新人教版八年级数学下导学案(全册)

第十六章二次根式导学案

二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：及之0(。20)和(&)2=。320)

二、学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质JZNO(a20)和(、份肝=a(67>0)o

三、学习过程

(-)复习回顾：

(1)已知一=。，那么。是x的；1是。的,记为，。一定是数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为=a:正数。的算术平方根为,0的

算术平方根为一；式子筋20(。20)的意义是o

(二)自主学习

(1)V16的平方根是；

(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是寅单位：秒)与开始下落时的高度a单位:

米)满足关系式人=5〃。如果用含力的式子表示t,则夕；

(3)圆的面积为S,则圆的半径是；

(4)正方形的面积为6-3,则边长为.

思考：V16,J|,三等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.

定义：一般地我们把形如JZ(a20)叫做二次根式，。叫做

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

-V16t退，Q,近（aN0）,6+1

2、当。为正数时JZ指”的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数。才有

算术平方根。所以，在二次根式右中，字母。必须满足—，后才有意义。

3、根据算术平方根意义计算：

(1)(V4)2(2)(V3)2⑶(历了⑷(g)2

根据计算结果，你能得出结论：(&『=一。中aNO,

4、由公式(6)2=a(aN0),我们可以得到公式a=(JZ)2,利用此公式可以把任意一个

非负数写成一个数的平方的形式。

如(石y=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(百)2.

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：

60.35

(2)在实数范围内因式分解

X24a-11

(三)合作探究

例：当x是怎样的实数时，五二，在实数范围内有意义？

解：由x-220,得

x>2

当xN2时，Jx—2在实数范围内有意义。

练习：1、尤取何值时，下列各二次根式有意义？

2、(1)若正与一，匚有意义，则a的值为

(2)若Q在实数范围内有意义，则了为()6

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

J1-2%

3、(1)在式子一1---------中，x的取值范围是.

(2)已知J/-4+J2x+y=0,则x-y=.

(3)已知y=V3—x+ylx—3—2，则y*=。

（四）达标测试

（一）填空题：

2、若J2x-1+|y-"=0,那么x=,y=。

3、当年时，代数式j4x+5有最小值,其最小值是

4、在实数范围内因式分解：

（1）X2-9=X2-（）2=（广—）（尸）

（2）X2-3=X2-（）2=（广—）（厂）

（-）选择题：

1、一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为（）

A、a+3B、yfci—3C、+3D、a~+3

2、二次根式后二1中，字母a的取值范围是（）

A、a<lB、后1C、D、a>\

2、已知J~=O则x的值为

A、x>-3B、K-3C、A=-3D、x的值不能确定

3、下列计算中，不正确的是（）o

A、3=（V3）2B、0.5=（屈-C、75^2=0.6D、（5"了=35

二次根式（2）

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：疹=时

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质册7=时.

难点：综合运用性质必=同进行化简和计算。

三、学习过程

(-)复习引入:

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？

(2)二次根式

(3)在实数范围内因式分解：/一6=/一(y=(户_)(广)

(二)自主学习

1、计算：疔=_____7207=

观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当a>0时;

2、计算：Ji」=

观察其结果与根号内募底数的关系，归纳得到：当。<0时，石

3、计算：行=当a=O时;J^=

(三)合作交流

aa>0

1、归纳总结：J丁=同=<00

一。a<0

2、化简下列各式：

⑴、TB57-⑵、&-0.5)2=_

⑶、J(-6)2=_⑷、J(2aJ=_(«<0)

3、讨论二次根式的性质(右)2=。320)与必=时有什么区别与联系。

(四)巩固练习

化简下列各式：(DV4?(x>0)(2)E

(3)(3-3)2523)(4)J(2x+3)2«2)

注：利用必=时可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的,

进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

（五）达标测试：

A组

1、填空：（1）、yl（2x-1）2-（A/2X-3）2（x>2）=.（2）、/"G?=

（3）a、b、c为三角形的三条边，则+区-a-c|=.

2、已知2Vx<3,化简：J（尤-2）-+—3|

B组

3已知OVJTVI,化简：J（x厂+4—J（尤H—厂—4

4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为巴的

3

正方形方孔.若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的

正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.

