2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷及答案解析

2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷

选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）

1.（6分）若正实数a、b满足ab=a+i>+3,则/+房的最小值为（）

A.-7B.0C.9D.18

2.（6分）由函数y=|f-尤-2|和y=E-x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内

（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个.

A.2个B.4个C.6个D.8个

3.（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是

（）

A.1B.3C.7D.9

4.（6分）在△ABC中，NA是钝角，8是垂心，AH=BC,则（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.（6分）如图，在平行四边形ABC。中，点E在边。C上，DE-.£C=3：1,连接AE交

BD于点、F,则△。跖的面积与的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

6.（6分）如图，分别过点B0）（i=l、2、…、n）作x轴的垂线，交y=的图象

1111

于点4,交直线y=于点5.则^---+----+…+■；----的值为（）

2A/iA2B2AnBn

二.填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）

7.（7分）函数y=V久2+4%+5+Vx2-4x+8的最小值是.

8.（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A

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和8,若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达3,甲的

速度与乙的速度之比为.

?11

9.（7分）设函数y=x-3与丫=[的图象的两个交点的横坐标为a、b,则一+-=_______.

xab

10.（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为.

11.（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体

中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下■个正方体，那么

剩下部分的体积是立方厘米.

12.（7分）对任意实数x,印表示不超过x的最大整数，如果印=3,[y]=l,[z]=l,那么

[x+y-z]的值等于.

三.解答题（共5小题，满分72分）

13.（14分）试求实数°、6使得抛物线y=/+ax+b,y=/+6x+a与无轴有4个交点，且相

邻两点之间的距离相等.

14.（15分）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,DE,8尸分别平分NAOC,Z

ABC,并交线段AB,CD于点,E,F（点、E,8不重合）.在线段上取点N（点M

在之间），使BM=2FN.当点尸从点D匀速运动到点E时，点。恰好从点M匀速运

动到点N.记。N=x,PD=y,已知y=—1r+12,当。为8尸中点时，y=餐.

（1）判断。E与8尸的位置关系，并说明理由.

（2）求DE,BF的长.

（3）若A£）=6.

①当OP=£＞尸时，通过计算比较BE与2。的大小关系.

②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的尤的值.

15.（14分）如图，是半圆圆。的直径，C是弧的中点，M是弦AC的中点，CH工

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BM,垂足为H.求证：CH2=AH-OH.

16.（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏

东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船

接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛

C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度.

17.（15分）如图①，在长方形A8C。中，AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发，沿A、

B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm,a秒时点P的速度变为每秒

bcm,图②是点尸出发x秒后，△APD的面积Si（c/）与尤（秒）的函数关系图象：

（1）根据图②中提供的信息，a=,b=,c=.

（2）点P出发后几秒，的面积Si是长方形ABC。面积的四分之一？

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2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）

1.（6分）若正实数服b满足ab=a+b+3,则/+房的最小值为（）

A.-7B.0C.9D.18

【解答】解：设a+6=m,则”b=〃z+3,

a、6可看作关于龙的方程x2-7«X+;W+3=0的两根，

a、6为实数，则4=（-机）2-4（m+3）20,

解得wzW-2或wiN6,而a、b为正实数，

'.a+b—m>Q,只有m^6,

.,.cr+b2—（a+Z?）2-lab—nr-2（〃?+3）=-1）2-7,

可知当机21时，c^+b2随m的增大而增大，

当m—6时,（r+b2的值最小，为18.

故选：D.

2.（6分）由函数y=|f-x-2|和y=*-x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内

（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个.

A.2个B.4个C.6个D.8个

【解答】解：如图所示：由函数y=|/-x-2|和y=|』-尤|的图象围成一个封闭区域，

则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有：（0,2）,（0,1）,

（0,0）,（1,0）,（1,1）,（1,2）一共有6个点.

3.（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是

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A.1B.3C.7D.9

【解答】解：・.・859433=214858X4+1,

・・・2859433的末尾数与21的末尾数相同，都为2,

J2859433_1的末尾数是1.

故选：A.

4.（6分）在△ABC中，NA是钝角，〃是垂心，AH=BC,则（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解答】解：如图，AD,CE、5尸为△ABC的高，〃点为三条高线的交点，即H是垂心,

9：AD.CE为△ABC的高，

ZAEH=90°,ZADB=90°,

・・・N1=N2,

•・,在△HAE和△BCE中

21=Z2

Z-AEH=乙CEB,

AH=BC

J.AHAE^ABCE（AAS）,

：.HE=BE,

・・・AHEB为等腰直角三角形，

AZBHC=45°.

故选：B.

5.（6分）如图，在平行四边形ABC。中，点E在边。。上，DE：EC=3：1,连接AE■交

BQ于点F,则△。麻的面积与△A4尸的面积之比为（）

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DEC

A.3：4B.9：16C.9：D.3：

【解答】解：・・•四边形ABC。为平行四边形,

：.DC//AB,

：.ADFE^ABFA,

■:DE：EC=3：1,

:.DE：DC=3：4,

：.DE：AB=3：4,

:.S^DFE：SABFA=9：16.

