2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

绝密★启用前

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标I）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设Z=T二二，则卜卜

1+21

A.2B.V3C.72D.1

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,508={2,3,6,7},则5nd

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知。=10820.2*=2°，2,。=（）.2<13,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是U

2

（或二1之称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头

2

顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是苴二1.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.；

sinx+x-

5.函数«x）=------^在［-71,

cosX+X

A.

-K0TTx

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,1000,从这些新

生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4

名学生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生

7.tan255°=

A.-2-73B.-2+73C.2一6D.2+73

8.已知非零向量a,0满足同=2例，且(a-b)J_b,则a与人的夹角为

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.

6336

]

9.如图是求2+Jy的程序框图，图中空白框中应填入

2+-

2

1-11,1

A.A=-------B.A=2d--C.A=------D.A=l+——

2+AA1+2/42A

10.双曲线C：=—与=1(4>0,。>0)的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为

矿b

11

A.2sin40°B.2cos40°C.---------D.----------

sin50°cos50°

11.△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知asinA—bsin5=4csinC,cosA=——,

4

nIb

贝底二

c

A.6B.5C.4D.3

12.已知椭圆C的焦点为耳(-1,0),6(1,0),过Fi的直线与C交于A,3两点.若

\AF2\=2\F2B\t\AB\=\BFJ,则。的方程为

2222222

A%2i

A.-----Fy=1B.-----1-----=1C.-----1-----=1D.------1-----=1

2-324354

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=3(/+x)e"在点(0,0)处的切线方程为.

3

14.记S〃为等比数列｛〃〃｝的前〃项和.若q=1,S3=—,则S4二.

371

15.函数/(x)=sin(2x+j~)-3cosx的最小值为.

16.己知/ACB=90°,P为平面A8C外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,8c的距离

均为G,那么尸到平面ABC的距离为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：60分。

17.(12分)

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

“n(ad-bc)2

It：K=-----------------------.

(a+b)(c+d)(a+c)(i>+d)

P(K2")0.001

k

18.(12分)

记S„为等差数列｛斯｝的前n项和，已知S9=-45.

(1)若。3=4,求｛。”｝的通项公式；

(2)若«i>0,求使得S仑小的n的取值范围.

19.(12分)

如图，直四棱柱ABC。-ABC出的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分别是BC,BBi,AQ的中点.

(1)证明：MN〃平面CQE；

(2)求点C到平面CiDE的距离.

20.(12分)

已知函数/(x)=2sitir—xcosx—x,f(x)为/(x)的导数.

(1)证明：f(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若xC[0,兀]时，f(x)>ax,求〃的取值范围.

21.(12分)

己知点A,B关于坐标原点。对称，\AB\=4,。加过点A,8且与直线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+)=0上，求。M的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|M4|一|MP|为定值？并说明理由.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

I-/2

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<1+r(r为参数)，以坐标原点O

4t

y^TTtT

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2/7cos6+Gpsin6+11=0.

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)求C上的点到/距离的最小值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,h,c为正数，且满足Me=l.证明：

(1)-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(a+0)3+S+c)3+(c+a)3224.

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标I）

参考答案

一、选择题

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空题

5

13.y=3x14.—15.-416.72

三、解答题

17.解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为二=0.8,因此男顾客对该商

50

场服务满意的概率的估计值为0.8.

女顾客中对该商场服务满意的比率为d30=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率

50

的估计值为0.6.

100x(40x20—30x10)2

(2)K==--------------------«4.762.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.解:

（1）设｛q｝的公差为d.

由S9=-a5得q+4。=0.

由〃3=4得4+2d=4.

于是q=8,d=-2.

因此｛a„｝的通项公式为an=10-2〃.

（2）由（1）得％=-4d,故

由q>0知d<0,故等价于〃2-11〃+10,,0,解得:心10.

所以"的取值范围是｛“I掇旧10,/ZGN）.

19.解:

(1)连结因为M,E分别为的中点，所以ME〃4C，且

加七二3耳。.又因为N为4。的中点，所以=

由题设知人4幺DC,可得BC幺A。，故ME&ND,因此四边形MNQE为平行四

边形，MN〃ED.又MN6平面CQE,所以〃平面G^E.

