小题压轴题专练34-双曲线1-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练34—双曲线1一．单选题1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限），若△与△内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为A． B． C． D．2．已知，是双曲线实轴的两个端点，，是双曲线上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，．若双曲线的离心率为2，则的最小值为A． B．1 C． D．3．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．54．椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为A． B． C． D．5．如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为A． B． C． D．6．已知双曲线的右焦点为，经过的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，若，，有如下结论：①三角形外接圆的圆心一定在上；②；③双曲线的两条渐近线所成的锐角的余弦值为；④双曲线的离心率为．上述结论中正确的序号是A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．8．双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为2，焦距为4．设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，则的值为A． B． C． D．与位置有关二．多选题9．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则A． B．的焦距为 C．的离心率为 D．的面积为10．已知圆与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为4，若为圆与双曲线在第一象限内的交点，为双曲线的右焦点，且为坐标原点），则下列说法正确的是A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线右支上的动点到两点的距离之和的最小值为4 C．圆在点处的切线被双曲线截得的弦长等于 D．若以双曲线上的两点，为直径的圆过点，则11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线交双曲线的右支于点，且，则A．原点到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C． D．双曲线的两条渐近线夹角余弦值为12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则A． B．双曲线的离心率 C．直线的斜率为 D．原点在以为圆心，为半径的圆上三．填空题13．若双曲线的一个焦点关于渐近线的对称点恰好也在双曲线上，则双曲线的离心率．14．已知双曲线的左、右焦点分别是、，直线双曲线的左、右支分别交于，，均在轴上方）．若直线、的斜率为，且四边形的面积为．则双曲线的离心率为．15．已知实数、满足，则的取值范围是．16．若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为．

小题压轴题专练34—双曲线1答案1．解：如图，由题意设△与△内切圆圆心分别为，，对应的切点分别是，，，，，则，，，，所以，而，故，所以，，设直线的倾斜角为，则，，所以，，由题意，可得，化弦后整理得，结合，得，所以，则要使直线与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足，所以，故即为所求．故选：．2．解：因为，是双曲线上关于轴对称的两点，设，，又，是双曲线实轴的两个端点，所以，，所以，，所以，又点在双曲线上，所，所以，又双曲线的离心率为2，所以，从而，所以，，当且时取等号；故选：．3．解：设，，为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即为，则，当且仅当，即，取得最小值3．故选：．4．解：由双曲线的方程可得焦点坐标为，且离心率为，所以椭圆的离心率为，即，可得，由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为：，所以，，所以，，在△中，由余弦定理可得，所以，故选：．5．解：连接，设，，由双曲线的定义可得，由题意可得，，由双曲线的定义可得，在三角形中，，由余弦定理可得，即为，化简可得，在直角三角形中，，，，，所以，即为，即．故选：．6．解：双曲线的渐近线方程为，设，，，，，由，，可得，（1），（2），（3）由（1）（2）解得，，代入（3），可得，所以，故④正确；由，，可得三角形外接圆的圆心不在上，故①错误；由，，可得，故②正确；两条渐近线的夹角的正切值为，则夹角的余弦值为，故③错误．故选：．7．解：设，由于是以为直径的圆与该双曲线的一个交点则△是直角三角形，，由，，，，．故选：．8．解：由题意可得，，解得，，所以，所以双曲线的方程为：；可得左顶点，右焦点为，设，，，，则，当，，此时，所以，，这时；当时，，，所以，，易知，，所以可得，综上所述的值为．故选：．9．解：设，因为为正三角形，所以，，由双曲线定义可得：，所以双曲线的离心率，所以正确；由双曲线的方程可得，，所以由离心率，可得：，解得：，所以不正确；，所以焦距，所以正确；的面积，所以不正确；故选：．10．解：由圆与双曲线的对称性可知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形．设，则，且，解得，所以，①；设，由，得，②，联立①②式，解得，．项：双曲线的渐近线方程为，故项错误；项：设双曲线的左焦点为，，，连接，，由双曲线的定义可得，所以，当且仅当，，三点共线时取等号，故项正确；项：圆在点出的切线方程为，由，解得或，所以该切线与双曲线的交点为与，所以，故项正确；项：由题意知，且直线，的斜率均不为0，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，，，由，得，，同理，即，故项正确；故选：．11．解：设过的直线与直线交于点，则，因为，为的中点，所以，为的中点，根据题意，，所以，，且，，所以原点到直线的距离为，故正确；因为，所以，则，故错误；所以双曲线的离心率为，故正确；设渐近线，的倾斜角分别为，，且，，，则两条渐近线的夹角为，由题意知，，，所以，，所以，即双曲线的两条渐近线夹角余弦值为，故正确．故选：．12．解：如图，设，则，由双曲线的定义知，，即；，即，所以，即有，故选项正确；由余弦定理知，在中，，在△中，，化简整理得，，所以离心率，故选项正确；在△中，，，所以，所以直线的斜率为，故选项正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项错误．故选：．13．解：设左焦点关于渐近线的对称点为，与渐近线的交点为，在双曲线上，可知：，如图所示：设，则，，，，即，，可得，，可得，即，可得，所以，即，，所以．故答案为：．14．解：设直线的倾斜角为，，则，又，解得，，在△中，由余弦定理可得，解得，在△中，由余弦定理可得，解得，所以四边形的面积为，因为四边形的面积为，所以，即，即，两边同时除以，可得，解得或（舍，所以双曲线的离心率