人教版高中数学选修（1-1）3.3.1函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数(周雪敏)

一、教学目标

1.核心素养

通过学习函数的单调性与导数，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力，并依据运

算法则解决数学问题.

2.学习目标

(1)理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断函数单调性的方法及步骤.

(2)能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间.

(3)能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推.

3.学习重点

1.函数的单调性与导数的关系.

2.利用导数研究函数的单调性，会求函数单调区间.

4.学习难点

L探究函数的单调性与导数的关系.

2.如何用导数判断函数的单调性，特别是含有参数的函数的单调性及其应用.

二、教学设计

(-)课前设计

1.预习任务

任务1

想一想：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断＞=/一4》+3的单调性，如何进行？有没

有需要注意的地方？

任务2

阅读教材P89—P90,并观察下面函数的图像，想一想，下列函数的单调性如何？

任务3

计算以上四个函数的导函数，并说明导函数函数值的符号，观察函数的单调性与其导函数的

正负间关系.

任务4

阅读教材P90—P93,找出疑惑之处.

2.预习自测

1.函数/(x)=2x-sinx在(-8,+8)上()

A.是增函数B.是减函数

C.在(0,+8)上增，在(一8,0)上增

D.在(0,+8)上减，在(一8,0)上增

解：Ar(x)=2-cosx>0在(一8,+8)上恒成立.

2.函数/(x)=x-lnx的单调递减区间是.

解：(0,1)函数的定义域是(0,+QO),/'(x)=l-L=E1<0n0<x<l,.•.函数的单调递

XX

减区间是(0,1).

3.若函数/(x)=x3+x2+mx+l是R上的增函数，则实数加的取值范围是.

解：。+8)由已知可得尸(x)=3/+2x+mN0在R上恒成立，.•.只需—解

得，〃2L

3

(-)课堂设计

1.知识回顾

(1)函数单调性的定义.

(2)用定义证明函数的单调性的一般步骤.

(3)判断函数单调性的方法.

(4)基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则.

2.问题探究

问题探究一函数的单调性与其导函数符号的关系g

活动一回顾旧知，回忆二次函数的单调性

在初中，我们已经学习过二次函数的图像和性质，请作出二次函数y=/—4x+3的图像，结

合图像得到该函数的单调性.

抛物线的对称轴为x=2,开口向上，函数在(2,+oo)上单调递增，在(-8,2)上单调递减.再

求出二次函数y=/-4x+3的导函数V=2x-4,可以发现，当x>2时，V>0；当x<2时，

Z<0.

・活动二整合旧知，探求函数单调性与导数的关系，得到新知

在抛物线对称轴的右边，任意取一些点，过这些点分别作出抛物线的切线，观察这些切线的

斜率，它们有怎样的共同点？在抛物线对称轴的左边，任意取一些点，过这些点分别作出抛

物线的切线，观察这些切线的斜率，它们又有怎样的共同点？函数在某个点处的导数值与函

数在该点处的单调性是怎样的关系？

函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是:

在X=X0处，/'（/）〉0,切线是左下右上，函数在X。附近单调递增；在尤=玉处,

/'（西）＜0,切线是左上右下，函数/3）在为附近单调递减.

函数的单调性可简单的认为是：若〃卫）二"上）＞0

x2一再

则函数/（X）为增函数，可把看作

%23

包=八匹）二/①）,说明函数的变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调

Axx2-%1

性有着密切的联系.

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在区间也,见内，如果r（x）〉o,那么

函数v=在这个区间内单调递增；如果r（x）＜0,那么函数y=/（x）在这个区间内

单调递减.

想一想：如果在某个区间内恒有r（x）=o,那么函数/（X）有什么特性？

如果在某个区间内，恒有函数y=/（无）的导数/（x）=0,则在这个区间上，函数y=/（x）是

常数函数.

注意：在某个区间内，若仅有有限个点所对应的导数值为0,则不能判断函数y=/（x）是常函

数.

