2025版高考数学一轮总复习素养提升第7章立体几何第4讲空间直线平面垂直的判定与性质_第1页
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直线与平面平行、垂直判定和性质的综合应用1.(多选题)(2024·云南大理统测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(2)，P为线段BC1上的动点，则下列说法正确的是(ABD)A．B1D⊥A1PB．DP∥平面AB1D1C．三棱锥P－ACD1的体积为定值eq\r(2)D．A1P＋PC的最小值为eq\r(3)＋1[解析]由正方体性质易知B1D⊥平面A1BC1，又A1P⊂平面A1BC1，∴B1D⊥A1P，故A正确；由平面BDC1∥平面AB1D1，DP⊂平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正确；∵AD1∥BC1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1，∴点P到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离，∴VP－ACD1＝VB－ACD1＝VD1－ACB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3)，故C错误；将平面A1BC1和平面BCC1沿直线BC1展开为一个平面，如图：△A1BC1是正三角形，△BCC1是等腰直角三角形，且BC1＝2，BC＝eq\r(2)，∠A1C1C＝105°，A1C2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋CCeq\o\al(2,1)－2·A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝4＋2－2×2×eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝4＋2eq\r(3)，∴A1C＝eq\r(3)＋1，即A1P＋PC的最小值为eq\r(3)＋1，故D正确．故选ABD.2.(2024·江苏扬州高邮期初测试(节选))如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．证明：AB∥平面CDE.[证明]取CD的中点F，连接EF，由EC＝ED知EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，∴EF⊥平面BCD.又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF.∵AB⊄平面ECD，EF⊂平面ECD.∴AB∥平面CDE.名师点拨：空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点间距离问题．【变式训练】(2024·陕西汉中模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中不正确的是(D)A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．MN与CC1所成角为45°D．MN⊥平面ACD1[解析]连接BD，A1D，则M为BD的中点，又N为BA1的中点，∴MN∥A1D，从而MN∥平面ADD1A1，A正确；又AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，从而AB⊥MN，B正确；∠AA1D＝45°为MN与CC1所

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