故选：B.

DEC

6.（6分）如图，分别过点B（i,0）4=1、2、…、w）作x轴的垂线，交y=的图象

1111

于点4,交直线y=-亍％于点则^++—F-----的值为（）

2占比A2B2AnBn

y

【解答】解：根据题意得：AiBi=-（一3）=（x+1）,

1211

*A[Bi%（%+1）xx+1'

111111112Tl

A2B2AnBn223nn+1n+1

故选：A.

二.填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）

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7.（7分）函数y=+4x+5+—4x+8的最小值是5.

【解答】解：,.•/+4x+5=（尤+2）2+1,x2-4x+8=（x-2）2+4,

...即抛物线的顶点坐标分别为：（-2,1）,（2,4）,

即相当于求x轴上一点到（-2,1）和（2,2）的和的最小值，等价于（-2,-1）到

（2,2）距离，

故如图所示：A'B=©+42=5,即原式的最小值为5.

故答案为：5.

8.（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A

和8,若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达8,甲的

3

速度与乙的速度之比为一.

-4—

【解答】解：设甲的速度为VI千米/时，乙的速度为V2千米/时，根据题意知，从出发地

点到A的路程为VI千米，到2的路程为V2千米，从而有方程：

v2f135

vrv260

化简得：12（―）2+7（―）-12=0,

V2V2

解得：—=三或"=一:（不合题意舍去）.

v24v23

3

故答案为：

4

211

9.（7分）设函数y=x-3与y=7的图象的两个交点的横坐标为a、b,则一+-=-1.5.

xab

（y=x—3

【解答】解：联立_2消掉y得，彳2一3厂2=0,

:两个交点的横坐标为a、b,

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.-3

a+b=—=3，ab=-2,

11a+b3

+一=—二—1.5.

abab-2

故答案为：-1.5.

1。.（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为上

【解答】解：•••四边形是平行四边形,

，对角线把平行四边形分成面积相等的四部分,

观察发现：图中阴影部分面积=%四边形，

，针头扎在阴影区域内的概率为之

4

1

故答案为：一.

4

11.（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体

中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么

剩下部分的体积是2688立方厘米.

【解答】解：如图①.长方体的长、宽、高分别为28c7九、19c机、16。九，

①

•••第一次切下的正方形的边长为16cm,则其体积为163=4096Cem3）,

.,.可以认为还有一个长、宽、高分别为19c机、16cm>12cm的长方体存在；

如图②：.•.第二次切下的正方形的边长为12c%,则其体积为123=1728（cm3）,

第8页共17页

②

，剩下部分的体积是：28X19X16-4096-1728=8512-4096-1728=2688（c/n3）.

故答案为：2688.

12.（7分）对任意实数了,田表示不超过x的最大整数，如果印=3,[y]=l,[z]=l,那么

[x+y-zl的值等于2或3或4.

【解答】解：：因=3,[训=1,⑵=1,

，3<尤<4,l<y<2,l<z<2,

.*.2<x+y-z<5,

故可得出[x+y-z]=2,3,4.

故答案为：2或3或4.

三.解答题（共5小题，满分72分）

13.（14分）试求实数〃、使得抛物线y=/+〃x+b,〉=/+云+。与％轴有4个交点，且相

邻两点之间的距离相等.

【解答】解：设函数>=/+以+/?与％轴的两个交点坐标分别为A（xi,0）,B（必0）

且X1<X2,

函数与％轴的两个交点坐标分别为。（%3,0）,D（工4,0）,且X3<x4,

则xi+x2=-〃W0,X\X2=b<0,则xiV0,X2>0,

同理％3+X4=-匕>0,X3X4=a20,则X320,X4>0,

则A、B、。、。在工轴上的左右顺序为A,B,C,。或A,C,B,。或A,C,D,B,

若按A,C,D,5的顺序排列，则AC=C0=Z）B,

贝!J有X3-X1=X4-XI,即Xl+X2=X3+%4,即-a=-b,

与假设（心0>b）矛盾，此不可能.

若按A、B、C、O的顺序排列，

贝!!X2-X1=X4-X3=X3-X2,

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由于矶2二支乒竺，

—b±Jb2-4a

X3,4—2，

则Va2—46=y/b2—4a,

(a-b)(〃+/?+4)=0,而〃>b,

〃+/?+4=0,又2X3=X2+X4，

milOxz-b-^b2-4a-a+Ja2-4b-b+Jb2-4a

则2x-----2-------=--------2-------+--------2-------，

化简得：a+b=37b2—4a+Va2—4Z),

即37b2—4a+7a2—4b=—4,此不可能.

若按A、C>B、D的顺序排列，则X3-XI=X2-X3=X4-X2,

则有X2-X1=X4-X3,且2X3=X1+X2,

因此\ZQ2一4b,

(a-b)(〃+b+4)=0,而〃>b,

a+b+4=0,又2x3=x2+xi，

rntic—b--Jb—4Q

贝ij2x——毛-----=-a,

解之得。=0或a--4.

