行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义

行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义（三）行列式的展开定理：1.行列式可按任一行（列）展开。4.（裂项）某行（列）元素为多项和，可按此行（列）裂为多个行列式相加；5.（加倍）某行（列）元素乘数k加到另一行（列），值不变。二、简单行列式的计算：1.直接判断为零；2.降阶法：按多零的行（列）展开

（也可以利用性质把某一行（列）元素尽可能多化为零）；第2页,共29页，2024年2月25日，星期天3.化为三角行列式。第3页,共29页，2024年2月25日，星期天课后思考：的值

的值有什么关系？与第4页,共29页，2024年2月25日，星期天分析：只对前k行运算，不影响后n行只对后n行列运算，不影响前k列第5页,共29页，2024年2月25日，星期天注：计算元素为很大数字的行列式注：行（列）等和行列式把后面各列(行）加到第一列(行），提取公因式。常用方法是将其他各行（列）元素表示成某行（列）元素的倍式加或减一个较小的数。第6页,共29页，2024年2月25日，星期天例5解：从第二行起，每行都加第一行，得：课本P19EX5(2)第7页,共29页，2024年2月25日，星期天例6解：从第二行，每行都减第一行，得：课本P19EX5(3)第8页,共29页，2024年2月25日，星期天注：逐次行（列）相加减，化简行列式，也是求行列式的一种常见方法。思考：计算n阶行列式：第9页,共29页，2024年2月25日，星期天提示：先把第一行加到第二行，然后再把第二行加到第三行，依此下去，最后把第n行加到第n+1行。第10页,共29页，2024年2月25日，星期天提示：从第一行起，每一行都减去其下一行。（P23例4）第11页,共29页，2024年2月25日，星期天四、行列式的其他常见计算方法简介：2.数学归纳法：4.加边法（添加一行一列，变成n+1阶再求解）；3.递推法：找出n阶行列式与其结构相同的较低阶行列式的关系再求解；

如范德蒙行列式的计算（课本24页例5）；1.按定义：不同行不同列元素乘积的代数和；5.折成行列式之积（或和）；6.作辅助行列式；(在介绍行列式的逆序定义后介绍）······第12页,共29页，2024年2月25日，星期天§3克莱姆法则一、齐次与非齐次线性方程组的概念对线性方程组若常数项全为零，则此时称方程组为齐次线性方程组。若常数项不全为零，则此时称方程组为非齐次线性方程组。第13页,共29页，2024年2月25日，星期天如果由n个方程构成的n元线性方程组：的系数行列式，则方程组有唯一解：其中，Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。二、克莱姆法则：（证明留待下一章进行）第14页,共29页，2024年2月25日，星期天例：用克莱姆法则解线性方程组：解：第15页,共29页，2024年2月25日，星期天第16页,共29页，2024年2月25日，星期天（课本29页例1）第17页,共29页，2024年2月25日，星期天则其只有零解:.推论1：若齐次线性方程组(1)的系数行列式，注：运用克莱姆法则的两个前提：1.方程个数与未知数个数相等；2.系数行列式不等于零。三、关于n个方程构成的n元齐次线性方程组的定理：注：事实上，一定是(1)的解。(1)第18页,共29页，2024年2月25日，星期天推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数行列式.（推论1的逆否命题）例：若方程组有非零解，求解：方程组有非零解时第19页,共29页，2024年2月25日，星期天练习：P32EX5、6第20页,共29页，2024年2月25日，星期天一、排列例如：3251453214都是5级排列。思考：n个数的不同排列有多少个？自然排列：按数的大小次序，由小到大排列。除自然排列之外，任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。定义：由自然数组成的一个有序数组称为一个n级排列。12345n!个51214都不是5级排列。23456§4行列式的逆序定义第21页,共29页，2024年2月25日，星期天定义：在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为.例：二、逆序与逆序数如：32514中的3和2构成一个逆序。第22页,共29页，2024年2月25日，星期天奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。三、奇排列与偶排列如：32514如：31524四、对换把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数保持不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换。五、主要结论定理：对换改变排列的奇偶性。第23页,共29页，2024年2月25日，星期天经过

次相邻对换分析：设某一n级排列：除i和

j相对位置改变外，其余任两数顺序都没改变，逆序增加或减少一个。结论：相邻对换改变排列的奇偶性。2.一般对换经过

次相邻对换1.相邻对换共经过次相邻对换。奇数次s+1s2s+1第24页,共29页，2024年2月25日，星期天定理：

所有的n（）级排列中，奇偶排列各占一半，各为个。第25页,共29页，2024年2月25日，星期天特点：(2)各项是不同行不同列元素乘积。(1)是3!=6项的代数和。即：各项可写成六、行列式的定义观察各项列标排列，123231312321213132偶排列偶排列偶排列奇排列奇排列奇排列各项符号是（行标自然排列）1.以三阶行列式为例：N()正负项各一半。N()N()N()N()=1N()=1=0=2=2=3第26页,共29页，2024年2月25日，星期天所以三阶行列式可定义为：

是3级排列不同行不同列的3个元素乘积冠以符号取遍所有的3级排列并求和第27页,共29页，2024年2月25日，星期天2.n阶行列式的定义：

是n级排列共n!项的代数和。