2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时考点2椭圆的标准方程

椭圆的标准方程1.短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)的椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.[解析]由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝a2－c2＝9.∴所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.2．经过点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)两点的椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.[解析]设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5).故椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.3．与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq\r(3))的椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.[解析]若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq\r(3))代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2.故所求方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ>0)代入点(2，－eq\r(3))，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.综上可知椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.4．(多选题)(2024·重庆调研)已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(BD)A．|PF1|＋|PF2|＝4B．若△F1PF2的面积为2eq\r(7)，则点P的横坐标为±eq\f(4,3)eq\r(5)C．存在点P满足∠F1PF2＝90°D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－eq\f(9,16)[解析]依题意a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；|F1F2|＝2eq\r(7)，eq\f(1,2)×2eq\r(7)×|y0|＝2eq\r(7)，|y0|＝2，xeq\o\al(2,0)＝eq\f(144－16y\o\al(2,0),9)＝eq\f(144－64,9)＝eq\f(80,9)，x0＝±eq\f(4\r(5),3)，B正确；cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)≥eq\f(\f(|PF1|＋|PF2|2,2)－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f(2a2－4c2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f(32－28,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f(2,|PF1|·|PF2|)>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在P满足∠F1PF2＝90°，C错误；设P(x0，y0)，eq\f(x\o\al(2,0),16)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1,9xeq\o\al(2,0)＋16yeq\o\al(2,0)＝144，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(9,16)(16－xeq\o\al(2,0))，A1(－4,0)，A2(4,0)，kPA1·kPA2＝eq\f(y0－0,x0＋4)·eq\f(y0－0,x0－4)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－16)＝eq\f(\f(9,16)16－x\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－16)＝－eq\f(9,16)，D正确．故选BD.[引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,3＋2\r(3))＝1.[解析]设椭圆的标准方程为eq\f(x2,4＋λ)＋eq\f(y2,3＋λ)＝1，则eq\f(4,4＋λ)＋eq\f(3,3＋λ)＝1，解得λ＝±2eq\r(3)，又3＋λ>0，∴λ＝2eq\r(3)，故椭圆标准方程为eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,3＋2\r(3))＝1.名师点拨：1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置；(2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)求解，得方程．可概括为先“定位”，再“定量”．3．椭圆系方程的应用(1)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0)．(2)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．【变式训练】1．(多选题)若方程eq\f(x2,3－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(BC)A．若1<t<3，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3C．曲线C可能是圆D．若C为双曲线，则t<1[解析]若C为椭圆则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－t>0，,t－1>0，,3－t≠t－1，))则1<t<2或2<t<3.∴A错；若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0，则2<t<3，∴B对；显然t＝2时，曲线C是圆．∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC.2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为(B)A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)＋y2＝1[解析]因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,3)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(8,9)，b2＝eq\f(8,9)a2，A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0，b)．所以eq\o(BA