5、把（2—x）J」一的根号外的（2—x）适当变形后移入根号内，得（）

Vx-2

A、-xB、~\lx—2,C、-，2-xD,—V.X—2

6,若二次根式J-2x+6有意义，化简|『4|-|7-x|。

二次根式的乘法

一、学习目标

理解\[a•4b=\/ab（a20,beO）,\/ab=y/a•Jb（a20,Z>20）,并利用它们

进行计算和化简

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。

三、学习过程

（-）复习引入

1.填空：（1）74X79=—,74^9=—；V4X^_V4^9

(2)V16XV25=___,716x25=—；V16XV25_716x25

（二）、探索新知

交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为

4a,x[b=>Jab.(a20,b20反过来：[=&•&(a20,b20)

例1、计算

(1)V5X77(3)376X2V10(4)y[5a,

例2、化简

（1）J9xl6（2）,16x81（3）781x100(4)02寸(5)V54

巩固练习

（1）计算：①屈X册②5君><2旧

（2）化简：V20；屈；V24；V54；82片及

（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)Jy9)=Cx口

(2)J^lxV25=4XJ^|x>/25=4X725=4712=873

（四）展示反馈

展示学习成果后，讨论：对于百XJ方的运算中不必把它变成J诟后再进行计算,

你有什么好办法？

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作

为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化筒二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。（2）分解后把能开尽方的开出来。

（五）达标测试：

A组

1,选择题

(1)等式•五二1=5%2—1成立的条件是()

A.x》lB.x》一1C.D.x》l或xW-l

(2)二次根式J(—2)2x6的计算结果是()

A.2A/6B.-276C.6D.12

2,化简：

(1)V360;(2).

3、计算：

⑴V18xV3O.⑵A篇

B组

1,选择题

「一。+；=0,贝!1•八•八二()

若卜-2+/+4b+4+,

A.4B.2C.-2D.1

2、计算：(1)6A/8X(-2V6)；(2)y/8abxy[6a^；

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(2)—2a.—

⑴HIV2a

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式。

三、学习过程

(-)复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算：(1)3A/8X(-4A/6)(2)y[\2abxv6ab3

一般地，对二次根式的除法规定:

[a_\[a

(a>0,b>0)反过来,(a20,b>0)

\b4b

2、化简:

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为

商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）拓展延伸

1-622加2石

73-73x73-3'>/5-75x75-5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化

利用上述方法化简：

/、2/、1/、1/、加

（1）/一（2）诙=­⑶页=一（4）运一

（四）达标测试:

A组

1、选择题

（1）计算，1+旧+“|的结果是（）.

A.那B.|C.V2D.当

（2）化简一G二的结果是（）

V27

A.-克B.-与C.-旦D.-0

3G3

2、计算：

B组

用两种方法计算：

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、学习过程

（一）复习回顾

1、化简（1）廊F=

⑶⑷吗

V27

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达

到的要求是什么？

(-)自主学习

观察上面计算1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

2,化简：

⑴3户(2)y/x2y4+x4y2(3)屉2y3⑷算

V12V20

(三)合作交流

2、比较下列数的大小

(1)后与归

（2）-7而与—6斤

注：1、常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数或因式的森的指数都小于2.

(四)拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

]=1x(•-1)=血-1=

V2+1-(V2+1)(72-1)-2-1-

1_lx(V3-V2)_V3-V2r-6

京亚一电+内@一下二

1

同理可得:

2-V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1

L1L+……+,____R=）（72009+1）的值.

V2+1V3+V2J2009+J2008

(五)达标测试:

1、选择题

⑴如果£

(y>0)是二次根式，化为最简二次根式是().

A.—^=(y>0)B.Jxy(y>0)C.♦)(y>0)

D.以上都不对

(2)化简二次根式

A,\l-a-2D、7a—2

2、填空：

(1)化简J/+%2y2=.(x20)

(2)已知x=—7=-----,则x------的值等于.

V5-2x

3、计算:

4、计算：(a>0,6>0)

b2va

5、若x、y为实数，且y=一~~+*>求的值。

x+2

二次根式的加减学案(1)

学习内容：

同类二次根式二次根式的加减

学习目标：

1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式

2、理解和掌握二次根式加减的方法.

3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再

总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

学习重点、难点

1、重点：二次根式化简为最简根式.

2、难点：会判定是否是最简二次根式.

