2)若QMLCN分别和8A、AC延长线交于M、N,问CM和DN有何数量关系，并证明.

M

A

【考点9等边三角形的判定与性质】

【方法点拨】等边三角形的性质：

(1)等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；

(2)等边三角形的每个角都等于60°。

等边三角形的判定：

(1)三边相等的三角形是等边三角形。

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。

(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【例9】(2018秋•松桃县期末)如图，点尸，M,N分别在等边AABC的各边上，且于点P,MN

于点M,PNLAC于点、N.

(1)求证：△PMN是等边三角形；

(2)若A8=12cm,求CM的长.

A

BM,

【变式9-1](2018秋•邵阳县期末)如图，在等边△ABC中,NABC与NACB的平分线相交于点。，且OD

//AB,OE//AC

(1)试判定△OOE的形状，并说明你的理由；

(2)若BC=10,求△OOE的周长.

BDEC

【变式9-2](2019秋•寿光市期末)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边,在直线AC

的同侧作等边△AB。和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMM

(1)求证：/XABE^^DBC.

(2)试判断的形状，并说明理由.

【变式9-3](2019秋•中江县期末)如图，/XABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、

点8同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为Icmls,点、N的速度为2aMs.当点N第一次到

达8点时，M、N同时停止运动.

(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?

(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时

M、N运动的时间.

【考点10翻折变换】

【例10】(2018春•锦江区期末)在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段a,b,且长度为b的边

所对的角为〃。(0<«<90°)小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角

形重合在一起(如图2),其中BD=BC=b,发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣,

并进行了进一步的探究：

（1）当"=45时（如图2）,小明测得NABC=65°,请根据小明的测量结果，求NAB。的大小；

（2）当〃W45时，将△AB。沿AB翻折，得到△ABQ'（如图3）,小明和小亮发现BC的大小与

角度“有关，请找出它们的关系，并说明理由；

（3）如图4,在（2）问的基础上，过点8作4。'的垂线，垂足为点E,延长AE到点凡使得£E=

2

CAD+AC）,连接8F,请判断的形状，并说明理由.

图4

【变式10-1】（2019春•迁安市期末）已知/MON=90",点A,8分别在射线OM,ON上运动（不与点。

重合）

观察：

（1）如图1,若NOBA和NOAB的平分线交于点C,ZACB=°

猜想：

（2）如图2,随着点4,8分别在射线OM,ON上运动（不与点。重合）.若8C是N4BN的平分线，

BC的反向延长线与NOAB的平分线交于点E,NE的大小会变吗？如果不会，求NE的度数；如果会改

变，说明理由.

拓展：

（3）如图3,在（2）基础上，小明将△ABE沿MN折叠，使点E落在四边形A8MN内点E'的位置.求

NBME'+ZANE'的度数.

【变式10-2］（2019春•研口区月考）如图1,点E,F分别在直线AB,CZ）上，点P在AB,CD之间，连

接EP,FP.过FP上的点M作MN〃EP,交C£）于点N,且NMNF=NAEP.

（1）求证：AB//CD-,

（2）如图2,将射线尸C沿FP折叠后交EP于点G,GH平分/EGF,若G”〃A8,请写出NEP尸与/

GFC的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3,将射线E4沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后两条射线相交于点Q,直接写出当N

EPF=度时，EQLFQ.

【变式10-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把△ABC沿。E折叠，使点4落在点A'处，

请你判断N1+N2与NA有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2,8/平分NABC,C7平分NACB,把aABC折叠，使点4与点/重合，若Nl+/2=100°,

求NB/C的度数；

拓展（3）如图3,在锐角AABC中，BFLAC于点F,CGLAB于点G,BF、CG交于点”，把aABC

折叠使点A和点”重合，试探索/BHC与N1+/2的关系，并证明你的结论.

专题04轴对称章末重难点题型汇编【举一反三】

【人教版】

考点1判断轴对称图形

考点2角平加的疑

双沏分沂II

【考点1判断轴对称图形】

【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互.相重

合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

注意;理解轴对称图形的定义应注意两点：

(1)轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。

(2)符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。

[例1](2019春•相城区期中)下列图形中，不是轴对称图形的是()

【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可.

【答案】解：A、是轴对称图形，不合题意；

8、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

。、是轴对称图形，不合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后

重合.

