第二十七章相似单元测试卷2023-2024学年人教版九年级数学下册

人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷一、选择题1．下列两个图形一定是相似图形的是（）A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．3．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：4 B．1：2 C．1：8 D．1：164．如图，△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，A'A． B．6 C．4 D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，连接CD，若∠ACD=2∠B，，则的值是（）A． B． C． D．6．如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）A．B．C． D．7．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF的长是（）A． B． C． D．8．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为()A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm9．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为A．15 B．12 C．9 D．610．已知一个三角形的其中一个内角是它另外一个内角的两倍，且它的其中一边长是另外一边长的两倍，若它最短的边长为1，则这个三角形的周长不可能是（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，位似图形由三角尺与其灯光下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为㎝．12．在一张比例尺为1︰50000的地图中，小明家到动车站的距离有0.2米，则小明家到动车站的实际距离是米．13．已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=．14．如图，中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为三、解答题15．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格中有一个△ABC，请在网格中画一个顶点在小正方形的格点上，且与△ABC相似的面积最大的△A'B'C'，并求出它的面积S．16．如图所示，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF·AB.求证：（1）=；（2）△AEF∽△ACD.17．如图所示，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD.（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC∶S△DEC=4∶9，BC=6，求CE的长.18．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（1，0）、B（3，2）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）沿x轴向左平移2个单位，得到△A1B1C1，不画图直接写出发生变化后的B1点的坐标．点B1的坐标是；（2）①以A点为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1..②点B2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．19．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD=AC，连结BC并延长到点E，使CE=BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离．20．如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6.（1）求k的值和点D的坐标；（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标.21．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．22．如图①，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）如图②，当点P与点C重合时，求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图①证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），若∠ACB=a，直接写出的值，为．（用含a的式子表示）23．如图，在中，，．点是延长线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．（1）求证：；（2）如图1，若，，，求的大小；（3）如图2，若点为中点，，，求的长（用含的代数式表示）．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵DE//AB，∴∴的值为.故答案为：A.

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，据此解答.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，

∴这两个三角形对应边的比是1：4.故答案为：A.【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长比等于相似比.”可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，S△A△ABC的面积为9，ΔA′B′C′面积为.

故答案为：C.【分析】根据位似的两个图形一定相似，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可.5．【答案】B【解析】【解答】

取AB中点为点E设∠B=，则∠ACD=2∠B=2

设AD=x

又∵

∴BD=4x

∵E为AB中点

∴∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO

∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC

∴

∴

又∵AC=5xsin，AE=2.5x

∴

∴sin=

cos=

BC=

在中，

解得CD=

∴

故答案为：B【分析】取AB中点，设∠B=，则∠ACD=2∠B=2设AD=x，BD=4x根据∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO，得出；根据AC=5xsin，AE=2.5x，得出，进而得出sin=，cos=，BC=，在中，，解得CD=

因此，6．【答案】B【解析】【解答】解：小正方形的边长均为1，根据图形可知：BC=2，AC=，∠ACB=135°，

由选项中图形可知：A、C、D中的三角形中都不含有135°，故A、C、D三个选项都不符合题意；

由B选项图形可知：含有135°，且135°角的两边分别为1和，

，且夹角相等，

B选项符合题意.

故答案为：B.

【分析】观察图像可得∠ACB=135°，再根据选项中的图形可知A、C、D中均不含135°，不符合题意，再验证B选项即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：设DF和AE相交于O点，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，即∠FDC=∠ADE，∵AE⊥CF于点H，∴∠F+∠FOH=90°，∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，∴∠F=∠E，∴△ADE∽△CDF，∴AD：CD=DE：DF，故答案为：A.【分析】设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E＝∠F，∠ADE＝∠FDC，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．8．【答案】C【解析】【解答】解：设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，故答案为：C.【分析】根据题意刻画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵点C1是OC的中点，

