机器人学导论 课件 第二章-2.1节-位姿描述与变换

第2章机器人运动学2.1节位姿描述与齐次变换第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103机器人技术基础22.1.1位姿描述2.1.2坐标变换2.1.3其他姿态描述三角度姿态法等效轴-角法四元数

法本节目录3大写斜体加粗：矩阵R、T小写斜体加粗：矢量p、默认矢量为列向量；小写斜体不加粗：标量a，p左上标：变量所在坐标系

符号约定4

符号约定5如何描述机器人某构件，例如末端手爪的空间状态建立一个世界坐标系{A}；在末端手爪某处，例如两手指尖端中点建立一个坐标系{B}，其原点为P；坐标系{B}与手爪固联，随手爪运动；坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述，就唯一确定了手爪的空间状态——位姿P位姿描述6空间中某点P在坐标系{A}中的描述

位置描述7

结论：矢量与某坐标系各坐标轴单位向量的点积，就得到矢量在该坐标系中的表达姿态描述8

因为上述向量均为单位向量，所以：

姿态描述92025/6/1

姿态描述10将坐标系{B}的各坐标轴在{A}中的表达组成一个矩阵：矩阵中各元素均是{A}、{B}两个坐标系各坐标轴之间夹角的余弦又称为方向余弦矩阵（directioncosinematrix）。姿态描述11

姿态描述12将坐标系{A}的各坐标轴在{B}中的表达组成一个矩阵：{A}系的3个坐标轴相对{B}系的坐标就是其在{B}系三个坐标轴上的投影。{A}、{B}两坐标系各轴夹角的大小与坐标轴向量在哪个坐标系表达无关姿态描述13结论：姿态描述14

在工业机器人领域，为了形象地描述机器人（俗称机械臂、操作臂等，manipulator）的姿态，姿态矩阵一般写成如下形式：a为接近矢量（approachvector），表示手爪接近物体的方向o为方位矢量（orientationvector），表示手爪中的一个手指指向另一个手指的方向n为法向矢量（normalvector）姿态描述15位置和姿态合称位姿图中代表手爪位姿的坐标系{B}，可表示为：其中：表示姿态表示位置工业机器人的位姿描述姿态描述16位姿图的说明矢量箭头从一个坐标原点指向另一个坐标系原点矢量指明它表示的是箭头处坐标系相对于箭尾坐标系的相对关系例如：{B}相对于{A}机器人学中，机器人末端的位姿（矩阵）通常也称作机器人的位形（configuration）。姿态描述172.1.1位姿描述2.1.2坐标变换2.1.3其他姿态描述三角度姿态法等效轴-角法四元数

法本节目录18坐标变换把一个矢量在{B}坐标系中的表达转换到{A}坐标系中；矢量本身没有变化，但是在不同坐标系中的值不同；坐标变换的本质所在，即描述的是坐标系之间的变换而不是对象本身。坐标变换（Transformation,映射Mapping）坐标变换19平移变换坐标系{B}相对于{A}仅有平移：已知矢量P在{B}中的表达：则矢量P在{A}中的表达：只有{A}、{B}姿态相同时，上式才成立20旋转变换坐标系{B}相对于{A}仅有旋转：由姿态矩阵的定义和性质：可知：坐标变换21旋转变换已知矢量p在{B}中的表达：待求解矢量p在{A}中的表达：也即，点P在{A}坐标系各轴上的投影可利用{A}的各坐标轴在{B}中的表达与的点积来计算，即：只有在同一个坐标系中表达的两个矢量才能执行运算。点积结果是标量，与该矢量在哪个坐标系表达无关！BpApBp坐标变换22旋转变换由于{B}相对于{A}的旋转矩阵所以：诀窍：坐标变换23旋转变换——实例解：可得：

注意：绕某一轴旋转，规定按照右手定则，逆时针为正坐标变换24旋转变换——实例解：

又已知点P在{B}系中的表达：求：注意：映射变换不改变向量本身，只是在不同坐标系描述向量，或者说求向量在不同坐标系中的坐标坐标变换25绕各坐标轴的旋转矩阵

绕z轴有夹角θ：绕x轴有夹角θ：绕y轴有夹角θ：

坐标变换坐标变换的一般情况26坐标变换的一般情况

解：首先建立一个中间坐标系{C}，它与{A}姿态相同，与{B}原点重合

显然：于是：因为{C}与{A}仅存在平移关系，所以：

齐次变换矩阵27一般坐标变换的表达一般情况下的坐标变换，可由下式计算：为了使表达更简洁，引入齐次变换矩阵：原3×1坐标向量增加一行，变成4×1的齐次坐标向量齐次变换矩阵的性质28齐次变换矩阵的性质

齐次变换：举例29一般坐标变换——实例

解：{B}相对于{A}的齐次变换矩阵为：其中：最后，可得：

30

逆变换解：其中旋转矩阵部分，根据单位正交矩阵的性质直接写出：利用一般变换的映射公式：显然：由此，可得：

逆变换31解：于是最后，可得

逆变换：举例32

复合变换：连续旋转解：

如何求{C}系相对于{A}系的姿态？

则作为将{B}系映射到{A}系中的旋转矩阵，这样可将参考坐标系从{B}变到{A}，结果可变成了{C}系（相对于{A}系）的姿态。连续旋转可通过矩阵相乘得到，即满足旋转矩阵的合成法则复合变换：连续旋转33