学习过程

一、自主学习

(一)、复习引入

计算.(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a2

(二)、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)26+3垃=(2)2我-3我+5m=

(3)#i+2#t+35百=(4)3百-25&=

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2夜与我表面上看是不相

同的，但它们可以合并吗？也可以.(与整数中同类项的意义相类似我们把3百与一2代

3及、-2&与4&这样的几个二次根式，称为同类二次根式)

30+&=3行+纪2=5&3百+收=36+36=6百

所以，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行

合并.

例1.计算(1)+巫(2)V16x+V64x

例2.计算(1)3屈-9J+3g(2)(V48+V20)+(V12-V5)

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

二、巩固练习

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

(4)^x49x-(x2

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(g+y?)-(x2_5xJ—)的值.

四、课堂检测

（一）、选择题

1.以下二次根式：①巫；②亚;③岛④历中,与也是同类二次根式的

是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3\[3+3=6V3；②yV?=1；③V2+-\/6-V8-2V2；④=2A/2,

其中错误的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个

3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

（A）、回和J。（B）总和J5（C）J商和和JR

4.下列各式的计算中，成立的是（）

(A)2+45=245(B)4V5-3V5=1(C)卜+丁=x+y（D）745-720=75

5.若4=-^=^—,b=——则

的值为（）

V2-1V2+1\b

(A)2(B)-2(0V2（D）272

二、填空题

1.在瓜、-415a.2何、7125,2痴'、3屁、-2、口中，与技是同

33aV8

类二次根式的有.

2.计算二次根式5JZ-3J^-7JZ+9的最后结果是

3.若最简二次根式3j2x+l与J3x—1是同类二次根式,则尸.

4.若最简二次根式历工与"+归是同类二次根式，则2=—,b=

5.计算：（1）—J27a3—优J—F3aj-----VTo&z

3\aV34

三、综合提高题

先化简，再求值.(6x/—H--Jxy^)—(4xI—卜J36xy),其中A=一,尸27.

\xy\y2

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

二、学习重点、难点

重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程

(一)复习回顾:

1、填空

(1)整式混合运算的顺序是：.

(2)二次根式的乘除法法则是：.

(3)二次根式的加减法法则是：o

(4)写出已经学过的乘法公式：

①②

2、计算：

(1)V6•V3a•(3)2V3-V8+-V12+-V50

25

(二)合作交流

1、探究计算：

(1)(V8+V3)XV6⑵(4A历-3倔+20

2、探究计算：

(1)(V2+3)(V2+5)(2)(273-V2)2

(三)展示反馈

计算：(1)(-V27-V24-3J-)-VT2(2)(273-V5)(V2+V3)

3V3

注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以

代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

(四)拓展延伸

观察：(夜一1)2=(夜)2-2xlx夜+f=2—2夜+1=3—2亚

反之，3—2&=2—2夜+1=(夜—I)?

3-2夜=(夜-1)2

/.73-272=72-1

仿上例，求：(1)；74+273

(2)你会算，4一也吗?

(3)若八±2府=而+册,则久n与a、6的关系是什么？并说明理由.

(六)达标测试：

A组

1、计算：

(1)(780+90)4-75(2)V24-V3-V6x2V3

(3)(Ja3b-3ab+J加)+(7^)(a>0,Z>>0)

2、已知a=一一,b=-)2—,求J4+Z72+10的值。

V2-1V2+1

B组

1、计算：(1)(V3+V2-1)(V3-V2+1)(2)(3-VK))2009(3+V10)2009

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算和化简。

二、学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程

(-)自主复习

1.若a>0,a的平方根可表示为a的算术平方根可表示

2.当a时，2a有意义,当a时，,3。+5没有意义。

3.={(6_2)2=

4.714x748=V72-V18=

5.V12+V27=_______V125-V20=

(二)合作交流，展示反馈

1、式子)三=^^5成立的条件是什么？

Vx-577^5

2、计算：⑴2712x173-572(2)

4

3.计算：⑴V2-5V3-3V75(2)(一3尤一2g/

(三)精讲点拨

在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：

(1)(y/a)2=a(a>0)^a=(V«)2(iz>0)

aa>0

(2)=|a|=<0a=0

-aa<0

(3)=y/^(aN0,bNQi)与=y/a•\/h(a>0,b>0)

(4)木=1920力>0)与.