【变式1-1］（2018秋•思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）

e£H.限

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【答案】解：4、B、C不是轴对称图形，

。是轴对称图形，

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形.

【变式1-2］（2018秋•开封期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）

AqpB国,超0圄

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【答案】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；

8、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，故本选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合.

【变式1-3］（2018秋•宜兴市校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【答案】解：只有第1个不是轴对称图形.

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后

可重合.

【考点2角平分线的应用】

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记:（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

【例2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=BC,平分NCA8交8c于。，

DE±ABTE,若AB=6cnz,则△OBE的周长是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD,再根据等腰直角三角形的性质求出

AC=BC=4E,然后求出△DBE的周长=A8,代入数据即可得解.

【答案】解：平分NCA8,DELAB,ZC=90°,

：.DE=CD,

y.'：AC=BC,AC=AE,

；.AC=BC=AE,

：./\DBEifyJ^^DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB^AE+EB=AB,

"：AB=6cm,

.,.△OBE的周长=6a〃.

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质

求出△OBE的周长=A8是解题的关键.

【变式2-1］（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，A。是△ABC的角平分线，DELAB于E,已知△ABC的

面积为28.AC=6,DE=4,则A8的长为（）

【分析】作OFLAC于F,根据角平分线的性质求出。凡根据三角形的面积公式计算即可.

【答案】解：作。尸，AC于凡

YA。是△ABC的角平分线，DELAB,DFA.AC,

：.DF=DE=4,

XABXDE+「XACXO尸=28,即>XABX4+X6X4=28,

仰一仰一

解得，AB=S,

故选：B.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

【变式2-2］（2018秋•思明区校级期中）如图，△A8C中，AB=6,AC=4,AO平分N84C,OE_LAB于点

E,BELAC于点尸，DE=2,则B尸的长为（）

4

【分析】过。作CGL4C于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程

即可得到结论.

【答案】解：过。作。GL4C于G,

「A。平分/8AC,DELAB,

：.DG=DE=2,

・.・A8=6,AC=4,

：.SMBC=AC・BF=SMBD+SAACD=AB・DE+AC・OG,

i,1h

：.X^BF=X6X2+X4X2,

峭中Q

・•・BF=5,

故选：c.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

【变式2-3］（2018秋•西城区校级期中）如图，AQ是△ABC中/B4C的角平分线，OELA8于点E,S&ABC

=24,QE=4,AB=1,则AC长是（）

【分析】作£>F_L4C于凡如图，根据角平分线定理得到力E=DF=4,再利用三角形面积公式和S^ADR+S

△40C=SAABC得到X4X7+X4XAC=24,然后解一次方程即可.

【答案】解：作。尸L4C于F,如图，

是△ABC中N8AC的角平分线，DEVAB,DFLAC,

：.DE^DF=4,

S^ADB+SMDC—SMBC,

：.X4X7+X4X4C=24,

；.AC=5,

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型.

【考点3线段垂直平分线性质的应用】

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

注意:（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

【例3】（2019春•普宁市期中）如图：在△ABC中，A8和AC的垂直平分线分别交BC于点。、E,且点。

在点E的左侧，BC=6cm,则△AOE的周长是（）

B

A.3cmB.\2cmC.9cmD.6cm

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到D4=O8,EA=EC,根据三角形的周长公式计算即可.

【答案】解：和AC的垂直平分线分别交BC于点。、E,

:.DA=DB,EA=EC,

△A3E的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=6cm,

故选：D.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距

离相等是解题的关键.

【变式3-1］（2019春•南华县期中）如图，在RtZVIBC中，NC=90°,AC=3,BC=4,48的垂直平分

线交BC于点£>,连接A3,则△ACQ的周长是（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出40=8/）,进而得出答案.

【答案】解：「AB的垂直平分线交8c于点。，

：.AD=BD,

VBC=4,4C=3,

CD+AD=CD+BD=BC=4,

...△AC。的周长为：4+3=7.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出40=8。是解题关键.

【变式3-2］（2018秋•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，点E在边AC上，QE是A8的垂直平分线,

△ABC的周长为19,△8CE的周长为12,则线段AB的长为（）

BDC

A.9B.8C.7D.6

【分析】由。E为A8的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE,又由aBCE的周长为

12,可得AC+BC=12,继而求得答案.