(2)过C作GE的垂线，垂足为H.

由已知可得DE_LBC,DE±CtC,所以DEL平面。(后，故OELC”.

从而CaJ_平面C】DE,故C”的长即为C到平面G的距离，

由己知可得CE=1,CC=4,所以gE=而，故CH=噜-.

从而点C到平面CQE的距离为*2.

20.解：

(1)设g(x)=r(x)，则g(x)=8sx+xsinx-l,g'(x)=xcos%.

jr(7TiTT

当xe(0,5)时，g'(x)>0；当时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,5)单调递

增，在兀)单调递减.

又g(0)=0,gfyj>0,g(兀)=-2,故g(x)在(0,7T)存在唯一零点.

所以r(x)在(。,兀)存在唯一零点.

(2)由题设知/(兀)..。兀,/(兀)=0,可得好0.

由⑴知，/'(X)在(0,兀)只有一个零点，设为％,且当xe(O，M)时，f'(x)>0；

当xe(如兀)时，/f(x)<0,所以/(幻在(0,毛)单调递增，在(.㈤单调递减.

又/(0)=0,/(兀)=0,所以,当xe[0,兀]时，/(%)..0.

又当4,O,XG[O,JI]时,at<0.故/(x).

因此，。的取值范围是(一8,0].

21.解：(1)因为QM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=O

上，且A,5关于坐标原点0对称，所以M在直线y=x上，故可设/(a,a).

因为0M与直线x+2=0相切，所以0M的半径为r=|a+2|.

由已知得|A0|=2,又必。_LAl,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.

故OAf的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(l,0),使得|W|MP|为定值.

理由如下：

设M(x,y),由已知得OM的半径为r=|x+2|,|AQ=2.

由于丽故可得/+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为V=4x.

因为曲线。：丁=4%是以点尸(1,0)为焦点，以直线x=-l为准线的抛物线，所以

\MP\=x+l.

因为|M4HMP|=r—|A/R=x+2—(x+l)=l,所以存在满足条件的定点P.

[一产(A21-rY4产

22.解：(1)因为—1〈二且/+工=1.所以C的直角

1+产⑶1+"+(1+/丫

坐标方程为f+?=i(x*—1).

I的直角坐标方程为2x+gy+11=0.

x-cosa

(2)由(1)可设。的参数方程为《.'(。为参数，一兀＜。＜兀).

y-2sin。

l』、J2COSCT+2A/3sina+111\3j

。上的点到/的距离为----------7=-----------------L=--------'厂——

当a=—当时，4cos(。一三)+11取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为J7.

23.解：(1)+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2-¥a2>2ac,乂abc=\,故有

ah+hc+ca111

tz2+Z72+c2>ab+be+ca----------=-+-+

abcabc

所以'+'Q2+/+C2.

abc

(2)因为a,c为正数且〃bc=l,故有

=24.

所以(a+Z?)3+(〃+cP+(c+a)3>24.

绝密★启用前

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标I）

答案解析版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1•设z=]+2「则卜卜

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

先由复数的除法运算（分母实数化），求得z,再求|z|.

【详解】因为Z=一三所以

1+2,(1+2i)(l-2z)55

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质

直接求解.

2.己知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},3={2,3,6,7},则BAQA

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.

{1,6,7}

【答案】C

【解析】

【分析】

先求再求BcgA.

【详解】由已知得QA={1,6,7},所以BcG7A={6,7},故选c.

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思想得出答案.

3.已知a=log2（）.2力=2°2,c=0.2°3,则

A.a<h<cB,a<c<bC.c<a<bD.

b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】

运用中间量0比较。，c,运用中间量1比较b,c

O3

【详解】«=log20.2<log,1=0,8=2°2>2°=1,0<0.2<0.2°=1,则

0<c<l,a<c</?.故选B.