问题探究二利用导数求函数的单调区间g

•活动一阅读并理解教材P91-P92的例1与例2,归纳出利用导数求函数的单调区间的步

骤.

求解函数y=/(x)的单调区间，就是解不等式/'(x)〉0或((x)<0,不等式的解集就是所求

的单调区间，其步骤如下：

(1)确定函数y=/(尤)的定义域；

(2)求导数y'=7'(x)；

(3)解不等式尸(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式广(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

注意：①在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨

论导数的符号来判断函数的单调性.

②如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“U”

连接，而只能用“，”隔开或用“和”字连接.

③在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点

和不可导的点.

④区间端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响.

•活动二初步运用，运用导数求函数的单调区间

例1判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：

(1)f(x)=2x3+3x2-24x+1；(2)f\x)=sinx-x,xe(0,n}；

(3)f{x}-3x2-21nx；(4)f(x)-ex-x

【知识点：利用导数求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

详解:⑴...小)=6/+6一4,二由广⑴〉。解得一号1或》>号1；由/3。

解得一姮七1〈尤〈巫二1,.•.函数的增区间为(_8,一亘±1)和(巫二1,+8)；减区间为

2222

(V17+1V17-1.

(-------,------)・

22

⑵当无£(0,»)时，:(x)=cosx-l<0,・・・/(幻在(0,万)上是减函数，.••减区间为(0,万).

⑶函数的定义域为(0,+8),r(x)=6x--=2.^—令尸(x)>0,即三~->0,解得

XXX

--<x<O^x>—,又无>0,所以x>走；令r(x)<0,即至」<0,解得

333x

x〈一半或0<x<*,又x〉0,所以0<x<*.所以/(x)的单调增区间为(g,+8),单

调减区间为(0,弓).

(4)/'(x)=e*—l,由((x)〉0解得x>()；由((x)<0解得尤<(),.•.函数的增区间为(0,+oo),

减区间为(-8,0).

点拨：(1)求函数单调区间的步骤是：先确定定义域，再求广(无)，最后通过尸(x)>0和/")<0

来求出单调区间

(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“U”

连接，而只能用“，”隔开或用“和”字连接.

例2证明函数/(x)=*在区间(0,2)上是单调增函数.

X

【知识点：导数法证明函数的单调性；数学思想：转化与化归】

详解：因为/(无)=止，所以/(x)=(lnx)‘x二lnx(x)'=*人，~丫=上芈,又因为xe(0,2),

XX"XX

所以lnx<ln2<l,故尸(幻=匕坐>0,即函数在区间(0,2)上是单调增函数.

x

点拨：(1)利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等

式/(x)〉0(或广(x)<0)在给定区间上恒成立.

(2)如果出现个别点使r(x)=0,不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性.

活动三对比提升，求含有参数的函数的单调区间

例3讨论函数/(x)=；/—〃]nx的单调性.

【知识点：导数法讨论函数的单调性；数学思想：分类讨论】

2

详解：函数的定义域为(0,+8),/'(x)=x—色='二当aW0时，•.•尤>0,.(x)>0,

XX

.../(x)在(0,+oo)上为增函数.当〃〉0时，/(幻=。+八)"一历,.•.当x>—时，

X

r(x)>0；当0<x(石时,尸(x)<0.，/(<在(0,&)上为减函数,在(6,+00)上为增函

数.

例4已知函数/。)=依+,+(1-a)ln光.若aWO,讨论函数/(x)的单调性.

【知识点：导数法讨论函数的单调性；数学思想：分类讨论】

详解：定义域为（0,+8）,八、）=。一二+匕£=竺？上吐1(ox+l)(x-l)

2

XXXx~

当a=0时，/（幻=二，/（x）在（0,1）单调递减，在（1,+oo）单调递增;

厂

当”（），令/（x）=0,解得％=1或*=-L

a

①当—1<〃<0时，/（X）在（0,1）和+oo）单调递减，在（1,-i）单调递增;

aa

③当a=-1时，/（x）在（0,+oo）单调递减；

④当a<—1时，/（x）在（0,--）和（1,+oo）单调递减，在（-',1）单调递增.

aa

点拨：解析式中含有参数时，注意对参数进行讨论，分类讨论时首先要明确需要讨论的对象,

再确定好分类标准，做到不重不漏.

