数学简史2教材

数学史概论主讲：张启慧信息工程大学理学院第一章数学的起源与早期发展§1.1数与形概念的产生§1.2河谷文明与早期数学1.2.1埃及数学1.2.2美索不达米亚数学§1.1数与形概念的产生审美意识的萌芽形的概念形成人类生活与生产实践的需要有-无多-少对应原则实物计数口头计数数字结绳书契掐指记数语言产生文字产生记数法自然物形状的意识算术自然模似思维发展语言产生文字产生结绳记事

结绳记事是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生产力发展到一定程度，由于社会生活的实际需要而产生的。《周易·系辞下》：“上古结绳而治。”传说结绳记事，始于伏羲时代。西汉时曾经出现伏羲与女娲结绳的画像；在东汉武梁祠的浮雕上还刻有“伏羲仓精，初造王业，画卦结绳，以理海内”的铭文。

1.1.1结绳记事

原始公社时期，代结绳记事而起的一种比较进步的计量方法是书契记数。《周易·系辞下》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。百官以治，万民以察。”“书”指文字，刻字在竹、木或龟甲、兽骨上以记数、记事，称为“书契”。一般认为书契“初以记数为始，后以简册为断。”我们称以数字为主体的经济记录为“书契记数”。

1.1.2书契记数6捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）

1.1.3文字发明与数字的产生埃及象形文字中国殷商甲骨文字中国殷商甲骨文字中的数字古埃及数字玛雅文明中的数字古希腊数字古罗马数字1.1.4进位制与记数法

数系发展的第一个里程碑：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。

法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749–1827）曾经写道：

用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。书写数系与数字进位制与数基简单分群数系字码数系乘法分群数系定位数系（位值制）b进制数字码：0,1,2,3,…,(b-1)表示：N=anbn

+an-1bn-1

+…+a2b2

+a1b+a0

b进制数字码：0,1,2,…,(b-1),b,b2,…,b进制----逢b进位数基：bb进制----逢b进位数基：b数字码：0,1,2,3,…,数基：b数字码：1,b,b2,…,bn

如：二万三千四百五十六如：23456b进制数字码：0,1,2,…,(b-1),b,2b,3b,…,(b-1)b,b2,2b2,3b2,…,(b-1)b2,…,各种记数法（埃及、巴比伦、希腊、罗马）（中国、印度）（希腊）（中国早期）萌芽于对形的直觉古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量古代印度几何学与宗教实践密切相关古代中国几何学与天文测量相联系1.1.5几何学§1.2河谷文明与早期数学1.2.1埃及数学埃及分为三个主要时期：古王朝时期(西元前2613-2160)，中王朝时期(西元前2040-1750)以及新王朝时期(西元前1550-1086)。古埃及人建立了一个超过3000年的文明，经过统计，在这段时期中至少曾有过五千万人生活在这块土地上19莱茵德纸草书(1650B.C.)20莫斯科纸草书举个例子说，埃及人已经会解一元一次方程。例如，我们研究方程8X=19。运用现代的知识我们容易解出这个方程，得到X=19/8。

于是，需要用一个数去除另一个数。埃及人作了这个除法，而且除的相当特别。他们把除数8加倍，以便得到一个小於19，如果再加倍就大于19的一个数，然后逐次二等分，直到得出一个单位数1为止。这样的单位数在我们的例子中是一定能够得到的，因为除数8是2的三次幂。

这8可以表示成如下的形式：

8----1

16----2

4----1/2

2----1/4

1----1/8

在左边的数中，我们能得到其和为19的数，就是16+2+1=19，将16，2，1所对应的右边的数加在一起，就是解答：

X=2+1/4+1/8

这样的除法称为双轨程序。

在除数不是2的幂这种情况下怎么办呢？譬如，33/7，仍然利用双轨程序，把除数7加倍使其尽可能大的倍数小于33，得到33=4X7+5，把5写成2X2+1，推出5/7=2X2/7+1/7，对于2/7这样的数来说，有专门的展开的表。根据这些表，2/7=1/4+1/28，这必须分解为一些分子等于1的分数，这样的分数叫做单位分数。埃及人没有有理数的一般概念，他们把分子为1的分数看作是从中选取相应部分的对象的一种特殊性质。于是：

5/7=2X（1/4+1/28）+1/7=1/2+1/7+1/14

最后，得到：

33/7=4+1/2+1/7+1/14。

埃及人还会计算圆的面积。他们相当出色地选取了π的近似值：=3.1605这是一个巨大的成就，因为他们同时代的巴比伦人取π等于3，这太不精确了。但是，埃及人通过取对边和的一半相乘来求任意四边形的面积，这也是很不精确的。

