四川省内江市自强中学高三数学理测试题含解析

四川省内江市自强中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足，则的最大值是（

）A.－4 B.－2 C.2 D.4参考答案：B【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得(当且仅当x=y=-1时取等)所以，所以x+y≤-2.所以x+y的最大值为-2.故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，,则下列结论中不正确的是

A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=(

)A．﹣5 B．0 C．3 D．5参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．【解答】解：∵=+，=+，∴+=+++=﹣，∴（+）?（+）=（﹣）?（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5．故选：A．【点评】熟练掌握向量的三角形法则和数量积运算是解题的关键．4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是A. B. C. D.参考答案：A为奇函数，为非奇非偶函数，在上单调递增，所以选A.5.不等式组表示的区域为D，点P（0，﹣2），Q（0，0），则(

) A．P?D，且Q?D B．P?D，且Q∈D C．P∈D，且Q?D D．P∈D，且Q∈D参考答案：C考点：二元一次不等式（组）与平面区域；元素与集合关系的判断．专题：综合题．分析：将两个点的坐标分别代入不等式组，判断点的坐标是否满足不等式组，若满足则点在区域内；若不满足说明点不在区域内．解答： 解：将P的坐标代入不等式组得所以P的坐标满足不等式组，即P在区域D内同样将Q的坐标代入不等式组得，所以Q的坐标不满足不等式组，即Q不在区域D内故选C点评：本题考查判断点是否在区域内，只要判断点的坐标是否满足区域对应的不等式组即可．也可以画出区域及点，再判断点与区域的位置关系．6.已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是

A．

B．

C．

D．c

参考答案：D由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.7.已知实数x，y满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为

(A)a<-l

(B)0<a<l

(C)a≥l

(D)a>12013年临沂市高三教学质量检测考试参考答案：8.几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（

）A． B．4π C．3 D．以上都不对参考答案：A由题可知该几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为∴外接球半径∴外接球表面积故选A

9.已知单位圆与轴的正半轴相交于点，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，过点作直线垂直于轴于点，则有向线段表示的函数值是

(

)

参考答案：D10.已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是(

)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_______项.参考答案：8解：设其首项为a，项数为n．则得a2+(n－1)a+2n2－2n－100≤0．△=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0．∴n≤8．取n=8，则－4≤a≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a+)2+2n2－2n－100－()2≤0．解2n2－2n－100－()2≤0仍得n≤8．)12.已知函数在上存在反函数，且函数的图象过点，那么的反函数的图象一定经过点_____

．参考答案：答案：

13.从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．参考答案：

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共有5个，∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14.在平面四边形中，，，，，的面积为，则

．参考答案：15.已知函数，分别由下表给出123211

123321

则的值为

；当时，．参考答案：1;1略16.函数（A）在上递增

（B）在上递增，在上递减

（C）在上递减

（D）在上递减，在上递增参考答案：D因为，当时，。当时，，即当时，函数递增。当时，函数递减，选D.【答案】略17.若平面向量与的夹角为180°，且，则的坐标为

．参考答案：（3，﹣6）【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】题目要求向量的坐标，已知条件是知道模和与另一个向量的夹角，因此，设出坐标用夹角公式和模的公式列出关于横纵坐标的方程组，解方程组即可．本题所给的角是特殊角，解法更简单．【解答】解：∵与夹角是180°∴设=λ（﹣1，2），∵||=，||=，∴λ=±3，∵两向量方向相反，∴λ=﹣3∴故答案为：（3，﹣6）【点评】数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，本题应用数量积的变形公式求夹角，实际上模长、夹角、数量积可以做到知二求一．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且．求的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数．若，则；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当为正有理数时，有求导公式．参考答案：（Ⅰ），令，解得．当时，，所以在内是减函数；当

时，，所以在内是增函数．故函数在处取得最小值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即

①若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在①中令，，可得，即，亦即．综上，对，，为正有理数且，总有．

②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数．若，则．

③

用数学归纳法证明如下：（1）当时，，有，③成立．

（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则．

当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=．因，由归纳假设可得，从而．又因，由②得，从而．故当时，③成立．由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．19.（10分）（2015?庆阳模拟）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA?FB，证明：EF∥CD．参考答案：【考点】：圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA?FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】：本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．20.如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA?AC=AD?OC．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA?AC=AD?OC．【解答】（1）证明：连结AC，∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，∴∠C=∠ODB，∵直线PA为圆O的切线，切点为A，∴∠C=∠BAP，∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，∴PA=PD．（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，∴，∴PA?AC=AD?OC．21.（本小题满分13分）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求证：平面.（Ⅱ）求与平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案：见解析考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题，空间的角，垂直（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

,．

,

又因为

所以，平面．

（Ⅱ）设为平面的一个法向