陕西省西安市蓝田县八年级2023-2024学年下学期期中考试数学试卷

陕西省西安市蓝田县八年级2023-2024学年下学期期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P在三角形纸板的一边上，则点P到P′的距离PP′为（）A．5 B．4 C．3 D．23．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．a2﹣16+3a＝（a﹣4）（a+4）+3a B．a（m+n）＝am+an C．8x2﹣2x＝2x（4x﹣1） D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+44．不等式的正整数解的个数是（）A．5 B．6 C．3 D．45．如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC＝27°，点A、C、B′在同一水平线上，∠OB′C＝∠OAC，则AB的长度为（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC＝30°，则缆车从A点到B点的过程中（BC的长）为（）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米8．如图，在等边△ABC中，AB＝4，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，则线段DE的长为（）A． B．4 C． D．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．2xy2与x6的公因式是．10．如图，一个水平放置的半圆O，直径AB为6cm，得到半圆O′，点A、B的对应点分别是点A′、B′cm．11．小明家距离学校1600米．一天中午，小明从家里出发时，离规定到校时间只剩15分钟，他必须加快速度．已知他每分钟走70米，若跑步每分钟可跑180米．为了不迟到，则列出的不等式为．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为．13．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，且∠MPN与∠AOB互补；②OM+ON＝OP；③△PMN的周长保持不变其中所有正确的结论是（填序号）．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．（5分）把下列各式因式分解：（1）2a2b﹣6bc；（2）3xy+5x2y﹣4xy2．15．（5分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．16．（5分）已知x＞y，请比较下列各式的大小，并说明理由．（1）与；（2）4﹣x与4﹣y．17．（5分）如图，OD和OE是两条互相垂直的公路，A、B是两个村庄，使C到两条公路的距离相等，且点C到A、B两个村庄的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣6，2），C（﹣1，4）．（1）在图中画出将△ABC向右平移7个单位长度得到的△A1B1C1；（2）在图中画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并直接写出点A的对应点A2的坐标．19．（5分）如图，已知△ABC与△AED，连接CD，BC＝ED，且∠ADC＝∠ACD20．（5分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，连接AF交BC的延长线于E点，请证明△ADF与△ECF关于点F中心对称．21．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+k+1的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于点A（1，a）．（1）求a、k的值；（2）根据图象，写出不等式﹣x+4＞kx+k+1的解；（3）结合图形，当x＞2时，求一次函数y＝﹣x+4函数值y的取值范围；22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，求证：DE∥AC．23．（7分）某大型超市从生产基地购进一批蔬菜，销售过程中估计有10%的蔬菜正常损耗，蔬菜的进价是每千克2.7元，需要把售价至少定为多少元/千克？24．（8分）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，且BF＝AC，FD＝CD．求∠DBA的度数．25．（8分）原价为每千克10元的优质水果，若批发购买量在2000千克以上，则有两种优惠方案可以选择．第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门．第二种方案：按原价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．（1）分别写出两种方案的所需总费用y（元）与购买水果质量x（x＞2000）（千克）之间的函数关系式；（2）根据购买量判断哪种方案更加合算．26．（10分）【背景呈现】如图，点O是等边△ABC内的一点，连接OB，有∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接OD，OA．【问题发现】（1）由题意可知，△ODC的形状为；【初步探究】（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；【深入拓展】（3）若∠OAD＝60°，OB＝2

陕西省西安市蓝田县八年级2023-2024学年下学期期中数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得到答案．【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，所以不是中心对称图形．选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P在三角形纸板的一边上，则点P到P′的距离PP′为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据平移的性质可得PP'即为数轴上对应两点平移的距离解答．【解答】解：PP'＝2﹣（﹣3）＝7，即点P平移的距离PP′为5．故选：A．【点评】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题．3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．a2﹣16+3a＝（a﹣4）（a+4）+3a B．a（m+n）＝am+an C．8x2﹣2x＝2x（4x﹣1） D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4【答案】C【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．【解答】解：由因式分解的定义可得，a2﹣16+3a＝（a﹣6）（a+4）+3a，a（m+n）＝am+an和x5﹣4x+4＝x（x﹣3）+4由左边到右边的变形不是因式分解，8x5﹣2x＝2x（4x﹣1）由左边到右边的变形是因式分解，∴选项A，B，D不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义．4．不等式的正整数解的个数是（）A．5 B．6 C．3 D．4【答案】B【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵，∴x﹣2x＞﹣7，﹣x＞﹣，∴x＜，则不等式的正整数解有1、2、3、4、6、6这6个，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC＝27°，点A、C、B′在同一水平线上，∠OB′C＝∠OAC，则AB的长度为（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m【答案】B【分析】证明OA＝OB'＝1m，再由题意可知，OB＝OB'＝1m，求出AB＝OA+OB＝2m即可．