而心0,.'.a—Q,b--4,

经经验，a=0,6=-4满足题设要求.

故。=0,6=-4为所求.

14.(15分)如图，在四边形A8CZ)中，NA=NC=90°,DE,2尸分别平分NAOC,Z

ABC,并交线段AB,CO于点E,B(点E,B不重合).在线段上取点M,N(点、M

在BN之间)，使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到点E时，点。恰好从点M匀速运

动到点N.记QN=x,PD=y,已知y=-1r+12,当。为8尸中点时，尸学

(1)判断DE与8尸的位置关系，并说明理由.

(2)求DE,8尸的长.

(3)若AD=6.

①当DP=DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系.

②连结尸。，当PQ所在直线经过四边形ABC。的一个顶点时，求所有满足条件的尤的值.

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【解答】解：(1)OE与8尸的位置关系为：DE//BF,理由如下:

如图1所示：

：NA=NC=90°,

ZADC+ZABC^36Qa-(ZA+ZC)=180°,

:DE、朋分另1J平分/ADC、ZABC,

11

AZADE=^ZADC,NABF=今/ABC,

1

AZADE+ZABF=1xl80°=90°,

VZADE+ZAED=90°,

・•・ZAED=ZABFf

:・DE〃BF：

(2)令x=0,得y=12,

:.DE=n,

令y=0,得x=10,

：.MN=10,

把y=等代入y=—1x+12,

解得：x=6,即NQ=6,

.\QM=IQ-6=4,

・・・Q是8尸中点，

：・FQ=QB,

•；BM=2FN,

:・FN+6=A+2FN,

解得：FN=2,

：.BM=4,

：.BF=FN+MN+MB=16；

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(3)①连接EM并延长交3。于点H,如图2所示：

9：FM=2+\Q=\2=DE,DE//BF,

・•・四边形DFME是平行四边形，

：.DF=EM,EH//CD,

：.ZMHB=ZC=90°,

VAZ)=6,DE=12,ZA=90°,

：.ZDEA=30°,

：.ZDEA=ZFBE=ZFBC=30°,

ZADE=60°,

AZADE=ZCDE=ZFME=60°,

AZDFM=ZDEM=120°,

AZMEB=180°-120°-30°=30°,

AZMEB=ZFBE=30°,

；・NEHB=180°-30°-30°-30°=90°,DF=EM=BM=4,

1

：.MH=^BM=2,

；・EH=4+2=6,

由勾股定理得：HB=VBM2-MH2=V42-22=2日，

：.BE=y/EH2+HB2=。+(2圾2=4痔

当。尸=。尸时，一表+12=4,

解得:片至

・

.•BnQc一—1—41x——14—2022

22

V—>4V3,

3

：.BQ>BE；

@(I)当尸。经过点。时，如图3所示：

y=0,

则x=10；

(II)当尸。经过点。时，如图4所示：

VBF=16,ZFCB=90°,ZCBF=30°,

第12页共"页

1

：.CF=^BF=Sf

.\CZ)=8+4=12,

,:FQ〃DP,

:•△CFQsACDP,

.FQCF

••—,

DPCD

.2+x8

••-212-12’

解得:X=~

(III)当PQ经过点A时，如图5所示：

9

：PE//BQf

：.△APES"。乐

.PEAE

•.—,

BQAB

由勾股定理得：AE=y/DE2-AD2=V122-62=6b，

：.AB=643+4V3=10V3,

12-(-|X+12)6遍

''14-x—10后

解得：尤=竽,

由图可知，PQ不可能过点8；

综上所述,当尤=10或x=学或x=竽时,P。所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点.

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C

N

图4

15.（14分）如图，AB是半圆圆。的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CHL

BM,垂足为".求证：CH2=AH-OH.

B

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【解答】解：连接OC、BC,

：C是弧A8的中点，M是弦AC的中点，

：.ZBOC=ZBHC=90°,

则点O、B、C、H四点共圆，

：.ZOHB^ZOCB^45°,

VZBCM=90°,CH±BM,M为AC的中点,

AM2=CM2=MH'MB,

HMAM

即---=----,

AMBM

AAMHS^BMA,

则ZAHM^ZBAM=45°,

/AHM=ZBHO,

：.AAMHs^BOH,

.AHMH

••—,

BHOH

则AH-OH=MH'BH,

■:C资=MH・HB,

：.CH2=AH'OH.

16.(14分)甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏

东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船

接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛

C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求：

(1)港口A与小岛C之间的距离；

(2)甲轮船后来的速度.

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【解答】解：（1）作BDLAC于点。，如图所示：

由题意可知：48=30X1=30海里，ZBAC=30°,ZBCA=45°,

在RtAABZ）中，

：48=30海里，ZBAC=30",

.•.BD=15海里，AD=ABcos30°=15遮海里，

在RtABCO中，

：2£>=15海里，ZBCZ）=45°,

；.C£）=15海里，8C=15V^海里，

.•.AC=AD+CD=15V3+15海里，

即A、C