令人感到意外的是，埃及人能够完全精确地计算平截头棱锥体的体积。这是非常令人吃惊的，因为这种计算需要达到的数学水平比埃及人当时的水平还要高。后来的希腊人经过漫长的时间才达到了这个水平。

根据希腊作者的叙述，在埃及专门有一种测量土地的人，在希腊人的说法中，测量土地的工具有“拖绳“或“拉绳“的意思。这些绳子大概是用来做直角的，绳子用结扣分成12等分。如果由这些等分组成一个各边边长分别为3，4，5等分的三角形，那么3等分和4等分的两边所夹的角就是直角（符合毕达格拉斯逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，则三角形是直角三角形）。

埃及人运用的所有的数学法则都带有极端的经验主义的性质，这些法则既没有任何定理，也没有任何证明。

1.2.2美索不达米亚数学第一组大约在公元前2100年苏美尔文化末期。第二组数量很大，从汉莫拉比时代（公元前1792-1750）即第一代巴比伦王朝开始，直到大约公元前1600年。

第三组内容丰富,大约从公元前600年-直到公元300年,包括内布恰德内扎尔的新巴比伦帝国与随后的波斯和塞流西得时代。

（1）楔形文字普林顿322号泥板书

在最古老的书板上显示了巴比伦人高水平的计算能力，表明他们很早就有了六十进位制。古巴比伦人最初用石块、绳结记事，后来又用手指计数。一个指头代表1，两个指头代表2，…，到数到10时，就要重新开始。由此巴比伦人产生了“逢十进一”的概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个手指头，12×5＝60，这样他们就又有了每隔60进一的计数法。在泥版上，巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，其他数通过▼和<的组合实现。比如35，就用：

<<<▼▼

▼▼▼

（2）古巴比伦的商业数学这种计数方法也影响了后人，我们现在的十进制和六十进制，就从这里来的。比如，1米＝10分米，1分钟＝60秒。

巴比伦人掌握了很多计算方法,许多算术程序是借助各种各样的表来实现的。在400块数学书板中，有一多半是表，有乘法表、倒数表、平方表和立方表，甚至还有指数表。指数表可能是和插值法一起用来解决复利问题的。倒数表则用于把除法化为乘法。

（2）古巴比伦的商业数学

巴比伦泥版上有这样一个问题：兄弟10人分5/3米那的银子（米那和后面的赛克尔都是巴比伦人的重量单位，其中1米那＝60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三，……，所分银子的差相等，而且老八分的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量。从这个例子可以看出，巴比伦人已经知道了"等差数列"这个概念。

下述事实证明巴比伦人很早就已使用日历。他们的年是从春分开始的。并且一月是以金牛座命名的，由于在公元前4700年左右春分时太阳在金牛座。因此说巴比伦人远在公元前四、五千年就有了某种历法推算，似乎不无道理。巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具体例子可以看到，巴比伦人在公元前2000到1600年，就已熟悉了计算长方形面积、直角三角形和等腰三角形（也许还不知道一般三角形）面积，有直角梯形面积、长方形的体积，以及以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般规则。

（3）巴比伦的几何学

这块3800年前的泥板用楔形文字和图案列出了一系列几何练习题，年轻的巴比伦学生被要求计算出正方形内各个不同面积。

他们知道取直径的三倍为圆周，取圆周平方的1/12为圆面积，还用底和高相乘的方法求得直圆柱的体积。他们也知道，两个相似的直角三角形的对应边成比例，过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边，内接于半圆的角是直角。他们还知道毕达哥拉斯定理。在一个最近发现的书板上，是用25/8作为π的估计值。亚述-巴比伦时期的楔形文字

“毕达哥拉斯定理”巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质。一些比较复杂的问题虽然是以几何术语来表达的，但实质上还是一些特殊的代数问题。有许多问题涉及平行于直角三角形的一条边的横截线，它们就引出二次方程；还有一些问题引出了联立方程组，其中一例就给出了含十个未知数的十个方程。有一块耶鲁书板，大概是公元前1600年的，在那上面有一个一般三次方程，是在讨论棱锥的平截头体的体积时出现的。但是最为重要的是，我们现在把圆周分成360等分，无疑应当归功于古代巴比伦人。

为什么选定这个数？有几种解释，但是比较起来还是考古学家O·诺伊格包尔提倡的那种说法似乎更有道理。他认为，在苏美尔文化初期，曾有一种大的距离单位-巴比伦里差不多等于现在的英里的七倍。由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。

后来，在公元前一千年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时,巴比伦时间-里，就是用来测量时间长短的，因为发现一整天等于12个时间-里，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分为12等分，但是，为了方便起见，把巴比伦里分为30等分。于是我们便