(2018人教版)七年级下册数学教案全资料讲解

（2018人教版）七下数

学教案全（打印版）

精品文档

五相交线与平行线

5.1相交线(邻补角与对顶角)

一、数学目标

1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力

和有条理表达能力

2.在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对

顶角相等，并能运用它解决一些简单问题

二、教学重点与难点

重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用

难点:理解对顶角相等的性质的探索

三、教学流程

(一)导入新课：

在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的

特征。

1、在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。

2、互为邻补角：

(1)定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，

具有这种关系的两个角互为邻补角。

(2)性质：从位置看：互为邻角；

从数量看：互为补角；°

3、互为对顶角：

(1)定义：如果两个角有有一个公共顶点且它们的两边互为反向延长线，具有这种关系的

两个角互为对顶角。

(2)性质：对顶角相等

四、课堂小结

学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出.

角的名称特征性质相同点不同点

①两条直线相交面成的角对顶角没有公共边而

对顶角都是两直线相

对顶角②有一个公共顶点邻补角有一条公共

相等交而成的角，

③没有公共边边；两条直线相交

都有一个公共

j补角①两条直线相交面成的角时，一个有的对顶角

邻补角顶点，它们都

②有一个公共顶点有一个，而一个角的

互补是成对出现。

③有一条公共边邻补角有两个。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.1.2垂线及其性质

教学目标

1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺量角器过一点画已知直线的垂线。

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

教学重点与难点

1.教学重点：垂线的定义及性质。

2.教学难点：垂线的画法。

教学流程

一.预习检测

1、叙述邻补角及对顶角的定义。

2、对顶角有怎样的性质。

二.：新课导入：前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直

角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？

下面我们就来研究这个问题。|C

4、垂直：

（1）定义：垂直是相交的一种特殊情形。当两条直线相交所形成的四_________1

个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。它们交点叫做垂A@B

足。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

（2）性质：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。O

（3）表示方法：用符号“_L”表示垂直。

5、任何一个“定义”既可以做判定，又可以做性质。

6、垂线是一条直线，垂线段是垂线的一部分。

7、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：

垂线段最短）。

8、区分：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

两点间的距离：连接两点间的线段的长度。

“两点间的距离”和“点到直线的距离”是两个不同的概念，但是“点到直线的距离”是

“两点间的距离”的一种特殊情况。

六：小结：

1.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念；

2.要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图

形；

3.垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

一、教学目标

通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有

条理表达能力

在具体情境中了解同位角、内错角、同旁内角，能找出图形中的一个角的同位角、内错角、

同旁内角，并能运用它解决一些简单问题

二、教学重点与难点

重点同位角、内错角、同旁内角：的概念.对顶角性质与应用

难点:理解同位角、内错角、同旁内角性质的探索

三、教学流程

(-)导入新课：

在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，本章要研究相交线所成的角和它的

特征。

9、内错角的定义：两个角都在截线的两侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做内错

角。

10、同位角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线的同一方。这样的两个角叫做同

位角。

11、同旁内角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做同旁

内角。

12、截线与被截直线的定义：截线就是截断两条同一方向直线的直线，被截直线就是被截线

所截断的两条同一方向的直线。

13、相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线

直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条

直线EF所截)，构成八个角。A2'4_________B

其中N1与N5这两个角分别在AB,CD的上方，并且在EF3'J、…

的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；交WD

N3与N5这两个角都在AB,CD之间，并且在EF的异侧，八-i-7\

CF

像这样位置的两个角叫做内错角；

N3与N6在直线AB,CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

注意：1、同位角、内错角、同旁内角都是成对出现，完全由相对位置决定。

2、上图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.2.1平行线

［教学目标］

1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；

2.理解并掌握平行公理及其推论的内容；会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行

线；

3.了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角；

4.了解平行线在实际生活中的应用，能举例加以说明.

［教学重点与难点］

1.教学重点：平行线的概念与平行公理；

2.教学难点：对平行公理的理解.

［教学过程］

一、复习提问

相交线是如何定义的？

二、新课引入

平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？

制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念.

三、同一平面内两条直线的位置关系

1.平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b平行，记作a〃

b.

