高考文数一轮夯基作业本5第五章平面向量夯基提能作业本3

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.已知AB=(2,1),点C(1,0),D(4,5),则向量AB在CD方向上的投影为()A.322 B.35 C.32.(2017北京东城二模)已知向量a=(1,2),b=(x,4),且a⊥b,那么x的值为()A.2 B.4 C.8 D.163.(2015北京通州一模)在正方形ABCD中,已知AB=3,E是CD的中点,则AE·BD等于()A.272 B.6 C.92 4.设向量a,b满足|a|=1,|ab|=3,a·(ab)=0,则|2a+b|=()A.2 B.23 C.4 D.435.(2018北京海淀期末)在△ABC中,AB=AC=1,D是AC边的中点,则BD·CD的取值范围是()A.-34C.-346.(2017北京东城期末)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则AB·AC等于.

7.(2015北京朝阳一模)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·(a+b)=.

8.(2016北京西城二模)设平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a·(a+b)=7,则向量a,b夹角的余弦值为.

9.已知|a|=4,|b|=3,(2a3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|ab|.10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3B组提升题组11.(2016北京西城一模)在平面直角坐标系xOy中,向量OA=(1,2),OB=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则()A.m=4 B.m≠4 C.m≠1 D.m∈R12.(2015北京十三中模拟)△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OC·AB的值为()A.15 B.15 C.65 13.(2017北京东城一模)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC=,BC·CA=.

14.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为.

15.(2017北京海淀二模)已知O为原点,点P为直线2x+y2=0上的任意一点,非零向量a=(m,n).若OP·a恒为定值,则mn=.16.(2017北京丰台期末)如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当△ABC滚动到△A1B1C1时,顶点B运动轨迹的长度为;在滚动过程中,OB·OP的最大值为.

17.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C.(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA·(ABAC)=18,求c.答案精解精析A组基础题组1.C因为点C(1,0),D(4,5),所以CD=(5,5),又AB=(2,1),所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos<AB,CD>=AB·CD|CD|2.C∵a=(1,2),b=(x,4),且a⊥b,∴x+8=0,∴x=8.3.C由题意得AE·BD=AD+12AB·(ADAB)=|AD|212|AB4.B由a·(ab)=0,可得a·b=a2=1,由|ab|=3,可得(ab)2=3,即a22a·b+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,所以|2a+b|=23.5.A∵在△ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,∴CD=DA,BD·CD=(ADAB)·DA=AD2+AB·=14+1∵cosA∈(1,1),∴14+12cosA∈-6.答案44解析由a=5,b=7,c=8,得cosA=b2+c2-∴AB·AC=cbcosA=8×7×11147.答案32解析a·(a+b)=|a|2+a·b=1+|a||b|·cos60°=1+cos60°=32.8.答案34解析∵|a|=|b|=2,且a·(a+b)=7,∴a·a+a·b=7.∴|a|2+|a|·|b|·cos<a,b>=7.∴4+4cos<a,b>=7.∴cos<a,b>=349.解析(1)由(2a3b)·(2a+b)=4|a|24a·b3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=6,∴cosθ=a·b|a||又θ∈[0,π],∴θ=2π3(2)|a+b|=(=|=42+2×(-同理,|ab|=(a-b10.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故22sinx2(2)∵m与n的夹角为π3∴cos<m,n>=m=22sinx故sinx-π4又x∈0,∴xπ4∈-则xπ4=π6,即x=5π12B组提升题组11.BOA=(1,2),OB=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则OA与OB不能平行,即2-1≠∴m≠4.故选B.12.A因为3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=5OC,两边平方得,9OA2+24OA·OB+16OB2=25由题意可知,|OA|=|OB|=|OC|=1,代入①式可得OA·OB=0,所以OC·AB=15(3OA+4OB)·(OBOA)=15(3OA·OB3OA2+4OB24OA·13.答案23;6解析△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·AC·cosA=22+222×2×2×cos120°=12,∴BC=23.∴BC·CA=(ACAB)·(AC)=AC2+AB·AC=22+2×2×cos120°=14.答案6解析解法一:AO·AP表示AP在AO方向上的投影与|AO|的乘积,当P在B点时,AO·AP有最大值,此时AO·AP=2×3=6.解法二:设P(x,y),则AO·AP=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知1≤x≤1,∴x=1时,AO·AP取最大值6,∴AO·AP的最大值为6.15.答案2解析设点P(t,22t),则OP=(t,22t),所以OP·a=tm+(22t)n.设OP·a=λ,则λ=tm+(22t)n,(m2n)t+2n=λ,当m2n=0时,OP·a恒为定值,此时mn16.答案8π3;23解析根据题意知,点B的轨迹为两个圆弧和一个点,且圆弧所对的圆心角为2π3,圆弧的半径为2,∴顶点B运动轨迹的长度为2×2×2π3=8π3.OP=(0,设B(x,y),①没滚动前点B的坐标为(0,3),∴OB·OP=3;②第一次滚动过程中点B的纵坐标y≤2,∴OB·OP≤23;③第二次滚动过程中点B的坐标为(3,0),∴OB·OP=0;④第三次滚动过程中点B的纵坐标y≤2;∴OB·OP≤23.∴OB·OP的最大值为23.17.解析(1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=πC,0<C<π,∴sin(A+B)=sinC,∴m·n=sinC,又m·n=sin2C,∴sin2C=sinC,∴cosC=12则C