数学起源及早期发展

数学起源及早期发展数学起源与早期发展1.1数与形概念的产生

数的概念的形成大约是在30万年以前

记数是伴随着计数的发展而发展的●手指记数

亚里士多德：采用十进制是因为多数人生来具有十个手指●石子记数●结绳记数●刻痕记数《周易·系辞下》：上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。基普（印加）幼狼胫骨（捷克）

大约五千年前，出现书写记数及相应的记数系统。几种古老文明的早期记数系统：

◆巴比伦数字：六十进制◆玛雅数字：二十进制◆其余数字：十进制记数系统的出现使数与数之间的运算成为可能

最初的几何知识从人们对形的直觉中萌发出来。这组照片显示了早期人类不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的应用。

在不同地区，几何学的来源不尽相同：●古埃及：土地的丈量●古印度：宗教实践●古代中国：天文观测1.2河谷文明与早期数学

兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。1.2.1埃及数学

埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征，从公元前3100年左右美尼斯统一上、下埃及建立第一王朝起，到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及（波斯）王朝（第三十一王朝）止，前后绵延三千年。

埃及象形文字产生于公元前3500年左右，约公元前2500年被简化为一种更易书写的“僧侣文”，后又发展成所谓“通俗文”。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜。

1799年，拿破伦远征军的士兵在埃及古港口罗赛塔发现一块石碑，碑上刻有用三种文字----希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文，才使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。

古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今。我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书----莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。●莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱茵德(H.Rhind)购得，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆,见图

有时人们也称这部纸草书为阿姆士纸草书，以纪念一位叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，而根据阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作，其中涉及的数学知识一部分可能得传于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞尔的御医，同时也是一位传奇式的建筑师，曾督造过这位法老的金字塔。●莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草书是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔（约公元前1890年），也是用僧侣文写成。

这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。

△莱茵德纸草书：主体部分由48个问题组成△莫斯科纸草书：包含了25个问题

这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。

这种记数制以不同的特殊记号分别表示10的前六次幂：简单的一道竖线表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10000，一条江鳕鱼表示100000，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示1000000.其他数目是通过这些数目的简单累积来表示的，如数12345则被记作

100100010000100000100000012345

在两部纸草书中，象形文字被简化为僧侣文数字:28在象形文字中被表示为，而在僧侣文中被写成，值得注意的是这里把代表较小数字的8（记二个4）的符号（=）置于左边而不是右边。

随着青铜文化的崛起，分数概念与分数记号应运而生。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数）：在整数上方画一个长椭圆；纸草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号。在多位数的情形，则点号置于最右边的数码之上。例如象形文字僧侣文字

埃及数学是实用数学,但也有个别例外，例如莱茵德纸草书第79题：

7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。

有人认为这是一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为不同幂次的名称，即房子表示一次幂，猫表示二次幂，等等。无论如何，这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题，带有虚构的数学游戏性质。

埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。1.3美索不达米亚——古巴比伦数学

底格里斯河与幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明的发祥地之一。早在公元前四千年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。自公元前4世纪中叶阿卡德人第一次入侵建立阿卡德王国（约公元前2371-前2230），以后又有阿摩利人、加喜特人、伊兰人、赫梯人、亚述人、伽勒底人和波斯人等相继等上统治舞台。令人惊讶的是，两河流域在这种错综复杂的民族战乱中却维系着高度统一的文化，史称“美索不达米亚文明”，契形文字的使用可能是这种文化统一的粘合剂。

两河流域的居民用尖芦管在湿泥板上刻写楔形文字，然后将泥板晒干或烘干。迄今已有约50万块泥板文书出土。对楔形文字的释读比埃及文字要晚，关键的一步是在19世纪70年代迈出的，当时发现的贝希斯敦石崖，上面用三种文字（波斯文、埃及文和巴比伦文）记载着波斯王大流士一世的战功。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文字的奥秘。

1.3泥板上的数学——巴比伦古巴比伦（美索不达米亚）两河流域（幼发拉底河与底格里斯河）美索不达米亚文明楔形文字世界七大奇迹之一“空中花园”泥板符号楔形文字在发掘出来的50万块泥板中，约有300多块是数学泥板，其中记载有数字表和数学问题。