活动四根据函数的单调性求参数的范围

结合函数y=/的单调性，你能判断：/（无）在区间（a力）内可导，如果/（功〉0,那么函数

y=/（x）在这个区间内单调递增；如果:（幻<0,那么函数,=/（x）在这个区间内单调递减的

逆命题成立吗？

逆命题不成立，如ly=/在/?上是增函数，但V=3/NO,当x=（）时，了=0,由此可见，

f'（x）>0（或（（x）<0）仅是/（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件,

在区间（a,份内可导的函数/（外在33）上递增（或递减）的充要条件应是/'（x）NO（或

f\x）<0）在xw（a,b）恒成立,且。'（尤）在（a,b）上的任意子区间内都不恒等于0,这就是说，

函数在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有/（与）=0,甚至可以在无穷多个

点处/（%）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间・

因此，在已知函数/（X）为增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令（（x）NO（或

/'（x）40）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数

的取值能否使/'（X）恒等于0,若能恒等于0,则参数这个值应舍去，若/'（X）不恒等于0,则

由广（x）20（或/'（x）40）恒成立解出的参数的取值范围确定.

例5右函数/（x）=q/—5依-+m—i）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6,+8）内为增函

数，试求实数。的取值范围.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

1

详解：法1：f'(x)-x-ax+a-\-(x-l)[x-(a-1)],令/(x)=0,得罚=1,x2=a-\.

f(x)在区间(1,4)内为减函数，，当xw(1,4)时,f\x)<0:/(x)在区间(6,+oo)内为增函数，

.•.当xe(6,+oo)时，f\x)>0,.*.4<a-l<6=>5<a<7,二实数。的取值范围为[5,7].

法2：/")=/—以+a—1,/(x)在区间(1,4)内为减函数，...当xe(l,4)时，f'(x)<0；f(x)

在区间(6,+8)内为增函数，.•.当xG(6,+oo)时，f'(x)>0，，

7,,(1)<0[0<0

<广(4)40=«-34+1540=5W。〈7,二实数。的取值范围为[5,7].

f'(6)>01-5a+35NO

法3：尸(x)=Y—初+a—1,•.•/(X)在区间(1,4)内为减函数，.•.当xe(l,4)时，/(x)WO恒

成立，即——ax+a—140=a(x-l)之炉—1恒成立,BPa>(x+l)max,a>5,'.,/(x)在区

间(6,+oo)内为增函数，,当xe(6,+oo)时，f'(x)>0恒成立，即

2

x-or+a—120=>a(x-1)<X?—1恒成立，BPa<(-X+l)min»a<7,综上：5<a<7,

实数a的取值范围为[5,7].

例6已知函数/(x)=lnx+/+原在定义域内为增函数，求实数a的取值范围.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

详解：(法1)分离参数法

函数的定义域为(0,+8)，f'(x)=-+2x+a^2e+aX+l,由题意得：尸(划上0在xe(0,+oo)

XX

恒成立，即2/+依+1»0在彳€(0,+8)恒成立，即(2x+1)]max，又2x+」22正，当且

XX

仅当x=E时等号成立，.•.[-(2x+1)]max=-2&,二。？-2五，.•.实数。的取值范围为

2x

[-2*\/2,-i-oo).

(法2)函数法函数的定义域为(0,+8),/~'(x)=L+2x+a=2厂+二+।,由题意得:f'(x)>0

XX

在(0,+8)恒成立，即2/+QX+120在%£(0,+8)恒成立，令g(x)=2/+QX+1,其图像开

口向上，恒过定点(0,1),则只需△<()或-040,解得2点，.•.实数。的取值范围为

4

[-2,\/2,+oo).