∴OC=2OC1，

∴，

∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，

∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，

∴，

∵，

∴S△ABC=12故答案为：B.【分析】根据位似图形一对对应点与位似中心连线的比值等于位似比，而位似图形一定相似，且相似比等于位似比，进而再根据相似图形的面积之比等于相似比的平方可得答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，在中，，过点A作的角平分线交于D，∴，∴，又∵，∴，∴，当时，设，则，∴，∴，∴，解得，∴此时三角形的周长为，故B不符合题意；当时，设，则，∴，∴，∵，∴此时不能构成三角形；当时，设，则，∴∴，∴，解得，∵，∴此时不能构成三角形；当时，设，则，∴∴，∴，解得，∵，∴此时不能构成三角形；同理可得当，即，可得满足题意的，∴此时三角形的周长为，故A不符合题意；同理当，即，可得，∴此时，不符合题意，即三角形的周长不能为，故D符合题意；同理当，即，可得，∴此时三角形的周长为，故C不符合题意；故答案为：D.【分析】在△ABC中，∠BAC=2∠B，过点A作∠BAC的角平分线交BC于D，则BD=AD，∠ADC=2∠B=∠BAC，证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质可得，①当AC=1、AB=2时，设BC=z，CD=y，则BD=z-y，代入并求解可得z的值，据此可判断B；②当AC=1、BC=2时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2-y，根据相似三角形的性质可得y、z的值，此时不能构成三角形；③当AC=1、BC=2AB时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2z-y，代入求出z的值，此时不能构成三角形；④当AC=1、AB=2BC时，设AB=2z，CD=y，则BD=AD=z-y，同理求出z的值，此时不能构成三角形；⑤当AB=1、BC=2时，设AC=z，CD=y，代入求出AC的值，得到周长，进而判断A；同理判断C、D.11．【答案】20cm【解析】【解答】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，∴投影三角形的对应边长为：8÷=20cm．故答案为：B．【分析】根据位似图形对应边的比等于位似比，即可得出答案。12．【答案】10000【解析】【解答】因为比例尺为1︰50000，小明家到动车站的图上距离有0.2米，所以实际距离为：0.2×50000=10000（米）．

故答案是10000．

【分析】考查比例尺．13．【答案】4【解析】【解答】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得，∵AD=10，∴OD=10-OA，代入可得，解得OA=4，经检验，符合题意；故答案为：4．

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入解得，再求出OA的长即可。14．【答案】【解析】【解答】四边形是平行四边形，是边AD的中点，设，则，S四边形FEDCS△AFB：S四边形FEDC的值为

【分析】证明三角形相似，根据三角形相似性质得到三角形面积比，设置一个最简值，求出题目中所要求的面积，即可得到最后答案15．【答案】解：如图所示：△A'B'C'即为所求，可得△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：，则△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：5，∵△ABC的面积为：×1×2=1，∴S△A′B′C′=5．【解析】【分析】直接利用相似图形的性质得出最大三角形，进而得出相似比以及面积比，即可得出答案．16．【答案】（1）解：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC.∴=.（2）证明：∵AD2=AF·AB，∴=.由(1)，得=.∴=.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD.【解析】【分析】（1）由∠ADE=∠B可得DE∥BC，再根据平行线分线段成比例即可得到=；

（2）由AD2=AF·AB可得=，结合（1）中=，可得=，利用两边成比例且夹角相等即可判定△AEF∽△ACD.17．【答案】（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE.∴∠ACB=∠DCE.∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC.（2）解：∵△ABC∽△DEC，∴=()2=.∴=.∵BC=6，∴CE=9.【解析】【分析】（1）由∠BCE=∠ACD，先证得∠ACB=∠DCE，再利用两角相等的两个三角形相似即可判断△ABC∽△DEC；

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△ABC与△DEC的相似比为2：3，再代入数值即可解答.18．【答案】（1）（1，2）（2）；（﹣3，﹣4）（3）8【解析】【解答】解：（1.）根据平移规律，将点B（3，2）左平移2个单位，得到点B1的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）；（2.）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2（﹣3，﹣4）；故答案为：（﹣3，﹣4）；（3.）△A2B2C2的面积是：×4×2+×4×2=8．故答案为：8【分析】（1）直接利用平移的性质，得出各对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用割补法，求得△A2B2C2面积即可，将该三角形看成上下两部分即可得出答案．19．【答案】解：∵CD=AC，CE=BC，∴，∴，∵∠DCE=∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∵DE=15，∴AB=30（米）．【解析】【分析】由CD=AC，CE=BC，可得，结合∠DCE=∠ACB，可证△DCE∽△ACB，再利用相似三角形的性质，结合DE=15，即可求得AB的长.20．【答案】（1）解：设点坐标为，由题意得，，点在的图象上，，直线的图象与轴交于点，点的坐标为，轴，轴，，，点的横坐标为4.点在反比例函数的图象上点坐标为；（2）解：由（1）知轴，，，，过点作，垂足为点，交轴于点，，，，，点的横坐标为点在直线上，点的坐标为.【解析】【分析】（1）设D（m，n），由三角形的面积公式可得mn=6，求出mn的值，结合点D在反比例函数图象上可得k的值，令直线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A的坐标，根据平行线分线段成比例的性质可得OH=AO=4，即点D的横坐标为4，将x=4代入反比例函数解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；

（2）由（1）可知CD∥y轴，则S△BCD=S△OCD，由题意可得S△BDE=2S△OCD，则S△EDC=3S△BCD，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，根据△EDC、△BCD的面积公式可得EF=3OH=12，则EM=8，即点E的横坐标为-8，将x=-8代入直线解析式中求出y的值，据此可得点E的坐标.21．【答案】（1）解：如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣【解析】【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题．22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中，∠GBO=∠EPOOB=OP∴△BOG≌△POE（ASA）（2）（3）tanα【解析】【解答】（2.）解：猜想=．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中，∠MBN=∠NPENB=NP∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE