2025版高考数学一轮总复习知识梳理第9章统计成对数据的统计分析第1讲随机抽样用样本估计总体

第一讲随机抽样用样本估计总体知识梳理普查——对每一个调查对象都进行调查的方法．抽样调查——根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法．调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体．从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．知识点一简单随机抽样1．定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.2．常用方法：抽签法和随机数法.注：本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．知识点二分层随机抽样1．定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.2．分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样．知识点三总体取值规律的估计频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，从中可以看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：1．求极差——求一组数据中最大值与最小值的差．2．决定组距与组数——决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准．若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(极差,组距)))＋1＝组数.3．将数据分组——通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间．4．列频率分布表——计算各小组的频率，绘制成表格．5．画频率分布直方图——画图时，以横轴表示分组，纵轴(大长方形的高度)表示eq\f(频率,组距).知识点四总体百分位数的估计一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大的顺序排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均值．知识点五总体集中趋势与离散程度的估计1．众数：一组数据中出现次数最多的数．2．中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．3．平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，反映了一组数据的平均水平．注：(1)平均数表示“平均水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”，它们都有各自的使用范围，在实际应用中要注意选择．(2)一组数据的平均数、中位数都是唯一的．众数不唯一，也可以有多个．(3)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原始数据中的数.4．设一组样本数据是x1，x2，…，xn，用eq\o(x,\s\up6(－))表示其平均值，则(1)方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2.(2)标准差s＝eq\r(s2)＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2).标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．归纳拓展1．两种抽样方法的区别与联系类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样.从总体中直接随机抽取，是一种等可能抽样.最基本的抽样方法．常用方法抽签法和随机数法.总体个数不多，且希望被抽取的个体带有随机性，无固定间隔.分层抽样将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取，是一种等比例抽样.各层抽样时，采用简单随机抽样．总体由差异明显的几部分组成.2.若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则数据组axi＋b(i＝1,2，…，n，a，b为常数)的平均数为aeq\o(x,\s\up6(－))＋b，方差为a2s2.3．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，均为eq\f(1,2).(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(√)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)(5)1,2,2,3,5的80%分位数是3.(×)(6)对单峰频率直方图，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．(√)题组二走进教材2．(必修2P184T3改编)高二年级有男生490人，女生510人，男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生中应抽取了49名，在这种情况下，估计高二年级全体学生的平均身高为165.4cm.[解析]由eq\f(x,100)＝eq\f(490,490＋510)得x＝49.由eq\f(49,100)×170.2＋eq\f(51,100)×160.8≈165.4(cm)．3．(必修2P197T1改编)从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则直方图中x＝0.0044，在被调查的用户中，用电量的平均值为186kW·h，用电量落在区间[100,250)内的户数为70.[解析](0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，计算得x＝0.0044.50×(75×0.0024＋125×0.0036＋175×0.006＋225×0.0044＋275×0.0024＋325×0.0012)＝186.(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.题组三走向高考4．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(C)A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间[解析]因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误．故选C.5．(多选题)(2021·新高考Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(CD)A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D