324527792、微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：任意角的正弦余弦正切余切1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，，称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作cosα，因此sinα＝，cosα＝;当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝，称为角α的正切，记作cotα，即cot＝；角α的正弦、余弦、正切、余切都称为α的三角函数；还有正割（）、余割（α）；【注意】（1），其中，，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、单位圆与三角函数线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆；（2）正弦线、余弦线与正切线如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为.正弦线与余弦线：过角α终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M，当eq\o(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝，当eq\o(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－，称为角α的余弦线，类似地，eq\o(MP,\s\up6(→))可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例】考点1、三角比数的定义例1、已知角的终边经过点，求：的值。【提示】【答案】【解析】【说明】考点2、三角比的符号例2、已知，，判断的符号考点3、单位圆例3、已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【提示】【答案】【解析】方法1、方法2、【说明】考点4、用三角函数线证明三角不等式例4、若，证明：（1）；（2）；考点5、用三角函数线解三角不等式例5、满足的角的集合为【归纳】1、任意角的正弦、余弦、正切与余切（1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则；（2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定；（4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“”、“”、“”、“”比值没有意义的；2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解（1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件三角函数定义域RR（2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负；（3）单位圆与三角函数线定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线；【即时练习】1、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)2、(2018·北京)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是()A.B.C.D.3、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq\f(1,cosα)等于4、设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是第象限角；5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα＝________.6、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是7、已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范围为9、若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．10、将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为（m），点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r（m）记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为h（m），试用表示【教师版】微专题：任意角的正弦余弦正切余切1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，，称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作cosα，因此sinα＝，cosα＝;当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝，称为角α的正切，记作cotα，即cot＝；角α的正弦、余弦、正切、余切都称为α的三角函数；还有正割（）、余割（α）；【注意】（1），其中，，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、单位圆与三角函数线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆；（2）正弦线、余弦线与正切线如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为.正弦线与余弦线：过角α终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M，当eq\o(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝，当eq\o(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－，称为角α的余弦线，类似地，eq\o(MP,\s\up6(→))可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例】考点1、三角比数的定义例1、已知角的终边经过点，求：的值。【提示】由三角比的定义求得：、；【答案】或；【解析】若，，，点在第四象限；；所以，,，则；若，，，点在第二象限；.所以，，，则；【说明】本题主要为了利用三角比，得先求；由此，“遇到问题，引出讨论”，因的符号不确定，所以要对字母进行讨论；分：当，点在第四象限，当，点在第二象限；属“依据三角比定义求解”的必须步骤；【注意问题】①对于不同象限的角，求其三角函数值时，要分象限进行讨论；②终边在坐标轴上的角不属于任何象限；考点2、三角比的符号例2、已知，，判断的符号【提示】注意：三角比的符号与终边相同角的表示之间的沟通；【解析】因为，，，所以，是第二象限角，；则；当，，是第一象限角，；当，，是第三象限角，，所以，必为正数；【说明】本题说明三角比的符号与象限角以及象限角的研究过程、方法有密切联系；往往与分类讨论、数形结合进行交汇；考点3、单位圆例3、已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【提示】注意：三角比只与终边有关以及题设中的“单位圆”；【答案】C；【解析】设O为坐标原点，由OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).方法1、当y＝eq\f(\r(3),2)时，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；当y＝－eq\f(\r(3),2)时，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；所以，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；方法2、由三角函数定义知，cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝y，所以sinαtanα＝sinαeq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(y2,－\f(1,2))＝eq\f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq\f(3,2)；【说明】本题考查了利用单位圆，挖掘隐含条件“OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1”；同时，说明：对于三角若干种三角比的求值、化简题，有时“先化简后求值”、“用好三角比的定义”，可以更简洁明了；考点4、用三角函数线证明三角不等式例4、若，证明：（1）；（2）；【提示】注意：结合三角函数线的几何意义；【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则（1）在Rt△POM中，sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1，因为，在Rt△POM中，MP+OM＞OP，所以，sinα+cosα＞1；（2）在Rt△AOT中，tanα＝AT，又根据弧度制的定义，有eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))＝α·OP＝α.根据图形，得S△POA<S扇形POA<S△AOT，即eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))·OA<eq\f(1,2)OA·AT，所以MP<eq\o\ac(AP,\s\up10(︵))<AT，即0<sinα<α<tanα；【说明】通过本题说明：对于涉及多种三角比或单位为弧度的角之间关系时；用好三角函数线既可将解决的问题统一与等价转化；考点5、用三角函数线解三角不等式例5、满足的角的集合为【提示】注意：在单位圆中用三角函数线直观表示；【答案】；【解析】作直线交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角α的集合为；【说明】通过本例说明：用好三角函数线可以通过数形结合“直观”解三角方程与三角不等式；特别注意：利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围；【归纳】1、任意角的正弦、余弦、正切与余切（1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则；（2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定；（4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“”、“”、“”、“”比值没有意义的；2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解（1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件三角函数定义域RR（2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负；（3）单位圆与三角函数线定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线；【即时练习】1、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C；【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m＝eq\f(1,2).2、(2018·北京)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是()A.B.C.D.【答案】C；【解析】方法1、由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tanα>sinα，不满足；在上，tanα>sinα，不满足；在上，sinα>0，cosα<0，tanα<0，且cosα>tanα，满足；在上，tanα>0，sinα<0，cosα<0，不满足，故选C；方法2、设点P的坐标为(x，y)，因为，tanα<cosα<sinα，利用三角函数的定义可得eq\f(y,x)<x<y，所以－1<x<0，0<y<1，所以P所在的圆弧是eq\o(EF,\s\up8(︵))，故选C.3、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋eq\f(1,cosα)等于【答案】eq\f(13,15)；【解析】因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα＋eq\f(1,cosα)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(5,3)＝eq\f(13,15)；.4、设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是第象限角；【答案】二；【解析】由θ是第三象限角知，eq\f(θ,2)为第二或第四象限角，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，所以coseq\f(θ,2)<0，综上可知，eq\f(θ,2)为第二象限角．5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα＝________.【答案】－eq\f(3,5)；【解析】因为A点纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5)；6、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是【答案】(－2，3]【解析】因为cosα≤0，sinα>0，所以，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．所以，∴；7、已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为【答案】(－2cosθ，－2sinθ)【解析】由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cosθ，2sinθ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cosθ，－2sinθ)．8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范围为【答案】或9、若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．（1）求sinθ＋cosθ的值；（2）试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．【解析】因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5)；当a<0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)；综上，sinθ＋cosθ＝±eq\f(1,5).（2）当a>0时，sinθ＝eq\f(3,