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量

法，利用转化与化归思想解题.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是造二1

2

（避二1,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.止匕外，最美人体的头顶

2

至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是亚二1.若某人满足上述两个黄金分割比例，

2

且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】

【分析】

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.

【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则

生=.26+±=避二！得左。42.07刖,ya5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下

xy+1052

端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.

【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利

用转化思想解题.

_sinx+x.c,〜„

5.函数/(x)=------------^在［-兀，兀］图像大致为

cosx+x~

【答案】D

【解析】

分析】

先判断函数的奇偶性，得了（X）是奇函数，排除A,再注意到选项的区别，利用特殊值得正

确答案.

sin(-x)+(-x)-sinx-x

【详解】由f(-x)=2-=一/（幻，得F（x）是奇函数，其图象关

cos(-x)+(-x)2cosx+x

jr04+27rJr

于原点对称.又/（工）=--=—厂>1,/（乃）=—^>0.故选D.

2（马2乃Z-1+乃2

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性

质法或赋值法，利用数形结合思想解题.

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,1000,从这些新生

中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学

生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号

学生

【答案】C

【解析】

【分析】

等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判断得出答案.

【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学

生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{4},公差d=10,

所以=6+10〃(neN*),

若8=6+10“，则〃=；,不合题意；若200=6+10“，则〃=19.4,不合题意；

若616=6+10”，则”=60,符合题意；若815=6+10〃，则〃=80.9,不合题意.故选

C.

【点睛】本题主要考查系统抽样.

7.tan255°=

A.一2一百B.-2+73C.2—&D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】

本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式

计算求解.题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】详解：

tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=

1+3

tan45°:an30。T=2+£

1-tan45tan306

【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能

力.

8.已知非零向量a,b满足同=2瓦且(a-b)lb,则a与b的夹角为

71c兀「2兀e5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化

归、数学计算等数学素养.先由3-加，。得出向量a力的数量积与其模的关系，再利用向

量夹角公式即可计算出向量夹角.

【详解】因为(a—勿，6,所以(a—»必=a力—〃=0,所以。山=/,所以

a-b闻21

cose=b^=-$=7,所以a与b的夹角K为故选B.

瓦网2b\-23

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式

求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为万].

]

9.如图是求2+」了的程序框图，图中空白框中应填入

2d--

2

11

A.A=-----B.A=2+—C.A=------D.

2+AA1+2A

,1

A=l+—

2A

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特

征与程序框图结构，即可找出作出选择.

【详解】执行第1次，A=，M=142是，因为第一次应该计算<T=<■,k=k+l=2,

22+-2+A

I

循环，执行第2次，k=2<2,是，因为第二次应该计算2+」7=」一，％=k+1=3,

2+12+A

2

循环，执行第3次，k=2<2,否，输出，故循环体为A=」一，故选A.

2+A

【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A=—.

2+A

10.双曲线C:1-与=1(“>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为

a"b"

A.2sin40°B.2cos40°C.D.

sin50°

_1

cos50°

【答案】D

【解析】

【分析】

h，2=tan50。，再利用

由双曲线渐近线定义可得--=tan130°求双曲

a

线的离心率.

【详解】由已知可得-b-=tan130°,...b上=tan50。,

!sin250°kin2500+cos250。—1

+2

cos50°Vcos250°cos50°

22

【点睛】对于双曲线:__21对于椭圆

/b2

”.△A5C的内角A,B,C的对边分别为b,c,已知〃sinA—bsin5=4csinC,cosA=——,

4

则2=

c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推论得出小b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由己知及正弦定理可得"一从=402,由余弦定理推论可得

1,b2+c2-a2C2-4C213cl匕3,,+

——=cosA=--------------,/.---------=——，.二一=一,.・.一=—x4=6,故选A

42bc2bc42b4c2

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.

12.已知椭圆C的焦点为耳(-1,0)，6(1,0),过巴的直线与C交于A,B两点.若

|伍|=2|”,|AB\=\BF],则C的方程为

22222

A.—+y23=1B.Z+工=1C.土+JD.

