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2024年初一下册数学专项练习提公因式法(基础)【学习目标】了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式.(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法.要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即.(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是()A.6a2b2=3ab•2ab B.2x2+8x﹣1=2x(x+4)﹣1C.a2﹣3a﹣4=(a+1)(a﹣4) D.【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断.【答案】C.【解析】A、是单项式乘单项式的逆运算,不符合题意;B、右边结果不是积的形式,不符合题意;C、a2﹣3a﹣4=(a+1)(a﹣4),符合题意;D、右边不是几个整式的积的形式,不符合题意.故选:C.【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式,所以等式的左边必须是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式.举一反三:【变式】下列式子从左到右变形是因式分解的是()A.a+4a﹣21=a(a+4)﹣21 B.a+4a﹣21=(a﹣3)(a+7)C.(a﹣3)(a+7)=a+4a﹣21 D.a+4a﹣21=(a+2)﹣25【答案】B.类型二、提公因式法分解因式 2、(1)多项式的公因式是________;(2)多项式的公因式是________;(3)多项式的公因式是________;(4)多项式的公因式是________.【答案】(1)3(2)4(3)(4)【解析】解:先确定系数部分的公因式,再确定字母部分的公因式.(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数,最后的一项中不含字母,所以公因式中也不含字母.公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数,字母部分是.公因式为4.(3)公因式是(),为一个多项式因式.(4)多项式可变形,其公因式是.【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手,公因式可以是一个数,也可以是一个单项式,还可以是一个多项式,互为相反数的因式可变形为公因式.举一反三:【变式】下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()A.B.C.D.【答案】B;3、若,则E是()A.B.C.D.【答案】C;【解析】解:.故选C.【总结升华】观察等式的右边,提取的是,故可把变成,即左边=.注意偶次幂时,交换被减数和减数的位置,值不变;奇次幂时,交换被减数和减数的位置,应加上负号.举一反三:【变式】把多项式提取公因式后,余下的部分是()A.B.C.2D.【答案】D;解:,=,=.4、分解因式:3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a).【思路点拨】将原式变形后,提取公因式即可得到结果.【答案与解析】解:原式=3x(a﹣b)+6y(a﹣b)=3(a﹣b)(x+2y).【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.举一反三:【变式】用提公因式法分解因式正确的是()A.B.C.D.【答案】C;解:A.,故本选项错误;B.,故本选项错误;C.,正确;D.,故本选项错误.类型三、提公因式法分解因式的应用 5、若,求的值.【答案与解析】解:由,得.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构,,这样就能由已知整体代入求值了.提公因式法(提高)【学习目标】了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式.(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式.(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法.要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即.(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.(1);(2);(3);(4);(5).【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断.【答案与解析】解:因为(1)(2)的右边都不是积的形式,所以它们都不是因式分解;(4)的左边不是多项式而是一个单项式,(5)中的、都不是整式,所以(4)(5)也不是因式分解,只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以只有(3)是因式分解.【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式,所以等式的左边必须是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.等式的右边必须是整式因式积的形式.举一反三:【变式】下列变形是因式分解的是()A.B.C.D.【答案】B;类型二、提公因式法分解因式2、把下列各式分解因式:(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3.【思路点拨】(1)直接提取公因式2m(m﹣n),进而分解因式得出答案;(2)直接提取公因式﹣4ab,进而分解因式得出答案.【答案与解析】解:(1)2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)=2m(m﹣n)[(m﹣n)+4m]=2m(m﹣n)(5m﹣n);(2)﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab(2a﹣3b+a2b2).【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.举一反三:【变式】下列分解因式结果正确的是()A.ab+7ab﹣b=b(a+7a) B.3xy﹣3xy+6y=3y(x﹣x﹣2)C.8xyz﹣6xy=2xyz(4﹣3xy) D.﹣2a+4ab﹣6ac=﹣2a(a﹣2b+3c)【答案】D.解:A、原式=b(a+7a+1),错误;B、原式=3y(x﹣x+2),错误;C、原式=2xy(4z﹣3xy),错误;D、原式=﹣2a(a﹣2b+3c),正确.故选D.类型三、提公因式法分解因式的应用3、若、、为的三边长,且,则按边分类,应是什么三角形?【答案与解析】解:∵∴当时,等式成立,当时,原式变为,得出,∴∴是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式,就可以得出三边之间的关系,从而判定三角形的类型.4、对任意自然数(>0),是30的倍数,请你判定一下这个说法的正确性,并说说理由.【答案与解析】解:∵为大于0的自然数,∴为偶数,15×为30的倍数,即是30的倍数.【总结升华】判断是否为30的倍数,只需要把分解因式,看分解后有没有能够整除30的因式.举一反三:【变式】说明能被7整除.【答案】解:所以能被7整除.5、已知xy=﹣3,满足x+y=2,求代数式xy+xy的值.【思路点拨】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出结果即可.【答案与解析】解:∵xy=—3,x+y=2,∴xy+xy=xy(x+y)=﹣3×2=﹣6.【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.平方差公式(基础)知识讲解【学习目标】1.能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式;3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:要点诠释:(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.(2)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.(3)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式;(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到).要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式;(2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 1、下列各式能用平方差公式分解因式的有()①x2+y2;②x2﹣y2;③﹣x2﹣y2;④﹣x2+y2;⑤﹣x2+2xy﹣y2.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反,进而可得答案.【答案与解析】解:下列各式能用平方差公式分解因式的有;②x2﹣y2;④﹣x2+y2;,共2个,故选:B.【总结升华】能否运用平方差公式分解因式,应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断.分别从项数、符号、平方项等方面来判断.2、分解因式:(1);(2);(3);(4).【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点,可以分别写成两数(式)平方差的形式,然后运用平方差公式进行因式分解.【答案与解析】解:(1).(2).(3).(4).【总结升华】(1)可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.(2)“1”是平方项,可以写成“”.(3)一定要把两项写成的形式,再套用平方差公式.举一反三:【变式1】分解因式:(1);(2).【答案】解:(1).(2).【变式2】下列各式能用平方差公式计算的是() A.(2a+b)(2b﹣a) B.(﹣x+1)(﹣x﹣1) C.(a+b)(a﹣2b) D.(2x﹣1)(﹣2x+1)【答案】B.类型二、平方差公式的应用3、计算20152﹣2014×2016的结果是() A.﹣2 B.﹣1C.0 D.1【思路点拨】原式变形后,利用平方差公式计算即可得到结果.【答案】D;【解析】解:原式=20152﹣(2015﹣1)×(2015+1)=20152﹣(20152﹣1)=20152﹣20152+1=1,故选D.【总结升华】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.举一反三:【变式1】如图,在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形,把余下的部分剪成一个矩形,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式是()A. B.C.D.【答案】A;【变式2】用简便方法计算:(1);(2).【答案】解:(1)原式(2)原式4、已知大正方形的

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