点拨：(1)已知/(x)在区间。上单调n尸(处20或/(x)<0在区间。上恒成立.并检验参数

的取值能否使/'(X)恒等于0,若能恒等于0,则参数这个值应舍去，若/'")不恒等于0,则

由/'(x)20(或/'(x)W0)恒成立解出的参数的取值范围确定.

(2)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，但要注意分离参

数法不是万能的，如果参数不易分离或分离参数后得出的函数解析式较为复杂，性

质很难研究，就不要使用分离参数法.

问题探究三函数值变化快慢与导数的关系

活动一阅读教材P92-P93的例3,例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，

还可以看出其变化的快慢，你能从导数的角度解释函数值变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，

这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.

7已知/■是.■的导函数，/■的图象如右图所示，则.■的图象只可能是()

【知识点：函数单调性的判断】

解：由图可以看出函数/■的图象是一个二次函数的图象，在。与6之间，导函数的值是

先增大后减小，故在a与〃之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小.

故排除解A,B,C.故解为：D.

考点：函数的单调性与导数的关系.

3.课堂总结

【知识梳理】

数学知识：

(1)函数的单调性与导数的关系；如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况.

(2)求解函数y=/(x)单调区间的步骤：

①确定函数y=/(x)的定义域(养成研究函数的性质从定义域出发的习惯)；

②求导数f'(x)；

③得结论:/'")>0的解集在定义域内的部分为增区间；(汽)<0的解集在定义域内的部分为

减区间.

(3)已知函数在区间。上的单调性，求参数的取值范围：

若/(x)在区间。上是增函数，则转化为:(x)20在区间。上恒成立；若/(x)在区间。上是

减函数，则转化为/'(x)V0在区间。上恒成立.然后检验参数的取值能否使/'(x)恒等于0.

数学思想：数形结合、分类讨论和转化思想.

【重难点突破】

(1)在某个区间内，r(x)>0(//(x)<0)是函数/(x)在此区间内单调递增(减)的充分

条件,而不是必要条件.例如，函数/(%)=尤3在定义域(7,+8)上是增函数，但f'(x)=3x2>0.

(2)函数/(x)在(a,份内单调递增(减)的充要条件是广(x)40(r(x)K0)在(a,r内恒成立,

且尸(x)在(见份的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有/'1)=0不

影响函数/(x)在区间内的单调性.

4.随堂检测

1.函数yu)=x-iiw的递增区间为()

A.(—oo,1)B.(0,1)C.(1,+oo)D.(0,+oo)

【知识点：求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

解：C函数式x)的定义域为(0,+oo),f(x)=l-l,令r(x)>0,即1—L>0,

XX

-<1,：.x>\,故选C.

X

2.已知函数1*)=；1?+如+4,则“a〉0”是“/(X)在R上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【知识点：导数法讨论函数的单调性；数学思想：转化与化归】

解：A/,(x)=|x2+a,当a20时，/(x)20恒成立，故%>0"是'7U)在R上单调递

增”的充分不必要条件.

3.若函数兀^)=2_?—3〃/+6%在区间(2,+8)上为增函数，则实数机的取值范围为()

A.(一8,2)B.(-8,2]C.(一8,A)D.(一8,1]

22

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解：D・・•/(x)=6f—6〃a+6,当1£(2,+8)时，尸(幻20恒成立，即％2一3+120

恒成立，・・・mWx+L恒成立.令以工)=工+2_,g'(尢)=1—士，・••当x>2时，g1(x)>0,即

xxx

g(x)在(2,+8)上单调递增，.・.m・2+；=|,故选D.

4.函数,*x)=(x—3)ex的单调递增区间是()

A.(一8,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+°°)

【知识点：求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

解：D函数./U)=(x—3)e*的导数为八x)=e*+(x-3)e*=(x-2)el由函数导数与函数单调

性的关系，得当((x)>0时，函数/(x)单调递增，此时由不等式/'。)=5-2)/〉0,解得

x>2.