（画出图形）

2.同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行.

3.对平行线概念的理解：

两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”.

一个前提：对两条直线而言.

四、平行公理

1.利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”.

2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

提问垂线的性质，并进行比较.

3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：

如果b〃a,c〃a,那么b〃c.c

五、三线八角7

由前面的教具演示引出.一一-

如图，直线a,b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角一^一平

有4对，内错角有2对，同旁内角有2对./

六:小结：'

（i）定义：在平面内不相交的两条直线，叫做平行线。/

（2）表示方法：用符号“〃”表示平行。

（3）公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（这个公理说明了平行线

的存在性和唯一性）。

（4）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.2.2平行线的判定

一.教学目标

（1）使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法；

（2）了解简单的逻辑推理过程.

二.教学重点与难点

重点：判定两条直线平行方法的应用；

难点：简单的逻辑推理过程.

三.教学过程

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么两直线平行。简称：同位角相

等，两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么两直线平行。简称：内错角相

等，两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称：同旁内

角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行

（简单说成：同位角相等，两直线平行）。

判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线互相平行

（简单说成：内错角相等，两直线平行）。

判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行

（简单说成：同旁内角相等，两直线平行）。

判定4：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。

解题方法总结：

1、由角的相等或互补的关系识别两直线平行。

2、把复杂图形分解成简单图形在识别各种角。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.2.3平行线的画法

［教学目标］

3.借助用直尺和三角板画平行线的过程,，得出直线平行的条件.

4.会用直线平行的条件来判定直线平行.

5.激发学生学习数学的兴趣.

［数学重点与难点］

重点：理解直线平行的条件.

难点：直线平行的条件的应用

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问

题.方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的

另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知

点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）.

您思考

E

我们以前已学过

用直尺和三角尺画平

行线（图5.2-5）.在

这一过程中，三角尺

起着什么样的作用？

图5.25

六、尺规作图：（考

试中涉及较少，也常常融合到综合题中进行考察，需要用到这个作图的方法而已）

复习题:

1.如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG

（1）N1与N2是直线_—和直线―被直线—_____所截而

成的________角.

（2）N3与N2是直线一—和直线__被直线_____一所截而成

的________角.

（3）N5与N6是直线―—和直线—_被直线_____—所截而成

的________角.

（4）N4与N7是直线一—和直线__被直线_____一所截而成

的________角.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

(5)N8与N2是直线和直线被直线________所截而成的角.

§5.3庠行铁的植质(-)

教学目标

1.使学生理解平行线的性质和判定的区别.

2.使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理.

重点难点

重点：平行线的三个性质.

难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定.

关键：能结合图形用符号语言表示平行线的三条性质.

教学过程

性质1：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等

(简单说成：两直线平行，同位角相等)。

性质2：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等

(简单说成：两直线平行，内错角相等)。

性质3：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角相等

(简单说成：两直线平行，同旁内角相等)。

平行线的性质：

(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

!解题方法总结：

i1、若给了平行线，则利用平行线的性质得到角的关系。

j2、若给了角的相互关系，则利用平行线的判定得两直线平行的位置关系。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

小结

我们是如何得到平行线的性质定理？通过度量，运用从特殊到一般的思维方式发现性质

1(公理)，然后由公理通过演绎证明得到后面两个性质定理.从因果关系和所起的作用来看

性质定理和判定定理的区别与联系.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.3.2命题定理证明

［教学目标］

6.经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条件表达能

力

7.理解两条平行线的距离的含义，了解命题的含义，会区分命题的题设和结论

8.能够综合运用平行线性质和判定解题

［教学重点与难点］

重点:平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念

难点:平行线性质和判定灵活运用

［教学设计］

(1)定义：表示判断一件事情的语句，叫做命题。

(2)分类：命题分为真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

(3)组成：命题是由条件(题设)和结论两部分组成。条件(题设)是已知事项，结论是

由已知事项推出的事项。

(4)定理：通过推理证实过的真命题叫做定理。定理也可以作为继续推理的依据。

3.命题和它的构成

下列语句，分析语句的特点

(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

(2)对顶角相等

(3)等式两边同加上同一个数，结果仍是等式

(4)如果两条直线不平行，那么同位角不相等

这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断

命题：判断一件事情的句子，叫做命题

(1)命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，

题设是已知项，

结论是由已知项推出的事项

(2)形式：通常写成“如果…，那么…”的形式，

三、尝试反馈理解新知

明确命题有正确与错误之分：

命题的正确性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可

以作为继续推理的依据.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

5.4平移

［教学目标］

9.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题

10.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题.