【解答】解：∵∠OB′C＝∠OAC，∴OA＝OB'＝1m，由题意可知，OB＝OB'＝1m，∴AB＝OA+OB＝2m，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：由﹣x﹣1＞0得：x＜﹣7，由≤4得：x≤2，则不等式组的解集为x＜﹣1，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC＝30°，则缆车从A点到B点的过程中（BC的长）为（）A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米【答案】A【分析】由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∵AB＝40米，∠1BAC＝30°，∴BC＝AB＝，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．如图，在等边△ABC中，AB＝4，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，则线段DE的长为（）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先由等边三角形的性质得出BD＝2，∠BAD＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD＝＝2．再根据旋转的性质得出AD＝AE，∠DAE＝60°，∠CAE＝∠BAD＝∠DAC＝30°，那么△ADE是等边三角形，从而得到DE的长．【解答】解：∵在等边△ABC中，AB＝4，∴BD＝DC＝＝2，AD⊥BC，∴AD＝＝2．∵将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接DE交AC于点F，∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，AF⊥DE，∴DE＝AD＝3，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．2xy2与x6的公因式是x．【答案】x．【分析】运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解．【解答】解：∵2xy2＝x•7y2，x6＝x•x3，∴2xy2与x6的公因式是x，故答案为：x．【点评】此题考查了公因式的确定能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．10．如图，一个水平放置的半圆O，直径AB为6cm，得到半圆O′，点A、B的对应点分别是点A′、B′20cm．【答案】20．【分析】根据平移的性质得AA′＝BB′＝4cm，再根据A′B′＝AB＝6cm，即可求出答案．【解答】解：∵AA′＝BB′＝4cm，A′B′＝AB＝6cm，∴四边形AA′B′B的周长为5+4+6+4＝20（cm）．故答案为：20．【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移是性质是关键．11．小明家距离学校1600米．一天中午，小明从家里出发时，离规定到校时间只剩15分钟，他必须加快速度．已知他每分钟走70米，若跑步每分钟可跑180米．为了不迟到，则列出的不等式为180x+70（15﹣x）≥1600．【答案】180x+70（15﹣x）≥1600．【分析】设要跑x分钟，根据小明家距离学校1600米可得：180x+70（15﹣x）≥1600．【解答】解：设要跑x分钟，根据题意得：180x+70（15﹣x）≥1600，故答案为：180x+70（15﹣x）≥1600．【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到不等关系列出不等式．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．【答案】x＜4．【分析】根据题意，可知当x＝4时，kx+b＝2，然后再观察函数图象，即可写出不等式kx+b＜2的解集．【解答】解：由图象可得，关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．故答案为：x＜3．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，且∠MPN与∠AOB互补；②OM+ON＝OP；③△PMN的周长保持不变其中所有正确的结论是①②（填序号）．【答案】①②．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，证明△PEM≌△PFN，△PEO≌△PFO，即可解答．【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，垂足为F，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，∵∠MPN与∠AOB互补，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，∴∠MPE＝∠NPF，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，∴PE＝PF，∵∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MEP≌△NFP（ASA），∴PM＝PN，ME＝NF；∵OP＝OP，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴OE＝OF，∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠AOB＝60°，∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，∴PO＝2OE，∴OM+ON＝OP，故②正确；∵PM＝PN，∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，∵MN的长度是变化的，∴△PMN的周长是变化的，故③错误；所以，说法正确的是：①②，故答案为：①②．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．（5分）把下列各式因式分解：（1）2a2b﹣6bc；（2）3xy+5x2y﹣4xy2．【答案】（1）2b（a2﹣3c）；（2）xy（3+5x﹣4y）．【分析】（1）利用提公因式法进行分解即可解答；（2）利用提公因式法进行分解即可解答．【解答】解：（1）2a2b﹣4bc＝2b（a2﹣8c）；（2）3xy+5x7y﹣4xy2＝xy（5+5x﹣4y）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．15．（5分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【答案】﹣3＜x≤1，数轴见解析．【分析】首先求出各个不等式的解，再寻找解集的公共部分，可得结论．【解答】解：由①得，x+4≤5，x≤5，由②得，﹣6﹣2x＜x+6，x＞﹣3，∴﹣3＜x≤7，【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法．16．（5分）已知x＞y，请比较下列各式的大小，并说明理由．（1）与；（2）4﹣x与4﹣y．【答案】（1）＞；（2）4﹣x＜4﹣y．【分析】（1）（2）根据不等式的基本性质解答即可．【解答】解：（1）∵x＞y，∴＞，∴＞；（2）∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴4﹣x＜4﹣y．【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．17．