北京穆家峪中学高三数学理模拟试题含解析

北京穆家峪中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U＝R，集合则()∩B的子集个数为A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：B2.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若函数，则函数的单调递减区间是

A． B．

C．

D．

参考答案：C4.已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和（

）

A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C略5.函数的最小值为(

)A．6

B．7

C．

D．9参考答案：B6.若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】证明f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，即可求出其最大值与最小值的和．【解答】解：f（x）=1++sinx=3﹣+sinx，f（﹣x）=3﹣+sin（﹣x）=3﹣﹣sinx∴f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n=4．故选D．7.“”是“直线与圆相切”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.（5分）（2015?陕西一模）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．3B．2C．D．参考答案：【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：三视图复原的几何体的三棱锥，是长方体的一个角出发的三条棱的顶点的连线组成的三棱锥，三度分别为：2，1，2，三棱锥的体积为：．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积，注意三视图复原几何体的形状是解题的关键．9.直线，则是∥的A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略10.已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（）A．（f（1）+1）?e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1C．3?e≥f（1）+1 D．3e2与f（2）+1大小不确定参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由此可得结论．【解答】解：构造函数g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴函数在R上单调递增，∴g（2）＞g（1）＞g（0），∴（f（1）+1）?e＜f（2）+1，3?e＜f（1）+1，3e2＜f（2）+1，∴3e＜f（2）+1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，）的部分图象如图所示，则______．参考答案：112.（2013?汕头一模）函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为_．参考答案：13.已知锐角满足，则的最大值为_______________.参考答案：14.已知在边长为2的等边△ABC中，D是BC中点，，则

.参考答案：-1

15.已知是等比数列，且，，则

，的最大值为

．参考答案：5，

16.数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n＝_________.参考答案：12017.已知复数，则复数z的虚部为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣1﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）. （1分）①当，即时，因为当时，；当时，；

（2分）所以在上单调递减，在上单调递增.

（3分）②当，即时，因为当时，，故在上单调递增.

（4分）综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为.

（5分）（Ⅱ）在上存在一点，使得，即，

（6分）也就是在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.

（7分）由（Ⅰ）可知：①当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由，可得.因为，所以；

（8分）②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由，可得；

（9分）③当，即时，可得最小值为，

（10分）因为，所以，故，此时，不成立.

（11分）综上讨论可得所求的范围是：.

（12分）19.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，询问了30名同学，得到如下的2×2列联表：

使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030（Ⅰ）根据以上2×2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从使用学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.智能手机的20名同学中，按分层抽样的方法选出5名同学，求所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数；（Ⅲ）从问题（Ⅱ）中倍抽取的5名同学，再随机抽取3名同学，试求抽取3名同学中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”的概率.参考公式：，其中参考数据：0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由列联表可得所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响．

（2）根据题意，所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”有1名同学，“学习成绩不优秀”有4名同学．（3）学习成绩不优秀的4名同学分别记为，，，；“学习成绩优秀”有名同学记为．则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有10种；抽取人中恰有名同学为“学习成绩不优秀”所含基本事件为：，，，，，共有种，所求为．20.（本小题共13分）

已知曲线的方程为：.（Ⅰ）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;(III)若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.参考答案：（1），；（2）见解析；（3）见解析考点：数列综合应用（1）当时，

由图可知，

.

（2）要证是关于递增的，只需证明：．

由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．

现在考虑曲线与，

因为

因为

在(1)和(2)中令，

当，存在使得，成立，

此时必有．

因为当时，

所以．

两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）

这就得到了，

从而是关于递增的．

（3）由于可等价转化为，

反证：若曲线上存在一点对应的坐标，全是有理数，

不妨设，，且互质，互质．

则由可得，

．

即．

这时就是的一组解，

这与方程，，没有正整数解矛盾，

所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数．

21.(本小题满分16分)

如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位:).

(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3?并说明理由.参考答案：【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．B11B12(1)，定义域为；(2)不存在点，使隔离出的△面积超过3。

解析：(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为．………1分设边缘线所在抛物线的方程为，把代入，得，解得，所以抛物线的方程为．…………3分因为，……………4分所以过的切线方程为．………5分令，得；令，得，………………7分所以，……8分所以，定义域为．……9分(2)，……12分由，得，所以在上是增函数，在上是减函数，……………14分所以在上有最大值．又因为，所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．……………16分【思路点拨】（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为．由于，可得过的切线EF方程为．可得E，F点的坐标，，即可得出定义域；（2），利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．22.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FCD体积最大值．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，四边形MEFN为平行四边形．由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD内作EH⊥AD于H，则EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱锥E﹣FCD体积最大值．解答： （Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，则NFAD，MEAD，所以NFME，∴四边形MEFN为平