【答案】解：•••DE为A8的垂直平分线，

:.AE=BE,

「△BCE的周长为12,

BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC^12cm,

「△ABC的周长为19,

：.AB+AC+BC=］9,

."8=19-12=7,

故选：C.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

【变式3-3］（2018春•雨城区校级期中）如图，在△ABC中，PM、QV分别是48、AC的垂直平分线，Z

BAC=100°那么NB1Q等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

【分析】根据三角形内角和定理得到NB+NC=180°-100°=80°,根据线段垂直平分线的性质得到

PA=PB,QA=QC,根据等腰三角形的性质计算即可.

【答案】解：VZBAC=100°,

.\ZB+ZC=180°-100°=80°,

,：PM,QN分别是A8、AC的垂直平分线，

：.PA=PB,QA=QC,

；./单B=NB,ZQAC^ZC,

.,.ZM<2=180°-（ZPAB+ZQAC）=180"-（ZB+ZC）=20°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到

线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【考点4等腰三角形的性质】

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1-等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例4】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,

则此等腰三角形的顶角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来

讨论.

【答案】解：当为锐角时，如图：

AZA=50°,

当为钝角时，如图:

图①图②

NAOE=40°,N£>AE=50°,

二顶角/BAC=180°-50°=130°.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键.

【变式4-1］（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB=AC=BD,则N1与N2的关系是（）

C.Zl+3Z2=180°D.Z1=2Z2

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得/I和/C之间的关系，再根据三角形外角的

性质可得N1和/2之间的关系.

【答案】解：'：AB=AC=BD,

.\ZB=ZC=180°-2Z1,

二/1-N2=180°-2Z1,

.".3Z1-Z2=180°.

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外

角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中.

【变式4-2］（2018秋•邛江区期中）如图，若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的

是（）

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰

三角形

【答案】解：①中作N8的角平分线即可：

③过A点作的垂线即可；

④中以4为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可;

只有②选项不能被一■条直线分成两个小等腰三角形.

故选：B.

土

图1图2图3

【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键.

【变式4-3］（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△AB4中NB=20°,AB=AiB,在AiB上取一点C,

延长AA1到A2,使得AIA2=AIC,得到第二个△A1A2C；在A2c上取一点£>,延长A1A2到A3,使得4乂3

=A2D；…，按此做法进行下去，则以点4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）

A.175°B.170°C.10°D.5°

【分析】先根据等腰三角形的性质求出N84A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分

别求出NCAMi,ND43A2及/E44A3的度数，找出规律即可得出乙46的度数.

【答案】解：；在△A84中，/B=20°,AB=4B,

^^3心=80。,

'：AIA2=AIC,NB4A是2c的外角,

・"必产小二公=40。；A

同理可得/D43A2=20°,NEA4A3=10°,

以点A4为顶点的底角为/A5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出/C424,/D4342及/

EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.

【考点5轴对称性质的应用】

【方法点拨】掌握轴对称的性质：

1.成轴对称的两个图形全等。

2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。

3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

【例5】（2019春•贵阳期末）如图，点尸是△ACB外的一点，点。，E分别是△AC8两边上的点，点P关

于CA的对称点Pi恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE=25,

PD=3,ED=4,则线段PP2的长为.

【分析】利用轴对称图形的性质得出PE=EP，PD=DP2,进而利用DE=4C〃?，得出PIO的长，即可

得出尸1尸2的长.

【答案】解：：点P关于C4的对称点Pi恰好落在线段EO上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延

长线上，

:.PE=EP\,PD=DP2,

PE=2.5cm,PD=3cni,DE—4cm,

/.P2D=3cm,EP\—2.5cm,

即。Pl=OE-EPi=4-2.5=1.5(cm),

则线段PP2的长为：PID+DP2=1.5+3=4.5(cm).

故答案为4.5.

【点睛】此题主要考查/轴对称图形的性质，得出PE=EPi,尸。=。上是解题关键.

【变式5-1](2019春•普宁市期末)如图，在aABC中，点。为BC边上一点，点。关于48,AC对称的

点分别为E、F,连接EF分别交A8、AC于M、N,分别连接。M、DN,已知△£)〃%的周长是6cm,那

么EF=.

【分析】根据轴对称的性质知，EM=DM,FN=DN,所以由△。肪V的周长公式得到△3MN的周长=

EF.