［教学重点与难点］

重点:平移的概念和作图方法.

难点:平移的作图.

［教学设计］

平移：

(1)定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为

平移变换，简称平移。

(2)性质1：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

性质2：经过平移对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应

角相等。

(3)作图步骤:

<1、按照题目要求，确定平移方向和距离；

2、找出所作图形的关键点，例如顶点；

I3、沿确定的方向和距离平移所有关键点；

、4、联结平移后的关键点并标出对应字母。

［小结］

1.在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上,当图形平移的方向是沿着一

边所在直线的方向时,那么此边上的对应点必在这条直线上

2.利用平移的特征，作平行线,构造等量关系是接7题常用的方法.

线

两邻补角,对顶角I对顶角相等I

相

条

直

交L垂线及其性质点到直线的距离

两

三

条

条

线

平相

直

直

的

面交

线

线

内

位同位角，内错角，同旁内角

所

被

两

置

截

第

条

关

直

系性质

平平行公理

行

判定

平移

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

第六章实数

6.1.1算术平方根

【教学目标】

知识与技能：

通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；

过程与方法：

通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算

术平方根的意义。

情感态度与价值观：

通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象

思维，为学生以后学习无理数做好准备。

教学重点：算术平方根的概念和求法。

教学难点：算术平方根的求法。

教具准备:三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。

教学方法：自主探究、启发引导、小组合作

【教学过程】

一、情境引入：

问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25力后的正方形画布，

画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

二、探索归纳：

1.探索：

学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长

为5dm。

2.归纳：

⑴算术平方根的概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。

⑵算术平方根的表示方法：

a的算术平方根记为及,读作“根号a”或“二次很号a"，a叫做被开方数。

三、应用：

求下列各数的算术平方根：

4917

(1)100⑵64(3)9(4)0.0001⑸0

解：⑴因为9=i°Q所以io。的算术平方根是1°,即Vl“)=i。；

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

72_49497_49_7

⑵因为W-64,所以64的算术平方根是C,B|JV64-8.

lN=3（q）2=3,74[^7=^=4

⑶因为§一9'3-9,所以’的算术平方根是5,即Y§V93.

⑷因为o.o『=o.oooi,所以0Q001的算术平方根是so】，即Jo.oooi=o.oi；

⑸因为02=0,所以°的算术平方根是°,即血=°。

注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；

②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；

③0的算术平方根是0。

由此例题教师可以引导学生思考如下问题：

你能求出一1,一36,—100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？

归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。

即：只有非负数有算术平方根，如果》=及有意义，那么02°"之°。

注：且心这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学

中慢慢渗透。

五、课堂小结

本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算术平方根

的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生

的学习热情，所以章前图的学习不要省略.能使学生理解引人算术平方根符号的必要性，明

确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

6.L2平方根

【教学目标】

知识与技能：

会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问

题。

过程与方法：

通过折纸认识第一个无理数夜，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算

器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一

些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的

应用。

情感态度与价值观：

通过探究正的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼

学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点：

①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。

②会用算术平方根的知识解决实际问题。

教学难点：

认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。

教学方法：自主探究、启发引导、小组合作

教学过程：

一、通过实验引入：

怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积

为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？

设大正方形的边长为X,则炉=2,由算术平方根的意义可知》=行，

所以大正方形的边长为

二、讨论夜的大小：

由上面的实验我们认识了后，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们

讨论后的大小。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

因为『=1,2?=4,[2<2<2?,所以1<拒<2.

因为1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4〈夜<1.5。

因为1.4/=1.9881,1.422=2.0164所以1.41<行<1.42

因为1.414=1.99939（,1.4152=2.002225,所以1.414<血<1.415

如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限

不循环小数。72=1.41421356...

