连续型随机变量的概率密度函数

§2.3连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概念与性质一些常用的连续型随机变量1可编辑ppt一、连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量记为：X~f(x)，其图象称为密度曲线。说明：连续型随机变量的分布函数为连续函数。2可编辑ppt概率密度f(x)具有以下性质：f(x)0x1f(x)x0前两个条件是概率密度的充分必要条件X落在(x1,x2]上概率是概率密度在(x1,x2]上的定积分值。连续型随机变量3可编辑ppt事实上，既有5.设X是连续型随机变量,则对任意的实数a,有连续型随机变量注意:连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概率！4可编辑ppt说明：由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．此公式非常重要！若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x),则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间;可以是有限区间,也可以是无穷区间)上取值的概率为连续型随机变量5可编辑ppt例1

设X是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质,有连续型随机变量6可编辑ppt例2某电子元件的寿命X（小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.解设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}设Y表示5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数，则

故所求概率为检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验连续型随机变量7可编辑ppt例3设随机变量X的密度函数为连续型随机变量8可编辑ppt例3（续）连续型随机变量9可编辑ppt例4

设有随机变量X的概率密度函数为求1)A值.解2）X的分布函数.3）P{1.5<X<2.5}连续型随机变量1)由密度函数的性质,有2)

X的分布函数或3)10可编辑ppt二、一些常用的连续型随机变量1.均匀分布定义若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]abxF(x)01X的分布函数为：连续型随机变量则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布.11可编辑ppt显然，分布函数随机变量12可编辑ppt均匀分布的概率背景XXabllx0连续型随机变量如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关.此时可认为随机变量X在区间[a,b]上取值是等可能的.13可编辑ppt例5

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：令：B={候车时间不超过5分钟},则连续型随机变量乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量设该乘客于7时X分到达此站,X服从区间[0,30]上的均匀分布．14可编辑ppt例6解随机变量Y的密度函数为：连续型随机变量15可编辑ppt2.指数分布定义若随机变量X的密度函数为记为：其分布函数为说明指数分布常用于近似表示“寿命”分布，如：服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。连续型随机变量16可编辑ppt例7令：B={等待时间为10~20分钟},则连续型随机变量设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需要等待10~20分钟的概率.X的密度函数为X(分钟)是服从参数为λ=1/10的指数分布17可编辑ppt3.正态分布0xf(x)(1)概率密度函数连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度函数为(其中(-∞<μ<+∞,σ>0),则称随机变量X服从参数为μ,σ2的正态分布,由称高斯分布.记为:X~N(μ,σ2)18可编辑ppt特别是,当μ=0,σ2=1时称正态分布为标准正态分0xf(x)其图形如右连续型随机变量布.记为:N(0,1)标准正态分布的概率密度函数为:19可编辑ppt密度函数的验证只验证见高等数学（下）二重积分连续型随机变量20可编辑ppt由正态分布密度函数的图形知：xf(x)0连续型随机变量(1)曲线关于直线x=μ对称,这表明：对任意的h>0,有(2)当x=μ时,f(x)取到最大值21可编辑ppt连续型随机变量(3)曲线y=f(x)在x=μ+σ,x=μ-σ时处有拐点;曲线以x轴为渐近线.(4)若σ固定,改变μ的值,则y=f(x)的图形沿x轴平行移动,但图形的形状不改变.(5)若μ固定,改变σ的值,当σ越小,则y=f(x)的图形越陡,即X落在μ值附近的概率越大;反之,当σ越大,则y=f(x)的图形越平缓,表明X取值越分散.xf(x)022可编辑ppt（2）分布函数且有连续型随机变量23可编辑pptx0x-x证明：由公式有，分布函数随机变量作变换t=-μ，dt=-dμ得24可编辑ppt说明(2)对于任何实数x，有当0≤x≤4时，从附表直接只查Φ(x).连续型随机变量当x>4时，Φ(x)=1;当-4<x时，Φ(x)=0.当-4≤x≤0时，Φ(x)=1-Φ(-x).25可编辑ppt(3)标准正态分布与正态分布的关系连续型随机变量26可编辑ppt该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法连续型随机变量27可编辑ppt该公式给出了一般正态分布概率函数值的求法连续型随机变量28可编辑ppt例8

设随机变量X~N(0,1),试求:(1)P{1≤X<2};连续型随机变量29可编辑ppt例9

设随机变量X~N(2,9)试求:(1)P{1≤X<5};连续型随机变量30可编辑ppt连续型随机变量X~N(2,9)31可编辑ppt0连续型随机变量32可编辑ppt

规则（3标准差规则）连续型随机变量33可编辑ppt4*.Γ-分布.连续型随机变量34可编辑pptΓ-函数连续型随机变量35可编辑ppt说明：我们称此分布为排队论中的n阶Erlang(爱尔朗）分布，连续型随机变量36可编辑ppt我们称此分布为自由度为n的--分布，它为数理统计中常见的统计量之一，连续型随机变量37可编辑ppt4正态分布的密度函数及几何性质