初二上学期数学教案北师大

第一章勾股定理1.1探索勾股定理（一）教学目标1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。难点：勾股定理的发现。教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期数学家）。二、做一做以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。三、想一想1、你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。）4，（想一想）：这里的29英寸（74厘米）的申视机，指的是屏幕的长吗？指的屏幕的宽吗？那它指的是什么呢？四、巩固练习精选练习，掌握应用：勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：练习1(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。练习2(填空题)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。练习3已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：(1)高AD的长；(2)△ABC的面积。1.1探索勾股定理（二）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．教学过程一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，接着提问：大正方形的面积可表示为什么？学生回答有两种可能：（1）（2）把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。对上式进行化简，得到：即这就可以从理论上说明了勾股定理存在。请用别的拼图方法说明勾股定理。二、讲解例题例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得即BC=3千米飞机20秒飞行3千米．那么它l小时飞行的距离为：（千米／时）答：飞机每小时飞行540千米。三、想一想：观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。1.2能得到直角三角形吗教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。难点：运用直角三角形判别条件解题教学过程一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子。师：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。生：同时握住第四个结和第八个结。拉紧绳子，用量角器，测出这三角形其中的最大角。问：发现这个角是多少？（直角。）教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？(3、4、5)，这三边满足了哪些条件？(），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？二、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。5、12、137、24、258、15、171、这三组数都满足吗？2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。满足的三个正整数，称为勾股数。大家可以想这样的勾股数是很多的。今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。三、讲解例题例1一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在△ABD中，所以△ABD为直角三角形∠A=90°在△BDC中,所以△BDC是直角三角形∠CDB=90°因此这个零件符合要求。四、随堂练习：⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．⑴9，12，15； ⑵15，36，39；⑶12，35，36； ⑷12，18，22．⒉已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形,______是最大角.⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．五、读一读勾股数组与费马大定理。直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c六、小结：1、满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．2、满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．教学反思：这是勾股定理的逆应用。勾股定理的理解掌握是关键。1.3蚂蚁怎样走最近教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学过程1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.2、讲授新课：①蚂蚁怎么走最近出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②做一做：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.③随堂练习1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).3.试一试在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.④课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.第二章实数2.1数怎么又不够用了一、教学目标：1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．3．会判断一个数是有理数还是无理数．二、教学重点会判断一个数是有理数还是无理数三、教学难点学生对无理数概念的理解四、学法指导1、这里延续七年级上册“有理数及其运算”中的标题“数怎么不够用了”，暗示数的又一次扩充，引起学生的学习兴趣．2、通过一个简单的动手练习引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数．五、课前准备剪刀，单位正方形纸片，计算器六、教学过程有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2）a可能是整数吗？说说你的理由。（3）a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。（4）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。事实上，在等式中，a即不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。做一做（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，b满足个么条件？（3）b是有理数吗？