5.使y=sinx+亦为R上的增函数的a的取值范围是.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解：[l,+oo)只需>'=cosx+a20在R上恒成立，即a»-cosx在R上恒成立，,只需

a2(-COSX)max，-COSX<1,tZ>1.

(三)课后作业

基础型自主突破

1.函数yu'x2—Inx的单调减区间是()

2

A.(0,1)B.(0,1)U(-co,-1)C.(-a),1)D.(-co,+oo)

【知识点：求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

解：A,.》=I%2—Inx的定义域为(0,+oo),/.y=x——,令y<o,即％—L<0,解得：

2xx

Oa<l或x<—l.又•.”>(),故选A.

2.函数/其中a,b,c为实数，当/—3X0时，/)是()

A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数

【知识点：函数单调性的判断；数学思想：转化与化归】

解：A求函数的导函数/(x)=3x2+2ar+/?,导函数对应方程/(x)=0的/=4(屋-3/?)<0,

所以/(x)>0恒成立，故,穴x)是增函数.

3.下列函数中，在(0,+8)内为增函数的是()

A.y=sinxB.y=xe2C.y=x3—xD.y=lnx—x

【知识点：函数单调性的判断；数学思想：转化与化归】

解:B显然y=sinx在(0,+oo)上既有增又有减，故排除A；对于函数丫=胧2,因e?为大于

零的常数，不用求导就知y=xe2在(0,+8)内为增函数；对于C,y=3f—l=3(x+¥)(x—

孝)，故函数在(一8,—乎)，(乎，+oo)上为增函数，在(一乎，白)上为减函数；对于

D,/=--1(^>0).故函数在(1,+8)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.

X

7

4.函数y=«x)在其定义域(-了3)内可导，其图象如图所示，记y=凡¥)的导函数为y=f(x),

则不等式/V)<0的解集为.

【知识点：函数的单调性与导数符号的关系；数学思想：转化与化归】

解：[_g,l]U[2,3)函数y=/U)为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的.

5.设_/0)=加+》恰好有三个单调区间，则实数。的取值范围为.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解:(-8,0)..丁。)=3加+1,且/U)有三个单调区间，，方程了(%)=3加+1=0有两个不

等的实根，.•.△=()2—4xlx3a>0,...〃<()二。的取值范围为(一8,0).

6.已知函数人%)=炉+如+8的单调递减区间为(一5,5),则函数y=/U)的递增区间是.

【知识点：求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

解：(一8,—5)和(5,+oo)/(幻=39+a•••(—5,5)是函数y=/0)的单调递减区间，则一

5,5是方程3f+a=0的根，：.a=~15.此时尸(x)=3f—75,令/'(x)〉0,则3f—75>0,

解得x>5或x<-5,...函数y=/(x)的单调递增区间为(一8,—5)和(5,+oo).

7.已知函数幺(#0,常数a6R).若函数«r)在龙e[2,+oo)上是单调递增的，求a

X

的取值范围.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解：(-00,16]f'(x)=2x--^=2xi~a.要使/(x)在⑵+8)上是单调递增的，则f\x)>0

XX

?丫3_

在犬w[2,+oo)时恒成立,即------20在尤w[2,+8)时恒成立.Vx2>0,2x3-a>0,

x~

33

：.a<2x^xe[29+s)上恒成立..\a<(2x)min.Vxe[2,+oo),y=2/是单调递增的，

31X

3X

/.(2x)min=16,，a(16•当a=16时，f'(x)=~>0(xe[2,+♦))有且只有广⑵=0,

X

...a的取值范围是(一8,16].