1.3.1古巴比伦的记数制59记作古巴比伦人的记数系统是60进制表示2×602+2×60+2=7322古巴比伦人的这种记数法并不完善。他们用留空位的办法代表零。古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作为分母。古巴比伦人的分数系统是不成熟的。要弄清巴比伦数字的真正数值还必须联系上下文，依靠智力进行推定。

1.3.2古巴比伦的算术与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的。大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。为了便于计算，他们大约在公元前2000年以前已经编制了从1×1到60×60的乘法表，并用来进行乘法运算了。倒数表用于把除法转化为乘法进行，经常要使用分数。

1.3.3古巴比伦的代数在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。可能由于许多代数问题都与几何有关，因此他们常常用“长”，“宽”，“面积”来代表未知数和它们的乘积等。

耶鲁大学的一块泥板已知依几布姆比依古姆大7。问依几布姆和依古姆各为多少？（这里igibum和igum是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专有术语）古巴比伦人那时可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式。由于他们没有负数的概念，二次方程的负根不予考虑。至于他们是如何得到上述这些解法的，泥板书上没有具体说明。他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。在一块泥板上，他们给出这样的数表，它不仅包含了从1到30的整数的平方和立方，还包含这个范围的整数组合n3+n2，专家经研究认为，这个数表是用来解决形如x3+x2=b的三次方程的。洛佛尔博物馆的一块泥板两个级数问题

普林顿322号泥板勾股数表参数式：

x=2uv，y=u2-v2，z=u2+v2而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。1.3.4古巴比伦的几何在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题。古巴比伦人的几何知识，与他们在代数学上所取得的成就来比，相对地要逊色得多。巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质，一些比较复杂的问题虽然以几何术语来表达，但实质上还是一些特殊的代数问题。他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。例如古巴比伦人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算。他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱柱体体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积。在泥板中有足够的证据表明，古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。但他们错误地认为，圆台和棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。古巴比伦人的几何与古埃及人的几何有一个共同的缺陷，即对准确公式与近似关系混淆不清。四边形面积正四棱台体积圆周率π为31936年在离巴比伦城300多公里的苏萨地方出土的一块泥板给出了正方形与其外接圆周长之比等于0；57，36采用3-1/8作为π的近似值勾股定理的广泛使用。有一块泥板上有这样一个问题：倚墙而立的木杆长0；30尺，若上端下滑0；6尺，问其下端将移离墙多远？作者运用勾股定理求出了正确答案0；18。北师大版《数学》1.3.5古巴比伦的天文学在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法。他们的年历是从春分开始的，一年有12个月，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月。圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦。一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天。所谓“星期”也就是指星的日期。我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的，这种表示方法在今天的英语单词中还能找到一些痕迹。1.4小结古巴比伦和古埃及数学的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。而古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。这些表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学中，虽然出现了一些令人信服的数学和重要的公式，但他们的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察，更谈不上掌握了。M.克莱因《古今数学思想》“按这个标准说，埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是建筑大师。”真正科学意义下的理性数学，是由希腊人为我们提供的。大约公元前6世纪在地中海沿岸，那里一个崭新的、更加开放的文明——历史学家常称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代——以论证几何为主的希腊数学时代。中国古代数学卓越成就我们祖国具有悠久而光辉的历史，在数学领域里曾经创造了高度文明，对人类文明发展作出过极其辉煌的贡献。中国是数学最早萌芽、产生和发展的国家，一些古代数学成就，在历史上曾处于遥遥领先的地位。限于篇幅，本章不准备全面阐述中国古代的数学发展，仅就处于世界领先地位的方面作简要的介绍。1）十进位制记数法和零的采用。源于春秋时代,早于第二发明者印度1000多年。

公元六世纪末，印度古代人民创造了印度—阿拉伯数字和记数法，即现在世界通用的阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0和十进位值制记数法。零（0）出现在阿拉伯数字里。公元前六世纪春秋战国时期中国出现了筹算，至明初，筹算发展为珠算。在筹算和珠算里有一、二、三、四、五、六、七、八、九的自然数，遇到零时，就用空位表示。汉字里有一至九数目字，零记为“零”或“○”，有时也用“有”“又”表示。汉武梁祠中有“伏羲手执规、女娲手执矩”的造像。史记《禹本纪》中所述大禹治水（公元前