注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教

师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。72=1.41421356……，是个无限不循环小数，但

是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如有，正，6等，

圆周率n也是一个无限不循环小数。

三、用计算器求算术平方根：

大多数计算器都有“L”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。

用计算器求下列各式的值：

（1）V3B6.（2）72（精确到0.00D

解：（1）依次按键«3136=,显示：56.所以"由=56

（2）依次按键-2=,显示：1414213562,这是一个近似值。所以血=1.414.

注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。

七、课堂小结

1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用

夹值的方法来求出算术平方根的近似值；

2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4、怎样的数是无限不循环小数？

5.学生体验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算

实际的局限无法体会）.

[1]平方根：

1.如果一个数x的平方等于a,那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当父="（。20）

时，我们称x是a的平方根，记做：*=±&3»0）。因此：

2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

3.当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：

x=±y[a

O

当aVO时，也即a为负数时，它不存在平方根。

6.1.3平方根与算术平方根

教学目标：

1、知识与技能目标：了解平方根与算术平方根的区别与联系。

2、过程与方法目标：通过学生的自主归纳过程，培养学生归纳问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：让学生自己归纳总结，激励学生积极参与教学活动，提高大家

学习数学的热情。

重点难点：平方根与算术平方根的区别与联系。

教学方法：归纳总结与练习相结合

教学过程：

一、复习导入

教师提问学生回答算术平方根与平方根的概念与性质。

1.平方根：如果一个数x的平方等于a,即斤a,那么这个x就叫a的平方根，表示为土

五,也叫二次方根，3和一3的平方都等于9,由定义可知3和一3都是9的平方根，即9

的平方根有两个3和一3,即土百=±3.

2.算数平方根：若一个正数x的平方等于a,即_?=小则这个正数x就叫做。的算术平方根.

记为读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定。的算术平方根是0,即

VO=0.9的算术平方根只有一个是3.即百=3.

3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0,负数

没有平方根.

4.算数平方根的性质：非负数(正数和0)才有算术平方根，负数没有算术平方根.即用式

子表示为&(a»0)一定为非负数

二、归纳总结

平方根与算术平方根的区别与联系

1、联系：

(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.

(3)0的平方根，算术平方根都是0.

2、区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负

平方根叫a的算术平方根”.

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

(3)表示法不同：正数。的平方根表示为土布，正数a的算术平方根表示为五.

(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个

三.平方根，算术平方根

(一)平方根定义：

如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根(二次方根)即：若

xJ。则x叫a的平方根

表示方法：一个正数a的平方根表示为土心(语言提问式)

若(a>0)贝!Jx=±G(方程提问式)

精品文档

开平方：求一个数。的平方根的运算叫做开平方.即求±4的运算叫开

平方.

算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为右，规定

。的算术平方根是0

（―）平方根的性质：

<i>个数性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平

方根就是0本身.负数没有平方根

<ii>还原性质：（由定义得出）当。之0时（±4）2=。即：非负数的平

方根的平方等于该数

算术平方根性质：

<i>当a之。时工之0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数

<ii>籽=同=["3（由定义得出）

111—a（a<0）J

<iii>个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个

</v>还原性质:当aN附（右）'=a

即非负数算术平方根的平方等于该非负数（化简求值）求下列各数的值；。

（三）y/a,—4a,土人的含义：（1）和_牙『；（2）Jx?_2x-l（1》x）.

右：当aNO时表示。的算术平方根

一石：当。之0时，表示。的算术平方根的相反数

±4a：当。上0时表示。的平方根

（四）平方根的求法：

逆运算法，式子计算

（i）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被开方数成为有一位或两位整数的数

（ii）被开方数的小数点每移动两位，算出的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位

四、课堂小结

平方根与算术平方根的区别与联系

1、联系：

⑴具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.

（3）0的平方根，算术平方根都是0.

2、区别：

（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”；“非负数。的非负

平方根叫a的算术平方根”.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±&,正数。的算术平方根表示为石.