能力型师生共研

8.已知/(x)=x+2在(l,e)上为单调函数，则实数b的取值范围是()

X

A.(-co,l][/,+8)B.(-oo,0][/,+oo)C.(-co,e2]D.[l，e]

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

hh

解：Ar(x)=l—二，若为增函数，/(幻=1-320恒成立，则〃</,又工£(i,e),所

xx

以力41,同理若为减函数，/(x)=l-恒成立则人—i^b>e2.综上方K1或故

X'

选A.

9.设/),g(x)在[a,句上可导,且尸(x)>g，(x),则当a令。时，有()

A.1Ax)>g(九)B.fix)<g(x)

C./U)+g(a)>g(x)+/(a)D./U)+g3)>g(x)+/(h)

【知识点：函数的单调性；数学思想：函数与方程】

解：C•••r(x)—g<x)>O,，(/U)-g(x)y>O,."U)—gC^£[a,切上是增函数，...当。令。

时段)-ga)/a)-g(a)，."(x)+g(a)>g(x)+y(a).

10.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(1)=0,当x>0时，有⑴丁⑴〉0成立,

尸

则不等式外幻>0的解集是()

A.(-l,0)o(l,+oo)B.(-1,0)C.(l,+oo)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【知识点：函数的单调性；数学思想：数形结合】

解：A构造函数〃(》)=丛0,x>0,则"(x)=M'3：/⑶>0,x>(),.."(x)是(0,+8)

XX

上过点(1,0)的增函数，...当xe(0,l)时，幺也<0,从而则不等式/(x)>0的解集是得到

X

f(x)<0；当XG(1,+OO)时，△△>(),从而得到/(x)>0.由于函数/(x)是定义在R上的奇

X

函数，所以(—l,0)u(l,+8).

11.若0<玉<尢2<1，贝U()

2x,2v,

A.e^—e>lnx2-\nx}B.e'-e<Inx2-Inx1

x,X2x,

C.x2e>x,eD.x2e<

【知识点：函数的单调性；数学思想：函数与方程】

解：C构造函数/*)=W，则/3=上=='")<0,故/(幻=f在(0,1)上单调递

XXXX

减,故/(X])〉/(尤?)，•••巧e'>Fe、,故选C.

12.已知函数_/U)=V+苏+以+1的图象经过点「(0,2)，且在点M(一1，.穴—1))处的切线方

程为6x—y+7=0.

(1)求函数y=/W的解析式；

⑵求函数y=*x)的单调区间.

【知识点：导数的几何意义，求函数的单调区间；数学思想：转化与化归】

解：(1)/COujf3—3f—3x+2.(2)增区间为(一8，1—0)和(1+，+oo),递减区间为(1

-^f2,1+V2).⑴由y=/(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,：.J(x)=xi+b^+cx+2,f'(x)

=3f+2匕x+c.由函数图像在点M(—1,7(—1))处的切线方程为6x—y+7=0,知一6—/(—I)

+7=0,即人-1)=1,/(―1)=6.・・《，即1解得。=c=-3.故

—1+/?—c+2=l[/?—c=0

所求的解析式是於)=9一3W-3x+2.

(2)f(x)=3^-6x-3.令/⑴>0,得xvl一夜或x>l+&；令尸(功<0,得1一起<x〈l

+V2.故人%)=炉一3f—3x+2的单调递增区间为(一8,1—a)和(1+0,+oo),单调递

减区间为(1—血，1+0).

13.若函数yu)=/+“x+L在(J_,十⑹是增函数，求实数。的取值范围.

x2

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解：[3,+oo)因为/U)=f+ax+，在(工，+s)上是增函数，故/(x)=2x+a—±K)在

x2X-

(―,+oo)上恒成立，即2%在(L+s)上恒成立.令〃(%)=二一2%,则〃'(x)=一二

2x2xx

-2,当龙以；，+8)时，〃'(x)V0,则〃(x)为减函数，所以〃(x)V〃(；)=3.所以e3.

探究型多维突破

14.已知函数/(x)=(x+l)lnx-6z(x-l).