在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。随堂练习1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？习题1．长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？试一试1．下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？图1—2（1）如图1—2，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？边长a面积S1<a<21<S<41.4<a<1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.9881<S<2.01641.414<a<1.4151.999396<S<2.0022251.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数。做一做（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。（2）如果精确到百分位呢？事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数。同样，对于体积为2的正方形，借助计算器，可以得到它的棱长c=1.25992105%…，它也是一个无限不循环小数。想一想把下列各数表示成小数，你发现了什么？有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数叫做无理数（irrationalnumber）.除了像上面的数a,b,c是无理数外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。想一想你能找到其他的无理数吗？例1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。解：有理数有：无理数有：0.1010001000001…。随堂练习1．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？读一读无理数的发现毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约前580—约前500）为代表人物的一个学派。毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕棕哥拉斯学派的一个成员希伯索斯（Hippasus）发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数p，q的比，于是有因此是偶数，p是偶数。于是可设p=2m，那么。这就是说，是偶数，q也是偶数。这与“p,q是互质的两个整数”的假设矛盾。从无理数的发现可以看出无理数并不“无理”，它和有理数一亲，都是现实世界中客观存在的量的反映。习题1.21.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（相邻两个1之间有1个0），0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）。2．（1）设面积为10的正方形的边长为x,x是有理数吗？说说你的理由。（2）估计x的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。（3）如果结果精确到百分位呢？2.2平方根平方根（1）根据图1—3填空：图1—3（2）x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。例1求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）（4）14.解：（1）因为，所以900的算术平方根是30，即（2）因为，所以1的算术平方根是1，即（3）因为所以的算术平方根是，即（4）14的算术平方根是例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为有一铁球从19.6米的建筑物上自由下落，到达地在需要多长时间？解：将h=19.6代入公式得=4，所以（秒）。即铁球到达地面需要2秒。随堂练习1.求下列各数的算术平方根：2.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少？习题1.31.求下列各数的算术平方根：121，，1.96,.2.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？3.一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？试一试一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？想一想（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。还有其它的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（squareroot,也叫做二次方根）。（3）一个正数有几个平方根？（4）0有几个平方根？（5）负数呢？一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。正数a有两个平方根，一个a的算术平方根“”，另一个是“”，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作“”，读作“正、负根号a“。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extractionofsquareroot）,其中a叫做被开方数。例3求下列各数的平方根：（1）64；（2）（3）0.0004;（4）（（5）11。解：（1）因为所以64的平方根是，即（2）因为所以的平方根是，即；（3）因为所以的平方根是，即；（4）因为（5）11是平方根是。想一想随堂练习1.求下列各数的平方根：,0,8,,441,196,.2.填空：（1）25的平方根是­­­­；（2）；（3）；习题1.41.求下列各数的平方根：169，，18。2.（1）一个正数的平方等于361，求这个正数；（2）一个负数的平方等于121，求这个负数；（3）一个数的平方等于196，求这个数。3、求满足下列条件的未知数x：（1）x2=49（2）x2=4、求下列各式的值：（1）（2）（3）试一试对于任意数a，一定等于a吗？2.3立方根一、教学目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。2.能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。二、教学重点：能用立方运算求某数的立方根三、教学难点能用立方运算求某数的立方根四、学法指导从实际问题引入立方根的概念，说明学习的立方根的意义，立方根的计算有着广泛的应用，空间形体都是三维的，有关空间形体的计算经常涉及开方。五、教学过程复习提问平方与开平方，平方根，算术平方根讲解新课某化工厂使用一种球形储气罐气体，现在要造一个新的球形气罐，如果它的体积*是原来的8倍，那么它的半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？