人教版八年级上册数学教案14.3.2公式法

14.3.2公式法

第2课时

【教学目标】

知识与能力

1.理解完全平方公式的特点.

2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式.

3.能灵活应用提公因式法、公式法分解因式.

4.通过综合运用提公因式法、公式法分解因式,进一步培养学生的观察能

力.通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.

过程与方法

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，

掌握因式分解的基本步骤.

情感态度与价值观

培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应

用能力.

【重点难点】

重点:理解完全平方公式因式分解,并学会应用.

难点:灵活地应用公式法进行因式分解.

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

1.前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运

用学过的方法你能将a?+2a+l分解因式吗？

2.在括号内填上适当的式子,使等式成立：

⑴(a+»=.

(2)(a-b)2=.

⑶a?++l=(a+l)2.

(4)a2-+1=(a-l)2.

问题：(1)你解答上述问题时的根据是什么？

⑵第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变

形？(从左到右是乘法;从左到右是分解因式)

我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课就来研究如何

利用完全平方公式来进行因式分解.

二、探究归纳

活动一:完全平方式的概念

前面我们学习了乘法公式：(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2.

(1)观察等号右边的多项式：a2+2ab+b2和a2-2ab+b?有什么特征？

答:是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍.

(2)以上两式是乘法公式中哪个公式的结果？

答:完全平方公式.

点拨:把a?±2ab+b2这样的式子叫完全平方式.

【师引导生观察总结】完全平方式的特征：(1)是一个三项式.(2)两数的平

方和加上或减去这两数积的2倍.

活动二:运用完全平方公式分解因式

1.类比用平方差公式分解因式，我们把整式乘法的完全平方公式倒过来，

得

a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.

2.分析：可以发现，通过变形把一个完全平方式也变成了两个因式积的形

式(平方也就是两个相同因式积的形式)，即：两个数的平方和加上(或减去)

这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

3.归纳:完全平方公式：

⑴语言叙述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这

两个数的和(或差)的平方.

(2)符号表示：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.

点拨:完全平方公式的特点：

左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一

项是平方项幕的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的

和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.即：首平方、尾平方，

首尾积的2倍中间放.

注意：因式分解的完全平方公式与整式乘法的完全平方公式是方向相反的

变形.

活动三:例题讲解

例1：把下列多项式分解因式：

(1)X2+14X+49.(2)-x-+4xy-4y\

(3)(m+n)--6(m+n)+9.

分析：多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完全平方公式，第(3)

题中的m+n应看作一个整体,应用完全平方公式分解.

解析:(1)X2+14X+49=X2+2X7X+72=(X+7)2.

(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-y)2.

(3)(m+n)--6(m+n)+9=(m+n)2-2(m+n)X3+32=(m+n-3)2.

总结：在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：(1)先找平方项，再

运用公式.(2)若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑

用完全平方公式.

例2:把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2.(2)(a2+l)2-4(a2+l)+4.

分析:先提取公因式,再考虑应用公式分解.

解析：(1)原式=3a(x?+2xy+y2)=3a(x+y)；

⑵原式=(a2+l-2)2=(a2-l)2=(a+l)2(a-l)2.

总结：能提取公因式的首先应当提取公因式，再考虑应用公式分解,对于平

方项的底数是多项式的要看作一个整体.

三、交流反思

由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来

写,就得到多项式因式分解的公式,主要的有以下三个:a242=(a+b)(a-b);

a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

在运用公式因式分解时一,要注意：

(1)每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确

定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解,通常情况下，当多项式是二

项式时一，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时一，考虑用完全平方公式

分解.(2)在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组

合、变形、代换后，再使用公式法分解.(3)当多项式各项有公因式时，应该

首先考虑提公因式,然后再运用公式分解.

四、检测反馈

1.下列多项式是完全平方式的是()

A.a2-4a+4B.l+4a2

C.4b2+4b-lD.a2+ab+b2

2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是()

A.x2+lB.X2+2X-1

C.x2+x+lD.X2+4X+4

3.把代数式mx2-6mx+9m分解因式,下列结果中正确的是()

A.m(x+3)°B.m(x+3)(x-3)

C.m(x-4)2D.m(x-3)2

4.若x?+6x+k是完全平方式，则k=()

A.9B.-9C.±9D.±3

5.把l-6ab?+9a2bl分解因式的结果是()

A.(l-3ab)(l+3ab)B.(l-3ab2)(l+3ab2)

C.(l-3ab2)2D.(l+3ab2)2

6.分解因式：

(1)-a3+a2b--ab2=.

4----------

(2)16-8(x-y)+(x-y)J.

7.若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2=;当m+n=3时，式子m3+2mn+n:

的值为.

8.将下列各式因式分解：

(1)-m^-mn+n".

93

(2)3x-12x2y+12xy2.

⑶y1-8y2+16.

(4)2x3(x-2y)-32x5.

(5)(1-x2)(l-y2)-4xy.

9.已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值：

(l)x2+y2.(2)(x-y)2.

五、布置作业

教科书第119页练习第1,2题，第119页习题第3题

六、板书设计

14.3.2公式法

(第2课时)

完全平方公式:例题：练习：

a2±2ab+b2=(a±b)2.

七、教学反思

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.

1.它与平方差公式不同之处是：(1)多项式是三项式.(2)其中有两项

可以表示成平方的形式，且前面的符号