2025版高考数学一轮总复习素养提升第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其表面积和体积

最值问题1.(2023·安徽铜陵模拟)如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为2eq\r(15)km，B是山坡SA上一点，且AB＝2km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为3.6km.[解析]由题意，半径为2km，山高为2eq\r(15)km，则母线SA＝eq\r(22＋2\r(15)2)＝8，底面圆周长2πr＝4π，所以展开图的圆心角α＝eq\f(4π,8)＝eq\f(π,2)，如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，AB＝eq\r(82＋62)＝10，由点S向AB引垂线，垂足为点H，此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值，即点H为公路的最高点，HB段即为下坡路段，则SB2＝BH·AB，即36＝10·BH，得BH＝3.6km。下坡路段长度为3.6km.2．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)[解析]设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α，则SABCD＝eq\f(1,2)·AC·BD·sinα≤eq\f(1,2)·AC·BD≤eq\f(1,2)·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，又r2＋h2＝1，则VO－ABCD＝eq\f(1,3)·2r2·h＝eq\f(\r(2),3)eq\r(r2·r2·2h2)≤eq\f(\r(2),3)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋r2＋2h2,3)))3)＝eq\f(4\r(3),27)，当且仅当r2＝2h2即h＝eq\f(\r(3),3)时等号成立，故选C.3．(2024·江苏部分重点中学联考)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为18eq\r(3).[解析]设△ABC的中心为O′，三棱锥D－ABC外接球的球心为O，则三棱锥体积最大，即点D，O′，O共线，此时OO′⊥平面ABC，如图，由题意知△ABC的边长x满足eq\f(\r(3),4)x2＝9eq\r(3)，故x＝6，所以AO′＝2eq\r(3)，DO＝AO＝4，故OO′＝eq\r(AO2－AO′2)＝eq\r(16－12)＝2，故三棱锥的高DO′＝DO＋OO′＝6，所以V＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).名师点拨：立体几何中最值问题的解法1．观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．2．设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．3．几何体表面两点间路程最值问题，“展平”处理．转化为平面内两点间距离问题．【变式训练】1．在正三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为eq\r(2).[解析]将正三棱锥S－ABC沿棱SA展开，得到如下图形，由展开图可得，沿AA1爬行时，路程最短；因为SA＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，所以∠ASA1＝90°，因此AA1＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).2．(2024·江苏淮安调研)球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为(C)A.eq\f(4,3)π B．eq\f(4\r(2),3)πC．eq\f(8,3)π D．4π[解析]设圆锥的高SO＝h，底面圆的半径为r，则eq\f(1,r)＝eq\f(h－1,\r(h2＋r2))，∴r2＝eq\f(h,h－2).∴VOS＝eq\f(π,3)r2h＝eq\f(π,3)eq\f(h2,h－2)＝eq\f(π,3)eq\b\