球的体积公式为V=一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（cuberoot,也叫做三次方根）。如2是8的立方根，-，0是0的立方根。做一做（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？通过具体数的计算，让学生体会一个数的立方根的惟一性。议一议（1）.正数是几个立方根？（2）.0有几个立方根（3）.负数呢？这样提问题，是为了空出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系。每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“砰欠根号a”。例如x3=7时，x是7的立方根，即=2正数的立方根是正；0的立方根是0；负数的立方根是负数。不为0的数的立方根与平方根的情况很不同，但0的平方根和立方根都是0本身，在这一点上它们是一致的。求一个数a的立方根的运算叫做开立方（extractionofcubicroot）,其中a叫做被开方数。例1求下列各数的立方根：（1）-27；（2）（3）0.126;（4）-5.解：（1）因为（2）因为（3）因为0.63=0.126,所以0.126的立方根是0.6,即（4）-5的立方根是.着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法。想一想表示a的立方根，那么（）3等于什么？呢？应抓住立方根的定义去分析：如果x3=a,那么x就是a的立方根，即x=,所以x3=()3=a,同样，根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a,即例2求下列各式的值：（1）（2）（3）；（4）.解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=9随堂练习求下列各式的值：一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？习题1.51.求下列各数的立方根：0．01，.2.求下列各式的值：.3.填写下表：a18276456789104.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？试一试1．一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？课后小结1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。2、能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。2.4公园有多宽一、教学目标：1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的意识，发展学生的数感。二、教学重点能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。三、教学难点掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的意识，发展学生的数感。四、教具使用计算器五、教法设计能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。六、教学过程（一）复习平方根，算术平方根，立方根（二）讲解新课某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2公园的宽大约是多少？它有1000米吗？如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是8000米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）想一想下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？你能估算的大小吗？（误差小于1）例1生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，根据勾股定理，有x2+(×6)2=62,即x2=32,x=.因为5.62=31.36<32.所以>5.6.因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米高的墙头。例2通过估算，比较 解：因为5>4,即（于是随堂练习1.估算下列数的大小：(1)误差小于0.1);(2)(误差小于1).2.通过运算，比较与2.5的大小。习题1.61.一个人每天平均饮用大约0.0015米3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40米3，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（误差小于1米）2.下列计算结果正确吗？说说你的理由。（1）；（2）3.估算下列数的大小：（1）；（2）.4.通过估算，比较下面各组数的大小：（1） （2）.读一读的计算小史几千年来，人们为了寻求圆周率的越来越精密的挖值而付出了巨大的心血。起初人们通过经验和实测得到了粗略的，第一个以科学的方法计算值的是古希腊数学家阿基米德（前287-前212）.他用正多边形来逼近圆周，得到中国古代数学家在圆周率计算方面有着卓越的成就。公元3世纪，刘微创造了一种比阿基米德更巧妙的方法，他算出圆周率，现在叫做“微率”。南北朝时代的祖冲之（429-500）得到3.1415926<<3.1415927,并得到了圆周率的另外两个近似分数：称为“约率”，后者称为“密率”.祖冲之的记录保持了将近一千年，1430年，阿拉伯数学家阿尔卡西才算得的准确到小数点后14位的近似值。到16世纪，德国人奥托和荷兰人安托尼兹又重新计算出密率.文艺复兴以后，欧洲数学家用无穷级数法代替正多边形逼近的几何方法，使圆周率的计算更为简捷。用手工计算值的最高记录是1946年英国人弗戈森创造的，他将的值准确到小数点后620位。进入电脑时代后，圆周率的计算更是突飞猛进。1949年，科学家们在第一台电子计算机ENIAC上将准确到2035位小数。1989年，美国哥伦比亚大学德诺夫斯基兄弟在计算机上算出的4亿8千万位可靠数学，将这些数字印出来长达600英里！而到了1999年，日本学者金田安政及其合作者在一台日立SR-800计算机上算得的值竟准确到了2061亿多位。现在，计算的近似值已成为测试计算机速度和精确度的一个重要指标。（三）课堂小结1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的意识，发展学生的数感。2.6实数一、教学目标：1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．3．能利用化简对实数进行简单的四则运算．二、教学重点：1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类2．能利用化简对实数进行简单的四则运算．三、教学难点实数的四则运算．四、教法与学法指导通过对实数进行分类的练习，进一步领会分类的思想，提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏．五、教学过程把下列各数分别填入相应的集合内：有理数和无理数统称为实数（realnumber）,即实数可以分为有理数和无理数。议一议无理数和有理数一样，也有正负之分。如是正的，是负的。1.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗？