二次函数综合性培优训练题及答案

二次函数综合性培优训练题及答案二次函数综合性培优训练题及答案1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.（1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EEBACP图1OxyD2、如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）到x轴的距离xxyO3

－9－1－1AB图23、如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为（秒)(0＜＜4)，△PQA的面积记为S.①求S与的函数关系式；②当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；③是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.PPBACOQ⌒图3-30-1-21234-30-1-21234S(万元)图4123456t(月)根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，过B作BC⊥轴交抛物线于C.设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.①求S与之间的函数关系式.②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.EOEO1备用图D图5EBACO16)如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。图6图67、如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③设是②中函数S的最大值，那么=.图7图78、如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.图8图89、如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.xx经y经0经1经2经3经4经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图910、如图10，已知点A(0,8)，在抛物线上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.AABCDOyx图1011、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出的值.（2）求支柱MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.MMN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy二次函数综合题训练题型集合答案1、(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，∴4=3+m.………………（1分）∴m=1.………………（2分）设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.………………（3分）∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴4=a(3-1)2,∴a=1.………………（4分）∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.………………（5分）(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE………………（6分）=(x+1)-(x2-2x+1)………………（7分）=-x2+3x.………………（8分）即h=-x2+3x(0＜x＜3).………………（9分）(3)存在.………………（10分）解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.…（11分）∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.………………（12分）解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)………………（13分）∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.……………（14分）解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.………………（11分）设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵直线CE经过点C(1,0),∴0=1+b,∴b=-1.∴直线CE的函数关系式为y=x-1.∴得x2-3x+2=0.………………（12分）解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)………………（13分）∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.……………（14分）2、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）． （3）将（m，m）代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴

m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．3、（1）∵抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)，∴.解得.………（2分）∴所求抛物线的函数关系式为.………………（3分）(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）①过点B作BE⊥轴于E，则BE=，AE=1，AB=2.由tan∠BAE=，得∠BAE=60°.…………（4分）EFPBACOQ⌒EFPBACOQ⌒图13过点Q作QF⊥轴于F，则QF=，∴S=PA·QF.……（6分）（ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这时，S=.……（8分）②（ⅰ）当0＜≤2时，.∵，∴当=2时，S有最大值，最大值S=.……（9分）（ⅱ）当2≤＜4时，∵，∴S随着的增大而减小.∴当=2时，S有最大值，最大值.综合（ⅰ）（ⅱ），当=2时，S有最大值，最大值为.△PQA是等边三角形.③存在.当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA，即4-=2，∴.∴P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,).……（13分）当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，∴∴P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,).………………（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈.………（1分）（2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2.…………（2分∵所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=.……（4分）∴所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t.…………（6分）（3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30.…………（7分）解得t1=10，t2=-6（舍去）.……（8分）答：截止到10月末公司累积利润可达30万元.………（9分）（4）把t=7代入关系式，得S=×72-2×7=10.5……………（10分）把t=8代入关系式，得S=×82-2×8=1616-10.5=5.5…………（11答：第8个月公司所获利是5.5万元.………………（12分）EO1DBAEO1DBACP∴………（1分）∵该抛线经过点E（0,1）∴∴∴，即所求抛物线的函数关系式为.………（3分）（2）①∵A点的坐标为（,0）,AB=4，且点C、D在抛物线上，∴B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4,(+3)2)，(,(-1)2).…（5分）∴.………（7分）②.………（8分）∴当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16，………（9分）此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形.………（10分）③当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P,使得ΔPAE的周长最小.………（11分）∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3,y=2x-2.∴P(,)………（13分）在Rt△CEB中，CE=,∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+.………（14分）6、解：（1）令y=0，解得或（1分）∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）∴直线AC的函数解析式是y=－x－1（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）E（（1分）∵P点在E点的上方，PE=（2分）∴当时，PE的最大值=（1分）（3）存在4个这样的点F，分别是7、解：（1）令，则；令则.∴、∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为┄1分又∵该函数图象过点、∴┄2分解之，得，∴所求二次函数的关系式为┄3分（2）∵=∴顶点M的坐标为┄4分过点M作MF轴于F∴=∴四边形AOCM的面积为10┄6分（3）①不存在DE∥OC┄7分∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时1<t<2,在Rt△AOC中，AC=5.设点E的坐标为∴，∴∵DE∥OC，∴∴┄8分∵>2，不满足1<t<2.∴不存在DE∥OC.┄9分②根据题意得D、E两点相遇的时间为（秒）┄10分现分情况讨论如下：ⅰ当0<≤1时，；┄11分ⅱ当1<≤2时，设点E的坐标为∴，∴∴┄12分ⅲ当2<<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得设点D的坐标为∴，∴∴=┄13分③┄14分10、（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC.∵A(0,8),∴设D点坐标为(x1,8),代入中，得x1=±4.又∵D点在第一象限，ABCDOyxABCDOyxE（2）∵C(2,2)，D(4,8)，∴直线CD的函数关系式为y=3x-4.设点P在线段CD上，P(x2,y2)，∴y2=3x2-4.∵AD=BC=4,∴×4(8-y2)=7，∴y2=.∴3x2-4=，∴x2=.∴P(,),即当点P在(,)的位置时，△DAP的面积是7.（3）连接AC，当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为ABCD的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将ABCD分成面积相等的两部分.设直线OE的函数关系式为y=kx,∴k=5，∴直线OE的函数关系式为y=5x.11、(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).GH图12-2DEOxABCGH图12-2DEOxABCy解得.∴抛物线的表达式是.(2)可设N(5,)，于是.从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.由k，=-2<0可知，当150≤x≤200时，y随x的增大而减小所以当x=150时，y有最大值.其最大值为-2×150+1200=900(元).2如图,双曲线y=k/x经过Rt△OMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点B,已知OA=2AN,△OAB的面积为5，则k的值是？

解答：方法一：

过A点作X轴的垂线，垂足为C点，

设OC=2a，则由比例关系得：CM=a，

∴OM=3a，

∵A、B两点都在双曲线y=k／x上，

∴AC=k／﹙2a﹚