(I)当a=4时，求曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(II)若当xe(l,+8)时，/(x)>0,求a的取值范围.

【知识点：导数的几何意义，函数的单调性；数学思想：分类讨论】

解：(I)2x+y-2=0.(ID(-oo,2].

(I)/(x)的定义域为(0,+8).当a=4时，/(x)=(x+l)lnx-八x)=lnx+'-3,

x

/(l)=-2,/(l)=0.所以曲线)；=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程为2x+y-2=0.

(II)当xe(l,+oo)时，/(x)>0等价于Inx—~—>0.令g(x)=lnx-^^~,则

x+1x+1

2ax~+2(1-ci)x+1

,g(D=0

(X+以x(x+l)2

当a42,xw(l,+8)时，x2+2(l-n)x+l>x2-2x+l>0,故g'(x)>0,g(x)在xe(l,+oo)上单调

递增,因此g(x)>0；

当a>2时，令g，(x)=0得％=a-]-Ja-lf-I,/=a-]+'(a-l)?,由々>1和玉々=1得

%1<1»故当xea,%)时，g'(x)<0,g(x)在％e(l,%2)单调递减，因此g(x)<0.

综上，a的取值范围是(-%2].

15.已知函数f(x)=lnx-fcr+1.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若八龙)40恒成立，试确定实数攵的取值范围；

/°、,七加In2ln3]n〃n(n-V)...

(3)证明：——+——+LT+----<------(neN+,n>l).

34n+l4

【知识点：利用函数的单调性求参数的范围和证明不等式；数学思想：分类讨论】

解：(1)当44()时，在(0,+oo)上是增函数，当左>()时，/(x)在(02)上是增函数，在(L+8)

kk

上是减函数；(2)k>\-,(3)证明见解析.

(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),/(%)=,一女，当ZW0时，f\x)=~-k>0,/(x)在(0,+8)

XX

上是增函数；当Z>0时，若xe(0,L)时，有1(x)=L—%>0,若xe(L,+oo)时，有

kxk

f\x)=--k<0,则f(x)在(04)上是增函数，在(L+00)上是减函数.

xkk

(2)由(1)知ZW0时，/(x)在(0,+oo)上是增函数，而/⑴=1一%>0,/(x)40不成立，故

Z>0,又由(1)知/.(x)的最大值为/(：)，要使/(x)<0恒成立，则/(-)<0即可.，即一山攵W0,

k

得旧.

(3)由(2)知，当％=1时有/(x)WO在(0,+oo)恒成立，且/(x)在(1,+8)上是减函数，/⑴=0,

即lnx<x-l,在xe[2,+oo)上恒成立，令x=〃2,则InMc/?一i,即21n〃<(〃一1)(〃+1),从

=In〃n-\In2In3In/?123n-\n(n-1).-r-

而---<--------F----F…"F----<—+—+—+••-+----=------得证.

〃+1234n+122224

16.已知函数/'(x)=21nx—X?,g(%)=-a\r\x+x1+3ax+—,aeR.

x

(1)当a=0时，求/(x)的单调区间;

(2)令/z(x)=/(%)+g(x),求函数力(x)的单调减区间;

【知识点：求函数的单调区间；数学思想：分类讨论】

解：(1)/(x)的增区间是(0,1),减区间是(1,+8)(2)当。<-2,〃(x)的单调减区间为

(0,+oo)；当a=-2时，力度)的单调减区间为(0,+8)；当-2<a<0时，力(无)的单调减

a2

区间为(0一),(一L+8)；当时，〃(x)的单调减区间为(0-)

2a2

(1)当a=0时，/(x)=21nx-x2,故尸(x)=20+"始一”)(x>0),当0<x<l时，f\x)>0,

X

/(X)单调递增；当x>l时，f'(x)<0,/(X)单调递减；，/(x)的增区间是(0,1),减区间是

(l,+oo).