2-3243

----1----=1

54

【答案】B

【解析】

【分析】

可以运用下面方法求解：如图，由已知可设|鸟耳=〃,则|隹|=2〃,忸耳|=|明=3〃,

由椭圆的定义有2〃=忸娟+忸q=4〃，二恒制=2a—|A周=2〃.在A4片鸟和耳巴

41+4-2・2〃・2・cosZAF)F；=4〃2,/…厂’八厂厂

中，由余弦定理得〈2212，又NA5耳，/3月可互补,

22

/?+4-2•n•2•cosZBF2F}=9n

两式消去居耳后耳,得

/.cosZ.AF2FX+cos/.BF2FX=0,cosNA，cosNB3/+6=11/,

解得〃=2a-4〃=2-\/3,a=A/3,h2—a2-c~=3—1=2,.,.所求椭圆方程为

2

22

+—1>故选B.

32

【详解】如图，由己知可设住耳=〃，则|A周=2"，忸用=|A用=3〃，由椭圆的定义有

2a=\BF\+\BF^=An,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在△/!/沔中，由余弦定理推论得

期功团史+哈生」在△人耳心中，由余弦定理得

12.2H-3M3

4"+4〃2一2・2〃・2〃°=4,解得〃="

32

22

.e.2a—4〃=25/3,a=V3,b~—a1—c1=3—1=2,.,・所求椭圆方程为—+=1,故

32

选B.

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力,

很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=3(/+*把，在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】3x-y=0.

【解析】

【分析】

本题根据导数几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得

切线方程

【详解】详解：y'=3(2x+l)e*+3(f+x)e，=3(f+3x+l)e\

所以，k^y'|,=0=3

所以,曲线y=3，+x)e，在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计

算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.

3

14.记S〃为等比数列｛〃〃｝的前〃项和.若q=LS3,则S4=.

【答案】

O

【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比4的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到

54.题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】详解：设等比数列的公比为4,由已知

131

S3=q+6q+〜=1+cj+=—,BP+—=0

解得4=-,

所以54=4(1—/)=1(I)=工

i-q8

【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及事的乘方运算、繁分式分式

计算，部分考生易出现运算错误.

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算

S4=1+a4=S3+q/=：+(_：)3二，避免繁分式计算.

428

3兀

15.函数/(%)=sin(2x+—)-3cosx的最小值为.

【答案】-4.

【解析】

【分析】

本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于

2万J'的二次函数.题目有一定的综合性，注重了基础知识、数学式子的变形及运算求解

Ko

能力的考查.

【详解】

3兀

f(x)=sin(2x+手)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1

〜3,217

=-2(COSXH---)H-----，

48

1<COSX<1,...当COSX=1时，/min(X)=-4,

故函数/(X)的最小值为-4.

【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视一IWCOSXWI的限制，而简单应用二次函数

的性质，出现运算错误.

16.已知/ACB=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点尸到/ACB两边AC,BC的距离均

为白，那么P到平面ABC的距离为

【答案】72-

【解析】

【分析】

本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面

垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.

【详解】作P2PE分别垂直于AC,BC,PO,平面ABC,连CO,

知CD±PD,CD±PO,PDC\OD=P,

\CDA平面POO,ODu平面PDO,

•；PD=PE=+，PC=2..♦.sinNPC£：=sinNPC£）=力，

2

/.NPGB=NPC4=60°，

:.POLCO,CO为/4C8平分线，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=6,又PC=2,

：.PO=y[4^2=y/2■

【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难

解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解

题事半功倍.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：60分。

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n(ad—be?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(aX)

k

43

【答案】（1）—；

（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【解析】

【分析】

(I)从题中所给的2x2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算

出相应的频率，即估计得出的概率值；

(2)利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服

务的评价有差异.

【详解】(1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，

_404

所以男顾客对商场服务满意率估计为《=济=不.

50名女顾客对商场满意的有30人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为鸟=而30=]3,

,八主-r七100(40x20—30x10)2100,

(2)由列联表可知K~=----------------=——«4.762>3.841-

70x30x50x5021

所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利

用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目.

18.记为等差数列｛斯｝的前n项和，已知S9=一公.