【答案】解：由轴对称的性质知，EM=DM,FN=DN,

EF=EM+MN+FN=DM+MN+DN=△DMN的周长=6cm.

的周长=EF=6cm.

故答案是：6cm.

【点睛】考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段

的垂直平分线.

【变式5-2］（2019春•山亭区期末）如图，在NAOB的内部有一点尸，点M、N分别是点P关于OA,OB

的对称点，MN分别交04,0B于C,D点,若△PC。的周长为30c”?，则线段MN的长为cm.

【分析】利用对称性得到CM=PC,DN=PD,把求MN的长转化成的周长，问题得解.

【答案】解：；点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,

:.MC=PC,ND=PD,

：.MN=CM+CD+ND=PC+CD+PD=30cm.

【点睛】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.

【变式5-3］（2018春•凤翔县期末）如图，点P是NAO2外一点，点M、N分别是/AOB两边上的点，点

P关于QA的对称点。恰好落在线段上，点尸关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上.若PM

=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为.

【分析】由轴对称的性质可知：PM=MQ,PN=RN,先求得QV的长度，然后根据QR=QN+NR即可求

得QR的长度.

【答案】解：由轴对称的性质可知：PM^MQ=2.5cm,PN=RN=3cm,

QN=MN-QM=4-2.5=1.5cvn,QR=QN+NR=1,5+3=4.5cw.

故答案为：4.5cm.

【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键.

【考点6设计轴对称图案】

【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些

图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案

时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，

我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。

注意•.（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；

（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；

（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。

【例6】（2019春•赫山区期末）如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）

（1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；

（2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）

【分析】（1）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案;

（2）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.

【答案】解：（1）如图①所示：即为所求；

（2）如图②所示：即为所求.

【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.

【变式6-1］（2019春•东明县期末）如图，下列4X4网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中

有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对

称图形，请设计出四种方案.

1

2

【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.

【答案】解：如图所示:

图4

【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键.

【变式6-2］（2018秋•赣榆区期中）如图，在2X2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别

在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△A8C成轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称

轴，再思考如何画对称图形.

【答案】画对任意三种即可.

【点睛】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出

关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点

【变式6-3］（2018秋•东台市期中）方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的

多边形称为“格点多边形”.

（1）在图1中确定格点。，并画出一个以A、B、C、。为顶点的四边形，使其为轴对称图形；

（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；

（3）直接写出图3中△FGH的面积是.

【分析】（1）找出点A关于的对称点即可；

（2）先构造以1和3为直角边的直角三角形，然后以三角形的斜边为边构造正方形即可：

（3）构造如图所示的矩形，根据△GFH的面积=矩形面积减去三角形直角三角形的面积求解即可.

【答案】解：（1）如图1所示:

（2）如图2所示:

(3)如图3所示:

△FGH的面积=矩形ABHC的面积-A4FG的面积-ABGH的面积-2FCH的面积

=5X6-

=9

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查的是勾股定理、轴对称图形的性质，将三角形GEH的面积转化为一个矩形与三

个直角三角形的面积的差是解题的关键.

【考点7等腰三角形的判定】

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”

第汜：(1)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反,

要注意区分；

C2)判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

【例7】(2019春•深圳期中)如图，DE//BC,CG=GB,Nl=/2,求证：/XOGE是等腰三角形.

【分析】根据己知条件，容易得出△4DE,△A8C都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边8c的中点,

为此连接AG,由等腰三角形的轴对称性质，得出结果

【答案】解：连接4G,

'."DE//BC,

：.ZABC=Z1,ZACB=Z2.

又,•,N1=N2,

NABC=NACB.

又YG为8c中点，

：.AG1.BC.

.\AG_LQE且平分QE,

：.DG=GE.

.♦.△OGE是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所

学结论，灵活选用解法.

【变式7-1］（2018秋•双阳区校级期中）如图，3。是AABC的角平分线，DE//BC,交AB于点£求证：

△BE。是等腰三角形.

【分析】依据角平分线即可得到NE8/)=//)BC,依据平行线的性质即可得到进而得

出NEBD=NEDB,由此可得△BED是等腰三角形.

【答案】证明是△ABC的角平分线，

:.NEBD=NDBC.

,JDE//BC,

，ZEDB=ZDBC.

：.ZEBD=ZEDB,

：.ED=EB,

...△BE。是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的