(2)fi'(x)=+(2「幻"T=②T)产+D,令"(的=。得玉=一4,々=L,

若。2(),由"(x)<0得0<x<」，二〃(x)的单调减区间为(0」)；

22

若a<(),①当a<—2时，一!<」，由"(x)<0得0<%<-,，或龙〉，，所以/z(x)的单调减区

a2a2

间为(0,一4),(1,+8);

a2

②当a=-2时，总有/(x)=-匕上W0,故以幻的单调减区间为(0,+8)；

厂

③当—2<a<0时，由“(x)<0得0<x<,，或》>—所以〃(幻的单调减区间为

a22a

(0,：),(」,+8)；

2a

综上所述，当。<-2,7/(x)的单调减区间为(0,-工),4,+00)；

a2

当a=-2时，〃(x)的单调减区间为(0,+oo)；

当—2<。<0时，〃(公的单调减区间为(0」),(-±+8)；

2a

当时，〃(x)的单调减区间为(0,g)

(四)自助餐

1.函数/(x)=x+lnx在(0,6)上是()

A.单调增函数B.单调减函数

C.在(0」)上是减函数，在(±6)上是增函数

ee

D.在(0一)上是增函数，在d，6)上是减函数

ee

【知识点：函数单调性的判断；数学思想：转化与化归】

解：A•.•/'(尤)=1+工>0,...函数在(0,6)上单调递增.

X

2.r(x)是函数y=*x)的导函数，若y=r(x)的图象如图所示，则函数>=/)的图象可能是

()

ABCD

【知识点：函数单调性与导数的关系；数学思想：转化与化归】

解：D由导函数的图象可知，当x<0时，/'(x)>0,即函数火x)为增函数；当0<x<2时，/在)<0,

即./W为减函数；当x>2时，/。)>0,即函数7U)为增函数.观察选项易知D正确.

3.如果函数/U)的图象如图，那么导函数y=/'(x)的图象可能是()

【知识点：函数单调性与导数的关系；数学思想：转化与化归】

解：A由兀0与/'(x)关系可选A.

4.设函数/(幻=，+3%-4,则y=/(x+l)的单调减区间为()

A.(—4,1)B.(—5,0)C.(—3,2)D.(—―,+oo)

【知识点：求函数的单调区间，函数图像的平移；数学思想：转化与化归】

解：B由广(尤)=炉+3%一4<0可得—4<x<l,，y=/(x+l)的单调减区间为(一5,0).

5.设p"(x)=e*+lnx+2x2+/nr+l在(0,+8)内单调递增,q：m^-5,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【知识点：充要条件，函数的单调性求参数的范围；数学思想：转化与化归】

解：B由题意得f(x)=e*+，+4x+m,/(x)=e*+lnx+2x2+如+1在(0,+°0)内单调

递增，.•./'(X)20,即0，+4+4彳+机在定义域内恒成立，由于，+4尤24,当且仅当工=4x,

XXX

即x=’时等号成立，故对任意的xd(0,+8),必有e*+4+4x>5一4x不能得

2xx

出加2-5,但当加2-5时，必有e*+,+4*+/”20成立，即/1'(x)20在xe(0,+8)上成立，

x

〃不是q的充分条件，P是4的必要条件，即〃是q的必要不充分条件.

6.若函数/(》)=电二，e<a<b,则()

x

A.f(a)>S)B.于0=f(b)C.f(a)<f(b)D./(«)/0)>1

【知识点：函数的单调性比较大小；数学思想：转化与化归】

解：A因为囚(x)=,当尤>e时，f'(x)<0,所以/(x)在(e,+oo)上是减函数，从而由

x

e<a<。知，/(a)>(。)，所以解应填：f(d)>(b).

7.若函数在(0,1)内单调递减，则实数。的取值范围是.

【知识点：由函数单调性求参数范围；数学思想：转化与化归】

解：［1,+oo)V/,(x)=3x2-2ar-l,又於)在(0,1)内单调递减，，不等式3/—2以一1WO

在(0,1)