(5)(a+b)2=a1±2ab+b2^(a+b\a—b)=cr—b2

(四)达标测试：

1、选择题:

A5B-5C±5D25

代数式经2中，x的取值范围是

(2)()

Jx-2

Ax>-4Bx>2C尤之一4月/工2Dx>—4且工w2

化简二岩的结果是（

)

V27

A------D-V2

3

2、计算.

(1)V27-2V3+V45⑶(&+2)(6-2)

0口4V3-V2RV3+V2.11如初

3、已知a=-------,b=---------求------的值

22ab

第十七章勾股定理

课题：17.1勾股定理（1）

学习目标：

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

学习过程：

一、自主学习

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。（勾3,股4,弦5）。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现3、42与5?的关系，5?+122和13?的关系，即3?+4252,52+122132,

那么就有2+（用勾、股、弦填空），对于任意的直角三角形也有这个性

质吗？

勾股定理内容

文字表述：—几何表述：—

二、交流展不

例1、已知：在AABC中，NC=90°,NA、NB、NC的对边为a、b、c。求证：a2+b2=c2„

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如课本图所示，其等量关系为：4sA+S小正=S大正

即4X，X+()z=c2,化简可证。

2

例2已知：在△ABC中，ZC=90°,NA、ZB,NC的对边为a、b、c。

222

求证：a+b=co

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________

右边S=_____________

左边和右边面积相等，即

化简可得

三、合作探究

1.已知在RtaABC中，ZB=90°,a、b、c是△ABC的三边，则

(l)c=o(已知a、b,求c)

(2)a=o(已知b、c,求a)

(3)b=o(已知a、c,求b)

2.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c,有aVbVc,试根据表中已有数的规律,

写出当a=19时，b,c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

19,b、c192+b2=c2

3.ZkABC的三边a、b、c,

(1)若满足b?=a2+c2,则=90°；

(2)若满足b2＞，+a2,则NB是角;

（3）若满足b'VcZ+aZ,则NB是角。

四、达标测试

1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）

2.斜边长为25B,三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20

3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为（）

A.4B.8C.10D.12

4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为（）

A.6B.8C.—D.—

1313

5、已知，如图1-1-5,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边使点〃落在

死边的点尸处，已知心8cm,5010cm,求CFCE

课题：17.1勾股定理（2）

教学目标：

1.会用勾股定理进行简单的计算。

2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。

重难点：

1.重点：勾股定理的简单计算。

2.难点：勾股定理的灵活运用。

一、自主学习

1.勾股定理的具体内容是：

2.如图，直角△ABC的主要性质是：NC=90°,（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：

⑶若NB=30。，则NB的对边和斜边的关系：；

⑷三边之间的关系：O

二、交流展示

例1、在RSABC,ZC=90°

⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=l,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。

(4)已知a：b=l：2,c=5,求a。(5)已知b=15,ZA=30°，求a,c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知边，求边,直接用定理。⑵⑶已知边和

边，求边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前

三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已

知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的

关系的转化思想。

例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计

算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

三、合作探究

例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高.⑵求SAAK。

分析：勾股定理的使用范围是在三角形中，因此注意要

创造三角形，作—是常用的创造三角形的辅助线做法。

欲求高CD,可将其置身于RtaADC或RtZXBDC中。

四、达标测试

1.填空题

⑴在RtZ\ABC,NC=90°,a=8,b=15,贝Uc=。

⑵在RtZ\ABC,ZB=90°,a=3,b=4,贝!Jc=□

⑶在RtAABC,ZC=90",c=10,a：b=3：4,则a=,b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为o