正数集合负数集合有理数集合无理数集合2.实数还可以怎样分类？实数也可以分为正实数、0、负实数。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。例如：和-互为相反数，互为倒数，||=目的是在实数概念的基础上对实数进行不同的分类．设计这个问题的目的在于：0既不是正数也不是负数，但实数中包括0，学生容易遗漏．想一想1.a是一个实数，它的相反数为_______,绝对值为_______;2.如果a0,那么它的倒数为_______.3.如图：OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？]4.如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。]在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。随堂练习1．判断下列说法是否正确：（1）.无限小数都是无理数；（2）.无理数都是无限小数；（3）.带根号的数都是无理数。2求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1）（2）（3）3．在数轴上作出对应的点。习题2.81、把下列各数填入相应的集合内：-7.5,,4,,,0.31,,(1)有理数集合：{…}；（2）无理数集合：{…}；（3）正实数的集合：{…}；（4）负实数集合：{…}。2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值：（1）3.8；（2）；（3）；（4）；（5）3、在数轴上作出对应的点。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。例如，做一做想一想你发现了什么规律？例1化简：随堂练习回顾与思考1．说说有理数和无理数有什么区别。2．开方运算和乘方运算有什么联系？举例说明。3．你在生活中使用过估算的方法吗？举例说明。4．举例说明实数的运算法则和运算律。课堂小结1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．3．能利用化简对实数进行简单的四则运算．复习题A组1．把下列各数写入相应的集合中：0.5757757775……(相邻两个5之间7的个数逐次加1)。2.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.求下列各数的平方根和算术平方根：4．求下列各数的立方根：（1）-512；（2）0。008；（3）（4）106.5.求下列各式的值：6.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）.7.估算下列各数的大小：

8.比较下列各组数的大小：.9.化简：10．一个圆的半径为1厘米，和它等面积的正方形的边长是多少厘米？（结果精确到0.01厘米）11．一个正方体形状的木箱窖是4米3，求此木箱的边长（结果精确到0.1oyt）.12.一个篮球的体积为9850厘米3，求该复球的半径r(球的体积V=13.一个长方形的长与宽的比是5：3，它的对角线长为,求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）。14．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T=2其中T表示周期（单位：秒），表示摆长（单位：米），g=9.8米/秒2，假如一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分内，该座钟大约发出了多少次滴答声？15．化简：第三章图形的平移与旋转3.1生活中的平移一、教学目标：1、知识目标：认识平移、理解平移的基本内涵；理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质。2、能力目标：①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展，培养学生的分析问题与解决问题的能力。②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程；经历探索图形平移性质的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。3、情感目标：①在探究式的教学活动中，培养学生主动探索，勇于发现的科学精神；通过多种途径，培养学生细致、严谨、求实的学习习惯；渗透由特殊到一般，化未知为已知的辩证唯物主义思想。②引导学生观察生活中的图形运动变化现象，自己加以数学上的分析，进而形成正确的数学观，进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展。③通过自己动手设计图案，把所学知识加以实践应用，体会数学的实用价值。二、重点与难点：重点：探究平移变换的基本要素，画简单图形的平移图；难点：决定平移的两个主要因素。三、教学方法：采用自主探究式的教学方法：①采用引导发现法：逐步呈现教学信息，突出教师的主导作用和学生的主体作用；突出独立性、又体现合作性。②创设问题情境：营造和谐的教学氛围，引导学生的学习兴趣，激发求知欲望。③讲练结合、步步设疑、逐渐深入、引导猜想、归纳总结、实验验证的探究式思维训练。四、教学过程设计：学生收集生活中的平移事例；教师准备有关几何教具。教学设计教师活动学生活动设计意图引入并确定目标创设情境，激发求知展示与平移有关的图片，借助实物演示平移，用几何画板演示两个图形的平移。用简洁的语言叙述。欲望。探索平移定义。探究新知讨论“沿某一方向”的意义。通过思考，强化对定义的理解。分析平移定义，探讨“沿某一方向”的意义，其实质是沿直线运动。展示图片，让学生回答图中的运动各在那种情况下是平移，图中还有哪些图形可以通过平移得到。（1）能否通过平移得到。（2）能平移得到的其基本图形是什么？有哪些方法？探索用多种途径解决问题，并巩固平移的概念。让学生列举生活中的平移实例，对理解有偏差的加以纠正。列举事例展示静态图片，让学生观察图中具有特殊位置关系的线段，归纳猜想所能得到的结论；利用几何画板实验验证猜想。观察猜想探索平移的性质，培养学生观察、归纳、猜想的能力。XY例1如图所示，△ABE沿射线XY方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中平行且相等的线段和全等的三角形。XY引导学生从“对应点所连线段”、“对应线段”两个方面找平行且相等的线段。变式练习：如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC＝33O，求∠DEF的度数。独立思考解答通过变式训练，强化对平移性质的理解与运用。例2如图所示，将∠ABC沿射线XY平移至∠A／B／C／，且BC与A／B／交点为D，图中有哪些相等的角？XYXYABCA／B／C／D结合平移的性质及平行线的性质，使学生前后所学知识得到融会贯通。1、运用所过的轴对称及图形的平移知识设计一幅图案，或画出生活中所见到的图案。ABABCDEF小结本节课所学的内容。培养学生及时总结，知识内化。图形、定义及基本性质。学生画图3.2简单的平移作图（1）一、教学目标：知识目标：经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，学会平移作图，掌握作图技巧。能力目标：通过对图形的观察、分析、对比平移前后的图形特征，动手操作，发展学生的动手能力。二、重点与难点：重点：平移图形的规律，作图的顺序；难点：平行线的作法及对应点的连结。三、教学方法：采用自主探究式的教学方法，本着贯彻启发性、直观性、理论联系实际的教学原则；讲练结合。四、教学设计：教师活动学生活动设计意图复习引入：提问：1、什么叫平移？2、平移有哪些性质？3、决定平移的两大要素是什么？回忆，并给出准确答案。对本节课内容的学习是一个很好的铺垫。探究新知：提出问题：（课件演示）经过平移，线段AB的端点移到了点D，你能作出线段AB平移后的图形吗？ADBE图表SEQ图表\*ARABIC1引导学生归纳总结作图的方法。对多边形特征的认识。培养学生独立思考的能力。例1：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，