(1)若43=4,求｛〃"｝的通项公式；

(2)若〃1>0,求使得的"的取值范围.

【答案】(1)4=-2〃+10；

(2)1W〃410(〃WN*).

【解析】

【分析】

(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于4和d的方程组，求得多

和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

(2)根据题意有。5=。，根据4>0,可知d<0,根据〉生，得到关于"的不等式，

从而求得结果.

【详解】设等差数列｛4｝的首项为q,公差为d,

c9x87.…、

9a+---d=-(a+4d)

根据题意有J121,

4+2d=4

4=8

解答<,所以4=8+(〃-1)X(-2)=-2〃+10,

a=-2

所以等差数列｛4｝的通项公式为%=-2〃+10；

(2)由条件59=-%，得9%=-%，即4=0，

因为q>0,所以d<o,并且有％=q+4d=o,所以有q=-4d,

由S,,>%得叫+△丁)J>a,+(n-l)J,整理得(/_9n)d>(2n-10)J,

因为d<0,所以有〃2-9〃42〃一10，即“2一11〃+1040,

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范围是：14〃410(〃GN*)

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列

的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

19.如图，直四棱柱ABC。-A山的底面是菱形，44尸4,AB=2,/54。=60°,E,M,

N分别是BC,BBi,A/D的中点.

(1)证明：MN〃平面C/£>E；

(2)求点C到平面C/DE的距离.

【答案】(1)见解析；

⑵晅.

17

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位线和可证得，证得四边形脑7。£为平行四边形,

进而证得MN//DE,根据线面平行判定定理可证得结论；

(2)根据题意求得三棱锥G-CDE的体积，再求出ACQE的面积，利用％.°E=L.CQE

求得点C到平面C.DE的距离，得到结果.

【详解】(1)连接ME，BC

•.•M，E分别为3耳，5c中点为M8C的中位线

/.ME//BC且ME=LB.C

121

又N为A。中点，且4043。:.NDI/B\C且ND=gB\C

：.MEHND四边形MNDE为平行四边形

:.MN//DE,又肱V.平面GOE,DEI平面6。石

.♦.削//平面匕。石

(2)在菱形ABCO中，E为5c中点，所以Z5EJ_BC,

根据题意有。E=百，G?=J万，

因为棱柱为直棱柱，所以有DEJ•平面8CG4,

所以。ELEG，所以S&DEG=；X6X后，

设点C到平面GDE的距离为d,

根据题意有％-CDE=%-CQE，则有—x-XA/3XJF7xd=-X—xlx-\/3x4,

3232

解得〃喘=砰

所以点C到平面CQE的距离为生何.

17

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面

的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻

找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.

20.已知函数/(x)=2sinx-xcosx-x,/(x)为/(x)的导数.

(1)证明：/(%)在区间(0,乃)存在唯一零点；

(2)若利时，f(x)>ax,求”的取值范围.

【答案】(1)见解析；

(2)«e(-oo,0].

【解析】

【分析】

⑴求导得到导函数后，设为g(x)进行再次求导，可判断出当X西展享时，g'(x)>0,

当万]时，g'(x)<0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所

处的位置，证得结论；(2)构造函数/z(x)=/(x)一内，通过二次求导可判断出

"(x)而1,="(»)=-2-〃⑺皿=呜)=^^_"分别在a4―2,-2<a<0,

八万一27T—2

Q<a<-----和a>------的情况下根据导函数的符号判断/?(X)单调性,从而确定

22

h[x)>0恒成立时a的取值范围.

【详解】(1)/'(x)=2cosx—cosx+xsinx—l=cosx+xsinx—l

令g(x)=cosx+xsinx—1,则g'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

当X€(O,T)时，令g1X)=O,解得：X=^

二当X西假,会时，g，(x)>o；当xe信,时，g[x)<o

\g(x)在上单调递增；在(1，万)上单调递减

又g(O)=lT=O,g(S=、T>。'g(»)=TT=-2

即当X西路空时，g(x)>0,此时g(x)无零点，即尸(X)无零点

"3X°