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平行关系的综合应用1.(多选题)(2024·广东深圳中学摸底)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是(ABC)A.B1G∥DMB.B1G∥平面A1EFC.平面BDM∥平面A1EFD.B1G∥A1F[解析]由MB1綉DG知B1GDM为平行四边形,∴B1G∥DM,选项A对;由A1M綉EB知MBEA1为平行四边形,∴BM∥A1E,从而可知A1E∥平面MBD,又EF∥BD知EF∥平面MBD.∴平面A1EF∥平面MBD,选项C对;又B1G∥平面MBD,B1G⊄平面A1EF,∴B1G∥平面A1EF,选项B对;B1G与A1F异面,选项D错,故选ABC.2.(2022·安徽皖北联考)如图,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD?若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.[解析](1)证明:∵四边形ABED为正方形,F为BD的中点,∴E、F、A共线,连接AE,又G为EC的中点,∴GF∥AC,又GF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴GF∥平面ABC.注:本题也可取BE的中点Q,连接GQ、FQ,通过证平面GFQ∥平面ABC来证;或取BC的中点M,AB的中点N,连GM、MN、NF,通过证四边形GMNF为平行四边形得GF∥MN来证.(2)当H为BC的中点时,平面GFH∥平面ACD.证明如下:∵G、H分别为EC、BC的中点,∴GH∥BE,又BE∥AD,∴GH∥AD,又GH⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,∴GH∥平面ACD,又GF∥AC,GF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴GF∥平面ACD,又GF∩GH=G,GF⊂平面GFH,GH⊂平面GFH,∴平面GFH∥平面ACD.[引申]ED上是否存在一点Q,使平面GFQ∥平面ACD.[解析]当Q为ED的中点时,平面GFQ∥平面ACD.名师点拨:平行中的探索性问题1.对命题条件的探索常采用以下三种方法:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.2.对命题结论的探索常采用以下方法:首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设.【变式训练】(2023·河南部分学校联考)如图,在矩形ABCD中,EC=eq\f(1,3)DC,沿AE向上翻折,使点D到点P的位置,构成四棱锥P-ABCE,若点F在线段AP上,且EF∥平面PBC,试确定点F的位置.[解析]如图,过点F作FG∥AB交PB于点G,连接CG,因为FG∥AB∥EC,所以E,F,G,C四点共面,若EF∥平面PBC,由EF⊂平面EFGC,平面EFGC∩平面PBC=CG,所以EF∥CG,所以四边形EFGC为平行四边形,FG=CE=eq\f(1,3)AB,则eq\
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