对数的概念 高一数学

4.3.1

对数的概念自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学一、对数的概念1.如果3a=9,3b=27,那么a,b的值分别是多少?如果3c=10,那么c的取值范围是什么?怎样表示?提示:a=2,b=3,c∈(2,3),用对数符号表示.2.一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数

x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.3.如果将10a=m,10b=n改写为对数的形式,那么底数是什么?如果将ea=m,eb=n改写为对数的形式,那么底数是什么?提示:底数分别是10和e.4.(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN.

(2)自然对数:以e为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为lnN.

5.若2a=b,则下列关系式正确的是(

)A.a=logb2

B.a=log2bC.2=logab

D.2=logba答案:B二、对数的性质1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么?将ax=N(a>0,且a≠1)改写为对数式后,真数的值有可能是0或负数吗?提示:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞);真数的值不可能是0或负数.提示:等于0.

5.下列说法正确的是(

)A.若log2(a-1)有意义,则a≥1

B.lg10=1C.ln1=e

D.log44=0答案:B答案:(1)5

(2)40【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)(-2)4=16可化为log-216=4.(×)(2)对数运算的实质是求幂指数.(√)(3)对数的真数必须是非负数.(×)(4)若log63=m,则6=3m.(×)(5)lg(lne)=0.(√)

合作探究·释疑解惑探究一

指数式与对数式的互化反思感悟指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式;(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.【变式训练1】

将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:探究二

对数的计算反思感悟求对数式中未知数的方法(1)将对数式转化为指数式.(2)根据指数和幂的运算性质解有关方程,求得结果.探究三

对数的性质及其应用反思感悟1.利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值的方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,先逐步脱去“log”后再求解.2.利用对数恒等式求值的方法应将所求式子化为幂的形式,其中幂的指数是一个对数的形式,且对数的底数与幂的底数必须相等,这时幂的值就等于对数的真数的值.易

错

辨

析忽视对数的真数大于0的条件致错【典例】

已知log(x+3)(x2+3x)=1,则实数x等于

.

错解:由对数的性质可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案

1或-3提示:错解中忽视了对数的底数以及真数的限制条件,没有根据这些限制条件对所得的值进行检验.正解:由对数的性质可得x+3=x2+3x,解得x=1或x=-3.但当x=-3时,x+3=0,x2+3x=0,此时对数无意义;当x=1时,符合题意.故x的值等于1.答案:1防范措施解决对数问题时一定要注意对数自身的限制条件,即对数的底数必须大于0且不等于1,对数的真数必须大于0.在求解与对数有关的参数问题时,一定要注意检验所得参数值是否符合上述限制条件,以便对其进行取舍.【变式训练】

在N=log(5-b)(