2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线-定点定值探究性问题考点3定值问题

定值问题(2023·山西忻州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，且点A(2,1)在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)若点M，N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值．[解析](1)由题可得离心率eq\f(c,a)＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(2)a，又因为c2＝a2＋b2，所以a2＝b2，所以双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1，又因为双曲线过点A(2,1)，所以eq\f(4,a2)－eq\f(1,a2)＝1，解得a2＝3，所以双曲线方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－\f(y2,3)＝1，))得(1－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，则1－k2≠0得k2≠1，Δ＝4k2m2＋4(1－k2)(m2＋3)>0，得m2>3k2－3，x1＋x2＝eq\f(2km,1－k2)，x1x2＝eq\f(－m2－3,1－k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2k2m,1－k2)＋2m＝eq\f(2m,1－k2)，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－3k2,1－k2)，因为AM⊥AN，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，所以(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，所以eq\f(－m2－3,1－k2)＋eq\f(－4km,1－k2)＋4＋eq\f(m2－3k2,1－k2)＋eq\f(－2m,1－k2)＋1＝0，所以1－2km－4k2－m＝0即(1－2k－m)(2k＋1)＝0，得1－2k－m＝0或2k＋1＝0，若1－2k－m＝0，则直线MN的方程为y＝kx＋1－2k，即y－1＝k(x－2)过点A(2,1)，不符合题意，若2k＋1＝0，则k＝－eq\f(1,2)，满足AM⊥AN，综上直线MN的斜率k为定值－eq\f(1,2).名师点拨：圆锥曲线中定值问题的特点及解法1．特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．2．解法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引进变量法：其解题流程为【变式训练】(2024·河北衡水中学综合素养测评)已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行l2的直线交l1于点A，过动点E作平行l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线E0，若过点M(1,0)的直线m与曲线E0交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若eq\o(NM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(MQ,\s\up6(→))，求证：λ＋μ为定值．[解析](1)设E(x0，y0)，过E(x0，y0)且平行l2的直线方程为y－y0＝－2(x－x0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y0＝－2x－x0，,y＝2x，))得交点A的横坐标为eq\f(2x0＋y0,4)，所以|OA|＝eq\r(1＋22)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x0＋y0,4)))＝eq\f(\r(5),4)|2x0＋y0|，E点到直线l1的距离为eq\f(|2x0－y0|,\r(5))，所以四边形OAEB的面积为eq\f(|2x0－y0|,\r(5))×eq\f(\r(5),4)|2x0＋y0|＝4，即eq\f(x\o\al(2,0),4)－eq\f(y\o\al(2,0),16)＝1或eq\f(y\o\al(2,0),16)－eq\f(x\o\al(2,0),4)＝1，故动点E的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,16)－eq\f(x2,4)＝1.(2)证明：由题知E0的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，设N(0，yN)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线m的斜率为0时，N(0,0)，若P(－2,0)，Q(2,0)，由eq\o(NM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(MQ,\s\up6(→))，知λ＝－eq\f(1,3)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)；若Q(－2,0)，P(2,0)，由eq\o(NM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(MQ,\s\up6(→))，知λ＝1，μ＝－eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)；当直线m的斜率不为0时，设直线m的方程为x＝ty＋1(显然t≠0)，则Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,t)))，即yN＝－eq\f(1,t)，因为eq\o(NM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(MQ,\s\up6(→))，所以(1，－yN)＝λ(x1－1，y1)，(1，－yN)＝μ(x2－1，y2)，解得λ＝－eq\f(yN,y1)，u＝－eq\f(yN,y2)，λ＋μ＝－yNeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y1)＋\f(1,y2)))＝－yN·eq\f(y1＋y2,y1y2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,4x2－y2＝16，))消x并整理得(4t2－1)y2＋8ty－12＝0，因为直线m与曲线E0有两个交点，则在4t2－