复合变换：连续齐次变换解：

3.联立上述两式，得4.由此，可得注意：展开得变换方程（1）34

利用齐次变换的递推特性，求不直接关联两坐标系的关系，或未知变换。根据第1个变换路径，可得：从第2个变换路径，也可得：前面两式可构造一个变换方程：据此，可求得：变换方程（2）352025/6/1如右图，注意{D}邻近的两坐标系与{D}的相对关系与前例相反。利用齐次变换的递推特性，求不直接关联两坐标系的关系，或未知变换。

从第2个变换路径，也可得：根据前面两式，可求解链路中的其他变换，例如：变换方程（3）36

变换方程的实际用途根据右图中的变换路径，可得：变换方程（4）37

变换方程的实际用途根据右图中的变换路径，可得：式中，，为用户给定的变换，由机器人正运动学模型得到

38【例】如下图所示，一轮式移动机器人上搭载机械手在房间内进行拾取木块的作业，天花板上安放一摄像头用作机器人的视觉反馈系统。各坐标系如图所示，其中，{W}为参考坐标系，{B}和{T}分别为附着在轮式移动机器人和机械手末端上的物体坐标系，{C}为摄像头坐标系，{S}为附着在木块上的物体坐标系。通过视觉传感器测量得到通过关节角度测量装置标定得到预先已知求：木块相对机械手的位形变换方程（5）39自由矢量与线矢量的变换物理效果与作用点无关的矢量——自由矢量（freevector）线速度、力（偶）矩等物理效果与作用点有关的矢量——线矢量（linevector）角速度、力等两坐标系间的自由矢量变换，仅涉及到旋转线速度力（偶）矩两坐标系间的线矢量变换，需要考虑坐标系原点偏移的影响本章目录402025/6/12.1.1位姿描述2.1.2映射与算子2.1.3其他姿态描述三角度姿态法等效轴-角法四元数

法三角度姿态法41R有9个元素，是否一定需要9个变量才能唯一确定旋转矩阵？再次考察旋转变换矩阵R由于R是单位正交矩阵，所以存在6个约束条件：3个列向量是单位向量：3个正交条件：因此，R中只有3个独立变量，也即用3个参数即可表示姿态。三角度姿态法42线性代数中的凯莱公式指出，对于任何一个正交阵R存在一个反对称矩阵，满足：再次考察旋转变换矩阵R其中：这再次说明，可用3个参数表示姿态。

三角度姿态法43旋转变换一般不满足交换律，也即：再次考察旋转变换矩阵R

注意：旋转不满足交换律，那么必须要使用三个有顺序的参数才能准确描述姿态采用3个独立的姿态角来描述3个姿态角的任意组合有33=27种形式，但是为了保持3个姿态角的独立性，需要保证两个连续旋转轴的轴线不能平行，因此3姿态角存在12中形式。3*2*2=12X-Y-Z、X-Z-Y、Y-X-Z、Y-Z-X、Z-X-Y、Z-Y-X、Z-Y-Z、Z-X-Z、Y-Z-Y、Y-X-Y、X-Y-X、X-Z-XRPY（绕3个定轴的旋转）欧拉角（绕3个动轴的旋转）三角度姿态法4412×2=24种三角度姿态法45X-Y-Z固定角

绕固定坐标系三个轴的三次转动，得到的三个转角（

,

,

）称为X-Y-Z固定角。在描述运动物体时，例如：飞机，它们又被称为横滚角（Roll）、俯仰角（Pitch）和偏航角（Yaw）——R-P-Y角

ZYaw三角度姿态法46X-Y-Z固定角

三角度姿态法47X-Y-Z固定角复合变换：计算，得：注意：绕固定坐标轴的连续变换，按变换顺序“左乘”得到最终变换矩阵三角度姿态法48X-Y-Z固定角已知旋转矩阵R，求对应的X-Y-Z固定角（

,

,

）在实现机器人连续运动控制的姿态插补时，经常需要根据已知旋转矩阵求解姿态角已知：根据：三角度姿态法492025/6/1X-Y-Z固定角Atan2(y,x)—“四象限反正切函数”，内置于大多数编程语言，可根据x、y的符号给出不同的角度值，例如：Atan2(-2.0,-2.0)=-135°Atan2(2.0,2.0)=45°三角度姿态法50关于

角的说明计算中，通常取：－90°≤

≤90°若

＝±90°，则cos

＝0，此时，

和

的值无法计算规定：或51欧拉角是瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）提出的一种采用绕动坐标系3个坐标轴的转角组合描述刚体姿态的方法。A.Z-Y-X欧拉角B.Z-Y-Z（Z-X-Z）欧拉角A.Z-Y-X欧拉角将{B}绕其z轴旋转角度