(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。

【算术平方根】：

7

1.如果一个正数X的平方等于a,即厂=。，那么，这个正数X就叫做a的算术平方根，记

为：“五”，读作，“根号a"，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然

为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：GO(aNO)。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构

成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：而平方根

具有两个互为相反数的值，表示为：土

底数

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

6.1.4开平方

一、教学目标

1、通过认知冲突，感受开方运算引进的必要性，从而经历平方根概念的产生过程，感受平

方运算与开平方运算的关系。

2、了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示平方根和算术平方根。

3、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求实数的平方根和算术平方根。

4、学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物

主义观点。

二、重点与难点

重点：平方根的概念和求法。

难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示，是本节课的

难点。

三、教学过程

创设情境，设疑引新

1.已知底数和指数，求暴，叫乘方运算

2.已知指数和累，求底数，就构成了乘方的逆运算。

观察：

3.求嘉的运算叫乘方运算，a是x的平方幕

4.求底数的运算叫开方运算，X是a的平方根。

5.乘方和开方互为逆运算

概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫a的平方根。

根据填空中的等式，请同学们说出9、1/4和0的平方根，并概括一下平方根的性质:

结论：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

零有一个平方根，它是零本身；

一个数的平方根的表示方法：

------仁正的平方根表示为:

非负

数a卜

1负的平方根表示为：

如：49的平方根是+V493的平方根是:

贝！I收集于网络，如春侵权请联系管驾

精品文档

总结：开平方：

1、求一个数a(a2O)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和暴，求底

数。

2、是不是所有的数都能进行开平方运算？

不是，只有正数和零才能进行开平方运算。

3、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根也可以通过

平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。

6.1.5平方根的估算

【教学目标】

知识与技能

了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平

方运算求某些非负数的平方根

过程与方法

通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探

究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运

用，提高学生对问题的迁移能力。

情感、态度与价值观

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动

培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点：了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。

教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。

教学方法：自主探究、启发引导、小组合作

教学过程

一、探索归纳：

1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即：如果

2

x'=a,那么x叫做a的平方根.

求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

例如：±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.

2、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？

一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即

负数不能进行开平方运算，符号：正数a的算术平方根可用石表示；正数a的负的平方根

可用表示.

3.归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系.区别在于正数的平方根有两个，而它

的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算

术平方根可以立即写出它的负平方根。

三、小结

本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式x2=a和已有算术平方根概

念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，把握了这些平方根的有关

概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了.

四.归纳

1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.

一个非负数a的平方根记做

正数的正平方根和零的平方根,统称为算术平方根.

一个非负数a的算术平方根记做折，0的算术平方根是0

2、平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负

数没有平方根。

3、开方运算：求一个数的平方根的运算叫做开平方.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

6.2立方根

【教学目标】

知识与技能：

了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；

会用计算器求一个数的立方根。

过程与方法：

从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特

征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。

情感态度与价值观：

通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较

使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，

可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。

教学重点：立方根的概念和求法

教学难点：立方根的求法。

教学过程：

一、情景引入：

要制作一种容积为27/的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

二、探索归纳：

1.探索：设这种包装箱的边长为加，则Y=27,

这就是要求一个数，使它的立方等于27.

因为寸=27,所以x=3,即这种包装箱的边长应为3祖。

2.归纳：

立方根的概念：

一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根。

立方根的表示方法：

如果那么X叫做。的立方根。记作》=必，必读作三次根号

其中。是被开方数，3是根指数，折中的根指数3不能省略。

开立方的概念：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一

个数的立方根。

3、探索立方根的特点：

根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

（1）因为2,=8,所以8的立方根是（）；

（2）因为（）'=0/25,所以（）.125的立方根是（）；

（3）因为（）'=°,所以0的立方根是（）；

（4）因为（）3=-8,所以-8的立方根是（）；

1二---8---8

（5）因为（27,所以27的立方根是（）。

学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。

归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.