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。

(6)已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为o

2.已知：如图，在△ABC中，ZC=60°,AB=4A/3,AC=4,AD是BC边上的高，求BC的

CDB

课题：17.1勾股定理（3）

学习目标：

1.会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.树立数形结合的思想。

重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

学习过程：

一、自主学习

填空：在RtaABC,ZC=90°,

（1）如果a=7,c=25,贝!]b=。⑵如果NA=30°,a=4,贝!Jb=。

⑶如果NA=45°,a=3,贝!|c=。⑷如果c=10,a-b=2,贝！Ib=。

⑸如果a、b、c是连续整数，贝！Ia+b+c=。⑹如果b=8,a：c=3：5,贝！Ic=

二、交流展示

例1（教材P25页例1）

D

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框r

为长方形，四个角都是直角。⑵探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪

条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理计算，采用多种方法。/

A

三、合作探究

例2（教材P25页例2）

如图，一个3米长的梯子四，斜靠在一竖直的墙40上，这时40L

的距离为2.5米.如果梯子的顶端力沿墙下滑0.5米，那么梯子|氐_

底端5也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）]\、、、O

分析：要求出梯子的底端6是否也外移0.5米，实际就是求即I\\、、

BDO

的长，而BAOD~OB

四、达标测试

1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树,

这棵红叶树的离地面的高度是米。

2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4g米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离

测得BC=50米，ZB=60°,则江面的宽度为o

5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP_LPQ,则

RQ=厘米o

课题：18.1勾股定理（4）

教学目标

1.会用勾股定理解决较综合的问题。2.树立数形结合的思想。

重难点1.重点：勾股定理的综合应用。2.难点：勾股定理的综合应用。

一、自主学习

例4（教材P26页探究）

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一

一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示6—1,2一行的点。）

二、交流展示

例1:已知：在RtZkABC中，NC=90°,CDJLBC于D,ZA=60°,

CD=g,求线段AB的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，

三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC?-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊

角的特殊性质等。

三、合作探究

1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

V13的点吗？

分析：（1）若能画出长为正的线段，就能在数轴上画出表示J值的点.

（2）由勾股定理知，直角边为1的等腰&△,斜边为血.因此在数轴上能表示后的

点.那么长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

012345

在数轴上画出表示J行的点？（尺规作图）

2、如右祝螺旋帙图形由普干个叠角三翩所组5成，其中①是、角边长为]的等腰直角三

角形。那么OAi==,OAa=,0A3=,0A4=,

0A5=,OAe=,0A7=,-,0Ai4=____,…，0A〃=.

四、达标测试

1.ZkABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=,SAABC=。

2.AABC中，若NA=2NB=3/C,AC=2gcm,贝!]NA=度，ZB=度，N

C=度9BC=,S

3.△ABC中，ZC=90°,AB=4,BC=2百，CDJ_AB于D,贝UAC=,CD=

BD=>AD=,SAABCF

4.已知：如图，在△腕中，ADLBC于D,AB=6,AO4,538,求•BD,加的长.

5,已知：如图,

的面积。

教学目标

1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重难点1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的逆定理的证明。

一、自主学习

1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

(1)同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2.勾股定理的逆定理__________________________________

小结注：(1)每一个命题都有逆命题.

(2)一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.

(3)每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

二、交流展示

例1(P32探究)证明：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形

是直角三角形。

例2：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三刎:

(1)a=15,b=8,c=17.(2)a=13,b=14,c=15.

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边

最大。②分别用代数方法计算出a'+b?和不的值。③判断a'+b?和c?是否相等，若相等，则

是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

三、合作探究

例3、已知：在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,a=n2-l,b=2n,

c=n2+l(n>l)求证：ZC=90°。

四、达标测试

1.填空题。

⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是O

⑶在△ABC中，若a?=b2-c2,则△ABC是三角形，是直角；

若a2<b2—c2,则NB是o

⑷若在△ABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2,则△ABC是三角形。

(5)△ABC的三边之比是1：1：V2,则△ABC是三角形。

2.下列四条线段不能组成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=旧,c=V2D.a：b：c=2：3：4

3.已知：在aABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该

三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

(l)a=-x/3,b=2y/2,c=V5;⑵a=5,b=7,c=9；⑶a=2,b=百，c=V7；

(4)a=5,b=2y[6,c=l。(5)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)»

课题：18.1勾股定理的逆定理(2)

教学目标1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习

1,若三角形的三边是(D1、73,2；⑵(3)32,42,52⑷9,40,41；(5)

345

(m+n)'—I,2(m+n),(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

2,已知：在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三

角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；⑵a=15,b=16,c=6；⑶a=2,b-243.c=4；

二、交流展示

例1课本(P33例2)分析：川

(1)解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；[远航号

⑶依题意可求PR,PQ,QR;

海天号R//

⑷根据勾股定理的逆定理，求NQPR；⑸求NRPN。\/

------------隼-----------海岸线

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。|

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长

7米，比较长边短1