2025版高考数学一轮总复习素养提升第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程

定点问题1.(2022·浙江模拟改编)已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直线l过定点(－3,1).(2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为x－3y＋6＝0.[解析](1)kx－y＋1＋3k＝0可化为y－1＝k(x＋3)．∴直线l过定点(－3,1)．(2)令x＝0得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1.由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,3k＋1≤0))解得k≤－eq\f(1,3).故k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))).(3)设直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则eq\f(－3,a)＋eq\f(1,b)＝1(a<0，b>0)，即1＝eq\f(3,－a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(3,－ab))，∴eq\r(－ab)≥2eq\r(3).∴S△AOB＝－eq\f(1,2)ab≥6(当且仅当a＝－6，b＝2时取等号)．∴直线l的方程为eq\f(x,－6)＋eq\f(y,2)＝1，即x－3y＋6＝0.2．(多选题)(2024·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(BD)A．0 B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(3π,4)[解析]∵|AB|＝eq\r(－2－22＋－1－22)＝5，且|PA|＋|PB|＝5，∴直线l与线段AB恒有交点，∵直线l：y＋eq\f(3,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴直线l恒过定点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)))，作出示意图：∵kAC＝eq\f(－1＋\f(3,2),－2＋\f(3,2))＝－1，kBC＝eq\f(2＋\f(3,2),2＋\f(3,2))＝1，所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故直线l的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，故选BD.名师点拨：确定方程含参数的直线所过定点的方法1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)．2．将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．3．给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．解题时，若直线方程中含有参数，应考虑直线是否过定点．【变式训练】(2024·福建厦门外国语学校阶段测试、辽宁实验中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(D)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))[解析]直线(x＋y＋1)m＋(2x－y－1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,2x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))即直线l过定点P(0，－1)，设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为α，则0≤α<π，显然直线PA的斜率为eq\f(－1－－2,0－1)＝－1，直线PB的斜率为eq\f(－1－1,0－2)＝1，由于直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB总有公共点，则－1≤k≤1，即－1≤tanα≤1，又k＝eq\f(m＋2,1－m)＝－1＋eq\f(3,1－m)≠－1，于是－1<tanα≤1，因此0≤α≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)<α<π，