作法：

1、分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等

2、顺次连结D、E、F

则△DEF即为所求。首先听老师讲解，然后自己独立解决问题。学生思考后独立完成，畅所欲言，然后选择一个比较好的方法。教师要鼓励学生，目的是培养学生的思考能力。将字母A按箭头所指的方向平移3厘米，作出平移后的图形。ABCDEABCDE给予解决。师生共同合作，先让学生做，再讲解有利于学生纠正错误。独立完成。巩固并提高本节课所学的内容。发展延伸：例：如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。

（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；

（2）若平移距离为x（），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。

解：（1）由题意CC’=3，BB’=3，所以BC’=1，

又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形，所以其面积为；

（2）

说明：这里应用了平移的定义及对应线段平行的性质。课堂小结：在教师的引导下，学生总结本节课的主要内容和作图是应该注意事项。学生畅所欲言，完善本节课的学习。老师鼓励学生用规范的数学语言。3.2简单的平移作图（2）一、教学目标：1、知识目标：能熟练掌握简单图形的移动规律，能按要求作出简单平面图形平移后的图形，能够探索图形之间的平移关系；2、能力目标：①在实践操作过程中，逐步探索图形之间的平移关系；②对组合图形要找到一个或者几个“基本图案”，并能通过对“基本图案”的平移，复制所求的图形；3、情感目标：经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。二、重点与难点：重点：图形连续变化的特点；难点：图形的划分。三、教学方法：讲练结合。四、教具准备：磁性板，若干小正六边形，“工”字的砖，组合图形。五、教学设计：教师设计意图教材上小狗的图案。提问：（1）这个图案有什么特点？（2）它可以通过什么“基本图案”，经过怎样的平移而形成？（3）在平移过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？让学生归纳总结，老师给予适当的指导，并对每种答案都要肯定。看磁性黑板，提问：左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？谁到黑板做做看？提问：左图是一种“工”字形砖，右图是怎样通过左图得到的？充分调动学生的积极性，发掘他们的想象力。提问：这个图可以看做是什么“基本图案”通过平移得到的？课堂小结：在教师的引导下学生总结本节课的主要内容，并启发学生在我们周围寻找平移的例子。例子一定要和生活接触紧密、典型。答案不惟一，对于每种答案，教师都要给予充分的肯定。3.3生活中的旋转教学目标一、教学知识点：1.旋转的定义.2.旋转的基本性质.二、能力训练要求：1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.三、情感与价值观要求1.经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.教学重点：旋转的基本性质.教学难点：探索旋转的基本性质.教学方法：遵循学生是学习的主人的原则，在为学生创造大量实例的基础上，引导学生自主思考、归纳、学习。教学过程：一.巧设情景问题，引入课题日常生活中，我们经常见到以下情景(钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).（1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？1.在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.2.每个物体的转动都是向同一个方向转动.3.钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有所改变.4.汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置所变化.同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来探讨生活中的旋转.二.讲授新课在数学中，如何定义旋转呢？在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征.想一想：(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.旋转角还可以是∠BOE.(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的位置，点B旋转到点E的位置.(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的位置，指针的长短、形状没有变化，所以OA与OD是相等的.同样，线段OB与OE是相等的.(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，在旋转的过程中，图形上的每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD与∠BOE是相等的.(5)也可以这样理解：因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，所以∠AOB与∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD与∠BOE是相等的.看上图，四边形DOEF是由四边形AOBC绕O点旋转得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移动到点F的位置，则点A与点D、点B与点E、点C与点F就是对应点.从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？答：因为O是旋转中心，点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，且OA=OD，OB=OE，所以可以知道：对应点与旋转中心所连的线段的长度是相等的.因为点A与点D、点B与点E是对应点，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：对应点与旋转中心的连线所成的角是互相相等的.由此我们得到了旋转的基本性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.