绕{B}的新y轴旋转角度

绕{B}的新x轴旋转角度

B.Z-Y-Z欧拉角将{B}绕其z轴旋转角度

绕{B}的新y轴旋转角度

绕{B}的新z轴旋转角度

进动角章动角自旋角三角度姿态法三角度姿态法52Z-Y-X欧拉角坐标系{B}相对{A}的姿态的另一种表示法，是假想相对运动坐标系轴连续转动，并利用旋转映射得出旋转矩阵。首先，假设初始{B}与{A}重合。

将{B}绕其z轴旋转角度

绕{B}的新y轴旋转角度

绕{B}的新x轴旋转角度

三角度姿态法53Z-Y-X欧拉角

也即：注意：绕运动坐标轴的连续变换，按变换顺序“右乘”得到最终变换矩阵三角度姿态法54Z-Y-X欧拉角Z-Y-X欧拉角定义的位姿矩阵为：上述结果与绕固定轴X-Y-Z旋转得到的位姿矩阵相等！三角度姿态法55X-Y-Z固定角与Z-Y-X欧拉角Z-Y-X欧拉角X-Y-Z固定角结论：坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态可以假想绕三个坐标轴依次旋转得到绕固定坐标系三个轴的连续旋转与绕运动轴以相反顺序旋转的结果相同沿固定坐标系的固定角连续变换，按旋转顺序连续“左乘”沿运动坐标系的欧拉角连续变换，按旋转顺序连续“右乘”三角度姿态法56常用的Z-Y-Z欧拉角变换与机器人末端工具姿态描述常采用Z-Y-Z欧拉角描述，这样可与腕部三个垂直正交旋转关节的转角直接对应用Z-Y-Z欧拉角描述的旋转矩阵：若已知旋转矩阵：则，三个欧拉角为：显然，此时

角不能等于0°或180°。若出现此情况，则取

＝0°三角度姿态法57三角度位姿描述中的奇异点（SingularPoint）问题无论采用欧拉角还是固定角表示位姿，当中间轴转角等于±90°或0°、180°时，总会出现无法求解的情况例如：Z-Y-Z欧拉角，

＝0°或180°Z-Y-X欧拉角，

＝±90°奇异发生在第一次转动轴线与最后一次转动轴线共线的位置第一次和最后一次旋转的转轴重合（即中间轴的转角

=±90°）时，导致绕第一、第三轴的转角无法计算，欧拉角描述的姿态发生奇异；对应的位形或位姿，称为奇异位形（singularconfiguration）58三角度位姿描述中的奇异点问题从实际物理意义上来说，此种情况意味着第1、3轴重合，导致绕第1、3轴的转角无法计算，称为奇异现象对应的位姿点（由姿态角元素构成的点），称为奇异点Z-Y-X欧拉角，

＝±90°三角度姿态法59位姿奇异现象的具体案例飞行器中的万向节死锁（Gimballock）问题陀螺仪：X轴控制偏航（右图中的蓝色图示），Y轴控制俯仰（右图中的红色图示），Z轴控制横滚（右图中的绿色图示）。俯仰角

=±

/2时发生奇异发生万向节锁死时，俯仰角和航偏角没影响，横滚角度受影响。工程上一般在发生奇异时，人为设定横滚角

=0。/hanjuefu5827/article/details/80659343?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task三角度姿态法60位姿奇异现象的具体案例机枪转塔跟踪过顶飞机目标飞机过顶飞行；转塔方位跟踪速度趋向于无穷大。当接近方位角为90

的位置，它的工作性能越来越不理想。为跟踪飞过飞机头顶的目标，枪手需要操控机枪以非常快的速度绕方位角转动。如果目标直接飞过枪手头顶，对方位角的跟踪速度趋向于无穷大。三角度姿态法等效轴-角法612025/6/1能否用一次旋转变换描述{B}相对于{A}的姿态？欧拉旋转定理：在三维空间里，刚体的任意旋转等价于一个绕着某固定轴的旋转（简化描述）假设{B}与{A}初始状态重合，将{B}绕过原点的任意单位向量

按右手定则旋转θ角，可到达{B}的实际姿态此旋转记为：右手定则等效轴-角法62

等效轴-角法63等效轴-角旋转矩阵表达式的推导

64等效轴角旋转矩阵表达式的推导于是，根据旋转变换方程可得：

由旋转矩阵的正交性，可得：于是：根据假设：等效轴-角法652025/6/1等效轴-角旋转矩阵表达式的推导可得将上式右端相乘，并利用可得等效轴-角法662025/6/1根据旋转矩阵求解等效轴-角若已知旋转矩阵R：可求解等效轴-角：注意：θ不能等于0°或180°，否则出现奇异现象，无法确定转轴等效轴-角法反对称矩阵67罗德里格斯（Rodrigues）公式等效轴-角法欧拉定理：任一旋转矩阵R总可以等效为绕某一固定轴的旋转运动。68罗德里格斯（Rodrigues）公式等效轴-角法四元数的定义692025/6/1

以超复数表达的四元数以四元向量表达的四元数威廉·若宛·哈密顿（WilliamRowanHamilton1805-1865）爱尔兰数学家，他提出了四元数。四元数虚数单