（5分）如图，OD和OE是两条互相垂直的公路，A、B是两个村庄，使C到两条公路的距离相等，且点C到A、B两个村庄的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解答．【分析】分别作∠DOE的平分线和线段AB的垂直平分线，相交于点C，根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质可知，点C即为所求．【解答】解：如图，分别作∠DOE的平分线和线段AB的垂直平分线，则点C即为所求．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣6，2），C（﹣1，4）．（1）在图中画出将△ABC向右平移7个单位长度得到的△A1B1C1；（2）在图中画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并直接写出点A的对应点A2的坐标．【答案】（1）见解答．（1）作图见解答；点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图，可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求．（2）如图，△A2B2C7即为所求．点A2的坐标为（﹣6，﹣5）．【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．19．（5分）如图，已知△ABC与△AED，连接CD，BC＝ED，且∠ADC＝∠ACD【答案】证明见解答．【分析】由∠ADC＝∠ACD，得AC＝AD，而AB＝AE，BC＝ED，即可根据“SSS”证明△ABC≌△AED，得∠ACB＝∠ADE，则∠BCD＝∠EDC．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠ACB＝∠ADE，∴∠ADC﹣∠ADE＝∠ACD﹣∠ACB，∴∠BCD＝∠EDC．【点评】此题重点考查“等角对等边”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出AC＝AD，进而证明△ABC≌△AED是解题的关键．20．（5分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，连接AF交BC的延长线于E点，请证明△ADF与△ECF关于点F中心对称．【答案】见解答过程．【分析】由AD∥BC可得∠DAF＝∠CEF，再根据对顶角相等可得∠AFD＝∠EFC，又DF＝CF，根据“AAS”可得△ADF≌△ECF，进而得出AF＝EF，从而得出△ADF与△ECF关于点F中心对称．【解答】证明：∵AD∥BC∴∠DAF＝∠CEF，又∵∠AFD＝∠EFC，DF＝CF，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，∴△ADF与△ECF关于点F中心对称．【点评】本题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．21．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+k+1的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于点A（1，a）．（1）求a、k的值；（2）根据图象，写出不等式﹣x+4＞kx+k+1的解；（3）结合图形，当x＞2时，求一次函数y＝﹣x+4函数值y的取值范围；【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把A（1，a）代入y＝﹣x+4中可求出a的值，从而得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝kx+k+1中可求出k的值；（2）利用函数图象，写出直线y＝﹣x+4在直线y＝kx+k+1的上方所对应的自变量的范围即可；（3）先计算出x＝2时的函数值，然后利用图象求解．【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣x+4得a＝﹣3+4＝3，将A（7，3）代入y＝kx+k+1得k+k+6＝3；（2）不等式﹣x+4＞kx+k+3的解集为x＜1；（3）当x＝2时，y＝﹣x+6＝﹣2+4＝3，所以当x＞2时，y＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，求证：DE∥AC．【答案】证明见解答过程．【分析】由∠ACB＝120°，得∠ACE＝60°，根据将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，知AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝120°，故△ACE是等边三角形，∠CAE＝60°，可得∠AED+∠CAE＝180°，故DE∥AC．【解答】证明：∵∠ACB＝120°，∴∠ACE＝60°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝120°，∴△ACE是等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠AED+∠CAE＝180°，∴DE∥AC．【点评】本题考查旋转的性质及应用，解题的关键是掌握旋转前后，对应角相等，对应边相等．23．（7分）某大型超市从生产基地购进一批蔬菜，销售过程中估计有10%的蔬菜正常损耗，蔬菜的进价是每千克2.7元，需要把售价至少定为多少元/千克？【答案】3元/千克．【分析】设售价定为x元/千克，该大型超市从生产基地购进a千克蔬菜，利用总利润＝售价×销售数量﹣进价×购进数量，结合商家要避免亏本（总利润不小于0），可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：设售价定为x元/千克，该大型超市从生产基地购进a千克蔬菜，根据题意得：x•（1﹣10%）a﹣2.3a≥0，即90%x﹣2.2≥0，解得：x≥3，∴x的最小值为8．答：需要把售价至少定为3元/千克．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．24．（8分）如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，且BF＝AC，FD＝CD．求∠DBA的度数．【答案】∠DBA的度数是45°．【分析】因为AD为△ABC的高，所以∠BDF＝∠ADC＝90°，而BF＝AC，FD＝CD，即可根据“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC，得BD＝AD，所以∠DBA＝∠DAB＝45°．【解答】解：∵AD为△ABC的高，∴AD⊥BC于点D，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴BD＝AD，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴∠DBA的度数是45°．【点评】此题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，证明Rt△BDF≌Rt△ADC是解题的关键．25．（8分）原价为每千克10元的优质水果，若批发购买量在2000千克以上，则有两种优惠方案可以选择．第一种方案：按原价的8折出售，商家负责送货上门．第二种方案：按原价的7折出售，但需要自己租车运回，租车的费用为4000元．（1）分别写出两种方案的所需总费用y（元）与购买水果质量x（x＞2000）（千克）之间的函数关系式；（2）根据购买量判断哪种方案更加合算．【答案】（1）第一种方案：y＝8x（x＞2000）；第二种方案：y＝7x+4000（x＞2000）；（2）当购买4000千克时两种购买方案付款相同；当大于4000千克时，第二种方案更加合算；当大于2000千克小于4000千克时，第一种方案更加合算．【分析】（1）根据两种销售方案，分别得出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关系式，即单价×质量，列出即可；（2）根据分析8x与7x+4