对应点到旋转中心的距离相等.［师生共析］经钟表实物或教具可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出.三.活动与探究1.分析图中的旋转现象.过程：让学生画图、找规律，也可让他们通过剪切，找到旋转规律.结果：旋转现象为：整个图形可以看做是图形的八分之一(一组大小不等的三个“角”)绕中心位置，按照同一方向连续旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°前后的图形共同组成的.整个图形也可以看做是图形的四分之一(两组相邻的“角”)绕中心位置连续旋转90°、180°、270°前后的图形共同组成的.整个图形还可以看做是图形的二分之一(四组相邻的“角”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.2.右图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的？过程：同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察图形，分析图形，找出关系.结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、270°.前后的图形共同组成的.整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕中心位置旋转180°前后的图形共同组成的.3.4简单的旋转作图教学目标：一、教学知识点1.简单平面图形旋转后的图形的作法.2.确定一个三角形旋转后的位置的条件.二、能力训练要求1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.三、情感与价值观要求1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.教学重点：简单平面图形旋转后的图形的作法.教学难点：简单平面图形旋转后的图形的作法.教具：小旗子、三角形、直尺、圆规。教学过程：一.巧设情景问题，引入课题上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？旋转有什么性质呢？看一面小旗子，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？在原图上找了四个点，即O点、A点、B点、C点，如图这四个点可以是能表示这面小旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成的旋转角彼此相等，所以根据已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后连接，就得到了所求作的图形.在作图过程中，基本掌握了作图的一个要点：找图形的关键点。这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？这节课我们就来研究：简单的旋转作图.二.讲授新课我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法例1］如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角.△DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来.解：(1)连接OA、OD、OB、OC.(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.(4)连接EF、ED、FD.△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？答：1.可以先作出点B的对应点E，连结DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连结DF、EF，则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.2.也可以先作出点C的对应点F，然后连结DF.因为△ABC与△DEF全等，所以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点B的对应点E，即△DEF.由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：(1)三角形原来的位置.(2)旋转中心.(3)旋转角.这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作出它旋转后的图形.下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法.三.课堂练习解：如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.四.课时小结本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个条件.在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.3.5它们是怎样变过来的教学目标：1、知识目标：探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。2、能力目标：①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能。②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并在此基础上达到巩固旋转的有关性质。3、情感体验点：培养学生的观察能力和审美能力，激发学生学习数学的兴趣。重点与难点：重点：图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；难点：综合利用各种变换关系观察图形的形成。疑点：基本图案不同，形成方式不同。教学过程设计：1、情境导入如图3—5—1图3—5—12、充分利用本课时引入开放性的问题：“”图3—5—1由四部分组成，每部分都包括两个小“十”问题本身为学生创设了一个探究图形之间变化关系的情景，图形虽十简单，但变换方式综合性强，可以让学生自由发挥，各抒已见，后由教师进行适当归纳小结：整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。3、通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。4、利用“想一想”你能将图3—5—2的左图，通过平移或旋转得到右图吗？图3—5—2学生议论或动手操作会发现这是不可能的，教材意图十分明确，要告诉学生并不是所有图形都可以通过一次平移或旋转而得到的，从而要求我们今后分析图形之间的关系时，要充分利用它们各自的性质、特征正确判断和识别。那么上述图形能通过轴对称变换从左图变成右图吗？进一步让学生思考，从而得到结论是可能的。5、例1怎样将图3—5—3中的甲图变成乙图案？图3—5—3通过相对简单活泼的问题，让学生能运用图形变换的几种不同方式解答问题（先旋转再平移后等到或先平移后旋转也可以）怎样将图3—5—4中右边的图案变成左边的图案？5、学习小结（1）内容总结两个图案前后变化彩用了哪些方法？（平移、旋转，轴对称）（2）方法归纳①了解并知道图案变化的一般方法。②图案变化的方法很多，在生活中要养成多途径观察，思考问题的习惯。