O

注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的

绝对值的立方根，然后再确它的相反数。

分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：]、被开立方的数字、=,

这样即可显示出计算结果

解：V107=10,Vi3=1。2,Vltf=itf,V10=r=10_|,VKF=IO-2

由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。

Vo.OOO216=0.（）6V216000=60

9o

【立方根】

1.如果X的立方等于a,那么，就称X是a的立方根，或者三次方根。记做：丸1,读作，3

次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但

是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2.平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都

有平方根，只有非负数才能有平方根。

|■一个正数有两个平方

平方根根，们互为相反数

o的平方根是0;

开平方.

负数没有平方根

乘方型也开方算术平方根「正数a的正的平方根

性质＜

[0的算术平方根是0

「正数有一个正的立

方根；

开立方一立方根

性质\负数有一个负的立

精品文档

平方根与立方根的联系与区别.联系：

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.

(2)平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于这个数就叫做。的平方根”；“如果一个数的立

方等于。，这个数就叫做。的立方根

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一

个负数有一个立方根.

(3)表示法不同

正数。的平方根表示为土右，。的立方根表示为标.

(4)被开方数的取值范围不同

士6中的被开方数。是非负数；折中的被开方数可以是任何数.

五、课堂小结

1.立方根和开立方的定义.

2.正数、0、负数的立方根的特征.

3.立方根与平方根的异同.

4.我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合，让学生带着原有的知识

背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学交流、反思等，构建

对知识的形成和运用。突出以学生的“数学活动”为主线，激发学生学习积极性，向学生提

供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的

数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。这样的安排符合掌握知识与

发展思维、能力相统一的原则、教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

6.3.1实数的分类

【教学目标】

知识与技能：

了解无理数和实数的概念以及实数的分类；

知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

过程与方法：

在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总

结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应

的关系。

情感态度与价值观：

通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；

敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。

教学重点：

了解无理数和实数的概念；

对实数进行分类。

教学难点：对无理数的认识。

【教学过程】

一、复习引入无理数：

3_347_9_2

利用计算器把下列有理数‘一寸至'打可写成小数的形式，它们有什么特征？

发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式

3479--5

3=3.0,--=-0.6,——=5.875,—=0.81,—=0.5

即：58119

归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，

反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。

通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，

把无限不循环小数叫做无理数。

比如行，一右，退等都是无理数。乃=3.14159265…也是无理数。

二、实数及其分类：

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

2.实数的分类

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

'（正整数一

整数彳零•

有理数质整数》有限小数或无限循环力檄，

「正您“

实数＜分数

I1负分数~J

‘正无理数

，无理数《卜无限不循环小数"

,负无理数•一

注意：

（D实数还可按正数，零.负数分类.

（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数,偶数一般用2"（”为整数）表示：

奇数一般用2”-1或2”+1（”为整数）表示.

（3）正数和零常称为非负数.

3、实数与数轴上点的关系：

我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。

归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；

反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

三、应用：

①带根号的数不一定是无理数，比如必了，它其实是有理数4；

②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。

比如10.12112111211112…。

五、课堂小结

1、无理数、实数的意义及实数的分类.

2、实数与数轴的对应关系.

关于无理数的认识是非常抽象的，只要求学生了解无理数和实数的意义即可，学生对实数的

认识是逐步加深的，以后还要讨论，所以本节课不易过难，教师要把握好难度。

【无理数】

1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在

初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率乃以及

含有乃的一些数，如：2-%，3万等；（2）开方开不尽的数，如:血，右，强等；（3）特殊结

构的数：如：2.01001000100001...（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带

根号的数不一定是无理数，如：如等;无理数也不一定带根号，如：万

2.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无

限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分

数），而无理数则不能写成分数形式。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

6.3.2实数的运算

【教学目标】

知识与技能：

掌握实数的相反数和绝对值；

掌握实数的运算律和运算性质.

过程与方法：

通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算

律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。

情感态度与价值观：

通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充

中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。

教学重点：

会求实数的相反数和绝对值；

会进行实数的加减法运算；

会进行实数的近似计算。

教学难点：

认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。

【教学过程】

一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：

1、相反数：有理数。的相反数是一。。

2、绝对值：当时，时=",当&W0时，时=一

3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负

数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。

二、实数的运算：

1.实数的相反数：数。的相反数是一

2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0