１９世纪）时的工具“左准绳、右规矩”2）二进位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二发明者德国数学家莱布尼兹（公元1646~1716）2000多年。中国古代的二进制运用与现代电子计算机中二进制的运用是一致的。从《易经》上可以看到二进制的起源。我国上古的伏羲时代就有了《易经》，《易经》是研究日月之间变化的一门科学，通过卦爻来说明天地之间、日月系统以内人生与事物变化的大法则。究其研究方法，就是借助于二进制手段来实现的。老子是将二进制数深化运用的一位大圣人.二进位值制阳爻“——”、阴爻“－－”，二进位值制的萌芽，八卦据英国李约瑟博士考证，莱布尼茨创立二进位制很可能是从八卦图象中得到了启发

电子计算机“古老的八卦敲响了近代科学的晨钟！”3）几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》，早于第二发明者欧几里德（公元前330~前275）100多年。《墨经》是《墨子》重要部分，《墨子》是战国时期墨家著作的总集，是墨翟（人称墨子）和他的弟子们写的。他们把自己的科学知识、言论、主张、活动等集中起来，汇编成《墨经》.《墨经》.有《经上》、《经下》、《经上说》、《经下说》四篇。《经说》是对《经》的解释或补充。

《墨经》中有8条论述了几何光学知识，它阐述了影、小孔成像、平面镜、凹面镜、凸面镜成像，还说明了焦距和物体成像的关系，这些比古希腊欧几里德（约公元前330～275）的光学记载早百余年。（4）勾股定理（商高定理）。发明者商高（西周人），早于第二发明者毕达哥拉斯（公元前580~前500）550多年。约战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。后人简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。（5）幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的出现在公元2世纪，我国早于国外600多年。

幻方（magicsquare）又称为魔方、方阵，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，是最早的幻方。伏羲氏赁借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。洛书”所画的衅中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

九宫格洛书

河图的解释，在历史上有多种说法。其中《尚书》中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”

图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同

“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”

明代邵雍的易图数学结构（6）分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则出现在《九章算术》中，它的传本至迟在公元1世纪已出现。印度在公元7世纪才出现了同样的法则，并被认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度500多年。中国运用最小公倍数的时间则早于西方1200年。运用小数的时间，早于西方1100多年。7）负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》，这一发现早于印度600多年，早于西方1600多年。早在2000多年前，我国就了解了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。我国三国时期的学者刘徽在建立正负数上有重大的贡献。他首先给出了正负数的定义："今两算得失相反，要令正负以名之。"意说，在计算过程中遇到有相反意义的量，要以正数和负数来区分它们。他第一次给出了区分正负数的方法："正算赤，负算黑。否则以邪正为异。"意思是，用红色的小棍摆出的数表示是正数，用黑色小棍摆出的数表示是负数。也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

8）盈不足。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世界上，直到13世纪，才在欧洲出现了同样的方法，比中国晚了1200多年。（9）方程术。最早出现于《九章算术》中，其中解联立一次方程组方法，早于印度600多年，早于欧洲1500多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面，我国要比世界其他国家早1800多年。（10）最精确的圆周率“祖率”。早于世界其他国家1000多年。（11）等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录1100多年。（12）二次内插法。隋朝天文学家刘焯最早发明，早于“世界亚军”牛顿（公元1642~1727）1000多年。（13）增乘开方法。在现代数学中又名“霍纳法”。我国宋代数学家贾宪最早发明于11世纪，比英国数学家霍纳（公元1786~1837）提出的时间早800年左右。

（14）杨辉三角。实际上是一个二项展开式系数表。它本是贾宪创造的，见于他著作《黄帝九章算法细草》中，后此书流失，南宋人杨辉在他的《详解九章算法》中又编此表，故名“杨辉三角”。在世界上除了中国的贾宪、杨辉，第二个发明者是法国的数学家帕斯卡（公元1623~1662），他的发明时间是1653年，比贾宪晚了近600年。杨辉三角与增乘开方法

杨辉（约13世纪后期）在《详解九章算法》中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（1655年）·

中国传统数学发展的顶峰（900年到1368年）·

创造出许多具有世界

历史意义的成就

数学家辈出

数学著作涌现

（15）中国剩余定理。实际上就是解联立一次同余式的方法。这个方法最早见于《孙子算经》，1801年德国数学家高斯（公元1777