新教材高中数学函数的概念与性质章末复习教学案新人教A版必修第一册

第3章函数的概念与性质

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1.同一函数的判定方法

(1)定义域相同；

(2)对应关系相同(两点必须同时具备).

2.函数解析式的求法

⑴定义法；

(2)换元法；

⑶待定系数法；

(4)解方程(组)法；

(5)赋值法.

3.函数的定义域的求法

⑴已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.

⑶复合函数问题

①若函数/"(X)的定义域为［a,b］,函数/［g(x)］的定义域应由aWg(x)Wb解出；

②若函数F［g(x)］的定义域为［a,6］,则函数f(x)的定义域为函数g(x)在［a,6］上的值域.

注意：①函数f(x)中的x与函数中的g(x)地位相同.

②定义域所指永远是x的范围.

4.函数值域的求法

⑴配方法(二次或四次)；

(2)判别式法；

(3)换元法;

(4)函数的单调性法.

5.判断函数单调性的步骤

⑴设司，田是所研究区间内任意两个自变量的值，且水及；

⑵判定?(不)与Ax?)的大小：作差比较或作商比较；

(3)根据单调性定义下结论.

6.函数奇偶性的判定方法

首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数/'(—X)与f(x)之间的关系：①若函

数F(一x)=f(x),则F(X)为偶函数；若函数f(—x)=—f(x),则/(X)为奇函数；②若H—

X)—F(x)=O,则f(x)为偶函数；若/'(x)+f(—x)=0,则f(x)为奇函数；③若44=1(『(一

“一出

x)WO),则f(x)为偶函数；若＜&=—1(『(一x)WO),则F(x)为奇函数.

以一组

7.嘉函数的图象特征

(1)募函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，图象最多只能

同时出现在两个象限内，至于是否在第二、三象限内出现，则要看塞函数的奇偶性.

(2)幕函数的图象在第一象限内的变化规律为：在第一象限内直线x=l的右侧，图象从下

到上，相应的指数由小到大，直线x=l的左侧，图象从下到上，相应的指数由大到小.

8.函数的应用

解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解,

弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生

活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体

积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力.

学科思想培优

一、函数的定义域

函数的定义域是指函数y=f(x)中自变量x的取值范围.确定函数的定义域是进一步研究

函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要

组成部分.所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用.

3v2

[典例1](1)函数f(x)=Y=+(3x—l)°的定义域是()

(2)已知函数尸/'(x+l)的定义域是[—2,3],则尸f(2x—1)的定义域是()

"5"

A.0,-B.[-1,4]

C.[-5,5]D.[-3,7]

1—x〉0,

解析(1)由题意，得

(2)设〃=x+l,由-2W^3,得一1WX+1W4,所以尸广(〃)的定义域为[―1,4],再由

55

一lW2x—1W4,解得OWAg,即函数尸F(2x—1)的定义域是0,

答案(1)D(2)A

二、分段函数问题

所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数.分段函数是一个函数

而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集.分段函数求值等问

题是高考常考的问题.

2x-\-a,XI,

［典例2］已知实数aWO,函数F(x)=

一x一2a,

若Hl—&=F(l+a),则乃的值为.

解析①当1—水1,即a>0时，此时a+l>l,

3

由=f(l+a),得2(1—a)-\-a=—(1+a)~2a,解得司=一］(舍去)；

②当1—a>l,即水0时，此时a+l〈l,由F(1—a)=F(l+a),得一(1—a)—2d=2(1+向

33

+%解得a=—这符合题意.综上所述，-3=--

答案W

三、函数的单调性与奇偶性

单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转

化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等

式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛.

奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，常

能使求解的问题避免复杂的讨论.

［典例3］定义在(-1,1)上的函数f(x)满足：

①对任意的x,ye(-l,1),均有f(x)+?5)=石丧力;②当xe(—1,0)时，f(x)〉0.

(1)判定函数/<x)的奇偶性；

(2)判定函数『(x)在(一1,0)上的单调性.

解(1)令x=y=0,得2F(0)=f(0),.*./(0)=0.

再令y=-x,得/*(x)+广(一x)=广(0)=0,

:•f(一必=—f{x},

・・・f(x)在(-1,1)上是奇函数.

(2)设一IXxi〈刘<0,贝lj加一矛DO.

E—X1

f(xj—f(xi)=f(x/+F(—xi)

1—X1X2

•・•一1〈矛1*0,

l+^i>0,1+^2>0,且0<荀至〈1,

X2~Xl

Xi莅<1,------------>0.

l-XlX2

*.*X2—X\—1~\~X1X2=(X2—1)+不(吊—1)

=(1+xi)(X2—1)<0,

X2—X1

:・0〈生一荀<1—矛1E,.,.0<---------<1.

1—X1X2

・・・x£(—1,0)时，f(x)>0,且，X)为奇函数,

・・・x£(0,1)时，F(x)〈0,

/.f(.X2)—(矛1)<0,即f(x2)<f(xi).

・・・F(x)在(一1,0)上单调递减.

四、函数图象及应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数

重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握好函数的性质，有助于函数图象正确地画出.函

数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.

[典例4]设函数f(x)=3—2|x|—1(-3WxW3).

(1)证明：函数F(x)是偶函数；

(2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数广(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上Ax)的单调性；

(4)求函数的值域.

解(1)证明：・・,函数Ax)的定义域关于原点对称，

且f{—x)=(―A)2—2|—x\—1

=x-21x\—\=f(<x),

即f{-x)=f(x),/.f(x)是偶函数.

(2)当0WxW3时，

f{x}=x—2x—l=(^―I)2—2.

当一3W水0时,f{x)=x+2x—1=(x+1)2—2.

](x—以一2(0<xW3),

即F(x)=2

[(x+1)—2(—3Wx<0).

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图.

(3)函数f(x)的单调区间为［—3,-1),［-1,0),［0,1),［1,3］.

f(x)在区间［—3,—1)和［0,1)上单调递减，

在［—1,0)和［1,3］上单调递增.

(4)当0WxW3时，函数/1(x)=(x—1产—2的最小值为一2,最大值为a3)=2；

当一3Wx〈0时，函数F(x)=(x+1产-2的最小值为一2,最大值为『(一3)=2.故函数F(x)

的值域为［—2,2］.

五、塞函数的图象问题

对于给定的幕函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义

域、值域、单调性、奇偶性等性质.注意图象与函数解析式中指数的关系，能够根据图象比

较指数的大小.

［典例5］如图是幕函数y=x",y=x",y=x°,y=x’在第一象限内的图象，则a,b,c,

d的大小关系为()

A.a<b<长d

B.a〈b〈d〈c

C.从a<c〈d

D.从a<d〈c

解析由幕函数的图象特征可知，在第一象限内直线X=1的右侧，图象从下到上，相应

的指数由小到大.故选A.

答案A

六、函数模型及其应用

建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x,y分别表示；

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域；

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.

［典例6］已知A,6两城市相距100km,在两地之间距离A城市xkm的，处修建一垃圾

处理厂来解决46两城市的生活垃圾和工业垃圾.为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂

与市区距离不