北师版新课标高中数学必修1第一册同步练习题基本不等式在实际中的应用

基本不等式在实际中的应用

1.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方

米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和,其全程的平均时速为v,则（）

A.a<v<\[abB.v=4ab

-r-ra+b「a+b

C.7ab<v<------D.v=---

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3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓

储时间为二天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与

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仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A.60件B.80件C.100件D.120件

4.如图，建立平面直角坐标系尤Oy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千

米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程旷=日-卷（1+尸）尤20t>0）表示的曲

线上，其中左与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐

标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

5.某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关

系式C=3+x,每日的销售额S（单位：万元）与日产量尤满足函数关系式

k

3xH--------F5（0v%<6）,

x-8

14（x>6）.

已知每日的利润£=S-C,且当x=2时，L=3.

（1）求女的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.

6.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）1万件与年

促销费用加万元（加以）满足尤=3-——（左为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销

m+1

售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入

16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定

投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将该产品的年利润y万元表示为年促销费用，"万元的函数；

（2）该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少

万元？

7.已知直角三角形的周长/（定值）.问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大?

参考答案：

1.答案：c设底面矩形的长和宽分别为am、6m,则油=4.容器的总造价为

20ab+2（a+b）x10=80+20（a+/?）>80+40J拓=160（元）（当且仅当a=b时等号成立）.故

选C.

2.答案：A设甲、乙两地的距离为s,

贝h=3=

SS11

——I————I——

abab

小丁7.11,/T

--1>2J,••U〉〃，

abNab

X—+—>2A/-,.'.v<4ab.

abvab

故〃<v<y/ab，选A.

3.答案：B每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是则元，每件产品的仓储费

用是［元，则晒+白2器”彳=20,当且仅当&J,即尤=80时"="成立，

8x8\xSx8

二每批应生产产品80件，故选B.

4.解析（1）令尸0,得依-如+左②）尤2=0,由实际意义和题设条件知x>0,左>0,

故工=半==型=10,当仅当左二］时取等号.

1+k2

k

所以炮的最大射程为10千米.

（2）因为。>0,所以炮弹可击中目标o存在左>0，使3.2=姐-热（1+左2）02成立

o关于k的方程*廿-20。k+/+64=0有正根

=判别式A=（-20。）2-4次（4+64）>0

oa<6.

所以a不超过6（千米）时，可击中目标.

5.解析由题意得，每日的利润L与日产量尤的函数关系式为

2x+—^+2（0<尤<6）,

L=<x-8

11—x（x>6）.

k

（1）当x=2时，L=3,即3=2x2H-----1-2，得女二18.

（2）当X>6时，L=11-工为单调递减函数，故当X=6时，Lmax=5.

1Q1Q

当0cx<6时，L=2x+——+2=2（尤一8）+——+18<6,

x—8x—8

1Q

当且仅当2（%-8）=----（0<X<6）,即X=5时等号成立，即Lmax=6.

X-6

综上，当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元.

6.解析（1）依题意得m=0时，x=1,代入x=3----，得Z=2,即％=3-------

m+1m+1

年成本为8+16尤=8+16

所以y=(1.5-l)8+16|3---|-m

(m+1)

=28—加一一—(m>0).

m+1

(2)由(1)得y=29-(m+l)+^-<29-2./(;«+1)-^-=21.

_m+1JVm+1

当且仅当根+1=*-，即租=3时，厂家的年利润最大，为21万元.

m+1

7.解析:设直角三角形的三边分别为4,0,C,其中c为斜边，则

法1:

/+/=/,〃+/?+（?=/,

面积为g+8）2_（片+廿）］=；［（/_。）2-2d）

而*£三（W±］,宁），（C+/『>2/2,于是

因此面积的最大值为；［尸—2（&一1）尸］=3-2佃2,当且仅当.=也即直角三