湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题

湖南省三湘名校联盟20202021学年高二上学期12月联考数学试卷考生注意：Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：必修1~4占20%，必修5、选修21、22第一章占80%。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，，则A. B.C. D.，，则是A.， B.，C.， D.，的图象在点处的切线方程为A. B.C. D.的定义域为A. B.C. D.城到城实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在的车辆有235台，则通行时间在的车辆台数是的图象大致为A. B.C. D.7.“”是“”的的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.，，且，则A. B. C. D.，其导函数为，则A. B.C. D.是角终边上的一点，则的对称轴方程为的对称轴方程为是奇函数是偶函数（，）与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左、右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是A.B.的离心率为，则的面积为2的面积为，则为钝角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.的左焦点的坐标为_______.，，，则的最小值为_______.的一个极值点为1，则在上的最小值为_______.16.有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6.随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，_______，且，？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.18.（12分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，二面角为，为中点.（1）证明：.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知函数.（1）当时，证明：在上单调递减.（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.21.（12分）已知圆，动圆与圆外切，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程.（2）若直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的切线，交于点.证明：在一定直线上.22.（12分）已知函数.（1）当时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），，求的取值范围.高二数学试卷参考答案1.C.2.B全称量词命题的否定是存在量词命题.3.D因为，所以.又因为，所以所求切线方程为，即.4.A由，得，所以原函数的定义域为.5.C因为，，，四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在的频率是，通过的车辆台数是.6.A令，其定义域为.因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；当时，，故，排除D.7.B若，则，，成立.若，则，得，或.当时，；当时，.故“”是“”的充分不必要条件.8.D令，则，因为，所以，所以在上单调递减.因为，所以等价于，解得，所以不等式的解集是.9.AC因为，所以，则.因为，所以.10.BC因为，所以.因为，所以.故.11.AD根据题意知角为第四象限角，且，则，所以，令，解得，所以函数的对称轴方程为.12.AD设点，，，则，且，两式相减得，所以.因为，所以，，故双曲线的渐近线方程.因为焦点到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A正确，B错误.对于C，不妨设在的右支上，记，则.因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为，故C不正确.对于D，设，因为，所以，将代入，得，即.由对称性，不妨取的坐标为，则，，因为，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.13.因为，所以，所以左焦点的坐标为.14.2因为，所以.因为，所以，即，所以.因为，，所以，即的最小值为2，当且仅当时取等号，此时.15.因为，所以，得.因为，所以在，上单调递增，在，，所以在上的最小值为.16.若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，基本事件的总数有种，其中既没有3，也没有6的基本事件共有种，则所求概率为..17.解：选①：∵，∴. ………3分∵，∴，. …………………6分∵，，∴. ………………………9分符合，故存在满足条件的. …………10分选②：∵，∴. ……………3分∵，∴. ………………………5分∵，∴，∴. ………7分由得. ……………9分符合，故存在满足条件的. …………10分选③：∵，∴. ………………………2分∵，∴. ………………………5分∵，∴，得，不成立. …………………9分故不存在满足条件的. …………10分18.解：（1）当时，，解得. ……………………1分因为，①所以当时，，②①②得， ……………………2分所以.. ………………………4分故数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为. ………6分（2）由题知，. ………………………7分所以，③，④…………………9分③④得，……………11分所以.………………………12分19.（1）证明：：四边形为正方形，∴.∵，，∴.∵，∴. …………………2分∵二面角为，∴.∵，，∴为等边三角形.∵为中点，∴.∵，∴.……………4分（2）解：过作，垂足为，易知为中点.∵，，，∴.设中点为，则，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方形的边长为2，∴，，，，，，∴，，.……7分∵，∴为平面的一个法向量.设是平面的法向量，则令，得.………10分∵，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分20.（1）证明：当时，函数，，………………1分若，则.…………………2分因为，所以，……………4分故在上单调递减.…………………5分（2）解：当时，，对恒成立；………………6分当时，由，整理得.………7分设，则.…………8分令，得，则在上单调递增；………9分令，得，则在上单调递减.…………10分所以，.………………11分综上，实数的取值范围是 …………………12分21.（1）解：设到直线的距离为，则，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹的方程为.……………………4分（2）证明：设，，，联立方程组得，则，，.………6分由，得，所以，所以切线的方程为，①同理切线的方程为.②………………10分由①—②，得，所以点在直线上.………………12分22.解：（1）当时，，定义域为，. ……………………1分设，则，………………2分令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，…………………3分所以在上为增函数.………………………4分故在上的最大值为，最小值为.……………5分（2）不等式可转化为，………