6、目标检测图3—5—5是由三个正三角形拼成的，它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变换而得到？图3—5—5（二）延伸拓展1、链接生活链接一：奥运会的五环旗图案是大家熟悉的图案，请你根据所学知识分析它的形成。（用课本知识解释生活中的图形变换）链接二：夏季是荷花盛开的季节，同学们都赞美过它出淤泥而不染的品质，很多同学曾画过荷花，请你用所学知识再画一朵荷花，看与以前有什么不同的感受（让学生进一步体会数学与生活的密切联系）实践探索：实践活动列举实例归纳图形之间的变换关系（平移、旋转，轴对称及其组合）3.6简单的图案设计教学目标：1、知识目标：了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转……，理解简单图案设计的意图。认识和欣赏平移，旋转在现实生活中的应用，能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合，设计出简单的图案。2、能力目标：经历收集、欣赏、分析、操作和设计的过程，培养学生收集和整理信息的能力，分析和解决问题的能力以及创新能力。3、情感体验点：经历对典型图案设计意图的分析，进一步发展学生的空间观念，增强审美意识，培养学生积极进取的生活态度。重点与难点：重点：灵活运用轴对称、平移、旋转……等方法及它们的组合进行的图案设计。难点：分析典型图案的设计意图。疑点：在设计的图案中清晰地表现自己的设计意图教具学具准备：提前一周布置学生通过各种渠道收集到的图案、图标的剪贴、临摹以及。多种常见的图案及其形成过程的动画演示。教学过程设计：（一）1、情境导入：在优美的音乐中，逐个展示生活中常见的典型图案，并让学生试着说一说每种图案标志的对象。明确在欣赏了图案后，简单地复习平移、旋转的概念，为下面图案的设计作好理论准备。对教材给出的六个图案通过观察、分析，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向。其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），而图（2）可以通过平移形成。2、评注：图案是密铺图案的代表，旨在通过对典型图案的分析欣赏，使学生逐步能够进行图案设计，同时了解轴对称、平移、旋转变换是图案制作的基本手段。例题解答的关键是确定“基本图案”，然后再运用平移、旋转关系加以说明，注意旋转中心可以为图形上某一特征的点。评注：可以取其中的任何一个为基本图案，然后通过变换得到。而且变化方式也可以是：左下角的图案通过轴对称变换得到左上图和右下图。（二）课内练习展示该组搜集得到的图案。利用下面提供的基本图形，用平移、旋转、轴对称、中心对称等方法进行图案设计，并简要说明自己的设计意图。（三）议一议生活中还有那些图案用到了平移或旋转？（四）课时小结本课时的重点是了解平移、旋转和轴对称变换是图案设计的基本方法，并能运用这些变换设计出一些简单的图案。通过今天的学习，你对图案的设计又增加了哪些新的认识？（可以利用平移、旋转、轴对称等多种方法来设计，而且设计的图案要能表达自己的创作意图，再就是图案的设计一定要新颖，独特，这样才能使人过目不忘，达到标志的效果。）（五）延伸拓展进一步搜集身边的各种标志性图案，尝试着重新设计它，并结合实际背景分析它的设计意图。第四章四边形性质探索4.1平行四边形的性质（1）教学目标教学知识点1、掌握平行四边形有关概念和性质。2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质。能力训练要求1、动手操作实践的过程中，探索发现平行四边形的性质。2、知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想。3、通过探索平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力。情感与价值观要求1、探索平行四边形性质的过程中，感受几何图形中呈现的数学美。2、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识习惯。教学重点探索平行四边形的性质。教学难点平行四边形性质的理解。教学方法：探索归纳法教具准备：三角形纸片两张教学过程：一、观赏生活中的图片，引入课题下面的图片中，有你熟悉的哪些图形？（设计这个活动，一方面可让学生认识到平行四边形在生活、生产中的应用，另一方面让学生在复杂的图形中认识平行四边形。）二、开启智慧1、操作活动：让学生进行如下操作后，思考以下问题：将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，设法找到某一边的中点，记作点O，将上层的三角形纸片绕点O旋转180度，下层的三角形纸片保持不动，得到一个图形。（用几何画板平台展示整个过程）2、观察：（1）两张纸片拼成了怎样的图形？它是四边形吗？（2）这个图形中有哪些相等的角？有没有互相平行的线段？你是怎样得到的？（3）用简洁的语言刻画这个图形的特征。3、平行四边形的定义4、介绍平行四边形的书写方式及对角线的定义。5、请学生举出自己身边存在的平行四边形的例子。6、学生动手画一个平行四边形，并表示出来。三、知识源于悟：1、做一做（让学生实际动手操作）用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180度，你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形ABCD重合吗？2、思考：（1）通过以上活动，你能得到哪些结论？（2）平行四边形ABCD对边、对角分别有什么关系？能用别的方法验证你的结论吗？3、结论：平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等四、能力的源泉：1、如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其它三个内角的度数吗？说说你的理由。2、变换角的度数，试一试。3、你得到了什么结论？五、试一试：用平行四边形设计美丽的图案。六、作业设计：提高题：（解决问题）农民李某想发展副业致富，经考察地形后，在耕地旁边的荒地上开垦一平行四边形形状的鱼塘。能测得∠BAD＝1200，量得AB＝50米，AD＝80米。请你帮助李某一下鱼塘的对边AD、BC之间的距离及这个鱼塘的面积。4.1平行四边形的性质（2）教学目标教学知识点1、掌握平行四边形的性质及平行线间的距离的概念。2、理解平行线间的距离处处相等的结论，并了解其简单应用。能力训练要求1、通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法，经历探索平行四边形性质的过程。2、通过探索平行四边形的性质，进一步发展学生的逻辑推理能力及条理的表达能力。情感与价值观要求1、探索平行四边形性质的过程中，感受几何图形中呈现的数学美。2、让学生学会在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，享受运用知识解决问题的成功体验，增强学好数学的自信心。教学重点：理解并正确运用平行四边形的性质。教学难点：平行四边形性质的探索。教学方法：探索归纳法。教学过程：一、复习引入课题问题：上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？怎样发现这些性质的？（通过回忆并再现旧知识的产生过程，让学生积累学习知识的方法，为新课做准备。）二、讲授新课1、做一做：鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质：如图4-3，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，（1）图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？（2）能设法验证你的猜想吗？2、观察：通过以上活动，你能得到哪些结论？3、结论：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。三、例题讲解：引导学生寻求解题思路。（让学生发表自己的见解，既培养了学生的语言表达能力及推理能力，又提高了学生的逻辑思维能力）提出问题：“想一想”引出平行线间距离的概念，并引导学生对比点到直线的距离，两点间距离等概念。（让学生进一步感知生活中处处有数学）四、回顾与反思：通过本节课的学习，你有什么收获？选做题：试一试在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，连接OB，OD，求DOB的度数。4.2平行四边形的判别(1)教学目标：⒈认知目标：⑴平行四边形的判别方法1。⑵平行四边形的判别方法2。⒉能力目标：⑴经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。⑵探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。⑶在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。⒊情感目标：⑴让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。⑵通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。⑶培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验。二、教学重点、难点：重点:平行四边形的判别条件。难点:平行四边形的判别条件的应用。三、教学方法：探索法：让学生在动手拼摆各种平行四边形的活动过程中，积累数学活动经验。练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平四、课前准备：材料：准备一长两短的三根小木棒、直尺、量角器、三角尺等。五、教学过程设计：教师活动学生活动活动设计意图⒈【情境】：⑴上节课我们探讨了平行四边形的定义和性质，现在来复习一下。⑵结合学生回答，课件显示平行四边形的性质。复习平行四边形的定义和性质来创设问题情境，一方面巩固学生的旧知，另一方面使学生知道平行四边形的定义既是性质，又是判定。2.【动手操作】：⑴现在拿出一长一短的两根小木棒，来拼一个平行四边形。⑵用量角器等工具检测所拼四边形是否是平行四边形。⑶提问：若这两根小木棒不作为对角线，能确定平行四边形吗？若不行，能拼出一个特殊的四边形吗？那怎样改变一个条件，就能确定平行四边形？=4\*GB2⑷用两根一样长的小木棒，来拼一个平行四边形。⑴先进行充分想象，然后拼摆平行四边形.⑵用量角器度量四边形各内角的度数，讨论分析此四边形是什么四边形。⑶回答提问。能拼出一个特殊的四边形是梯形。=4\*GB2⑷用刀截去长的木棒，使两根木棒一样长，再动手拼。让学生在在拼摆各种图形的过程中，积累数学活动经验，增强学生的创新意识，培养学生团结协作的精神,并满足他们的好胜心。⒊【结合课件探究】：能用文字叙述刚才得出的结论吗？通过观察图形，得出：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。）让学生主动从事想象、猜测、观察、实验、验证等数学活动，使学生通过活动体会感受拼法和学习的乐趣，经历从多角度思考问题的过程。⒋【实际生活】：如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD是平行四边形.通过练习进一步熟悉掌握平行四边形的判别方法，达到运用刚学习的知识解决实际问题的目的。体验数学来自于生活，又应用于生活。⒌【例题精析】:［例1］如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形例1图例2图［例2］如图所示，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE=OF.(1)OA与OC、OB与OD相等吗？(2)四边形BFDE是平行四边形吗？⑶若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决(1)(2)两问吗？(1)在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。(2)经历平行四边形判别问题的探索过程，逐步掌握说理的书面表达方法。(1)让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。⑵通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。6.【随堂练习】:⑴下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个锐角三角形D.两个全等三角形⑵能确定四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，两条对角线相等⑶已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：（只需填一个你认为正确的条件即可）。练习：学生独立思考一会儿。通过随堂练习，使学生的知识水平得到恰当的巩固和提高。......如图，你能找出几个平行四边形？拓宽学生的思路，发展他们想象、联想的能力。8.【小结】:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。）学生回顾探究的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生后继学习的激情。在这个过程中，要关注学生参与活动的程度和在活动中表现出来的思维水平，还要关注学生能否用不同的语言（自然语言、符号语言）表达自己的想法。4.2平行四边形的判别（2）教学目标：1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。2、探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。能根据判别方法进行有关的应用。3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。4、体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。教学重点：平行四边形的判别方法。教学难点：根据判别方法进行有关的应用教学过程：一、快速反应1、如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是__________,根据是_____________________2、如图，四边形ABCD中，AB//CD,且AB=CD,则四边形ABCD是___________,理由是__________________________3、小明拼成的四边形如图所示，图中的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：两组对边分别相等的四