大学生学习资料：信号与系统奥本海姆中文答案

信号与系统奥本海姆中文答案

第一章

1.3解：

Tco]

(a).Eg=limjdt=je^dt=±2=0

Tf8-T04

iT1T

(b)P=lim——=lim——[dt=l

1J

00joo2TJJT.oo2Tr

Too

Eg-limj|x(0|2=j|x(0|2Jz=oo

Eg-limj卜⑺「力=Jcos?⑺力=co,

—T—oo

n17I/、|27[.1f1+COS(2071

P—lim—Ix(0dt—lim—I-------------dt——

-2TJJ1i2T」22

-lN]N]14

(d)Pg=lim---------YUnf=lim----------¥(-)2"=lim-------------=0

N-»oo2N+1£'-N->82N+1£2Nfoo2N+13

Noo[2〃.

&=1吧[k⑷2,)=,

(e).,(砌=1,纥=oo

1N1N

P=lim--------y|凡川|=lim----------V1=1

AT—>002N+1n=-N、>/2N+i,a

1Ni

(f)匕=lim---------V\x(n)\

…2N+1幺12

N

&==1吧力(砌=oo

n=-N

YCE2〃71“EL①门m

1.9.a).①0=10工=;b)非周期的；c)5=7兀,=----,N0=2

105InN。

d).NQ=10；e).非周期的；

1.12解：

00

2内(九一1一左)对于〃24时，为1

k=3

即“24时,x(n)为0,其余n值时，x(n)为1

易有：龙(〃)=〃(-〃+3),M=—1,nQ=—3;

1.15解：(a)

y[n]=y2[n]=x2[n-2]+x2[n-3],又&⑺=X(")=2%1(«)+4%1(w-l),

y(ri)=2^c[nr-2卜性上阴x上多]x2%,%；(n)=x(n)

y(n)=2x[n-2]+5x[n-3]+2^n-4]

其中为系统输入。

(b)交换级联次序后

y[n\=yjn]=2x{[n\+4元J”—2]

=2X2[n-2]+4X2[n-3]+x2[n-3]+2x2\n—4]

=2x[n-2]+5x[n-3]+2x[〃-4]

其中x["]为系统输入

通过比较可知，系统s的输入一输出关系不改变

1.16解：

(a)不是无记忆的，因为系统在某一时刻飞的输出还与％-2时刻的输入有关。

(b)输出y\n\=AS\n\'AS\n-2]

=A2^[w]<J[n-2]=0

(c)由(b)可得，不论A为任意实数或者复数，系统的输出均为零，因此系统不可逆。

1.21.1.22和1.23画图均略

1.26解:

(a)V久=3,为有理数，，x[n]具有周期性，且周期N=7

2n7

(b)：^=—,为无理数，.•.x[n]无周期性

2%167r

(C)由周期性的定义，如果存在N,使得cos[—5+N)2]=cos(d〃2),则函数有周期

28

性，即：-(n+N)27r=2k7r+-7m2/.N2+2nN=16k,对全部n成立取

88

N的最小值N=8,即为周期。

(d)x[n]=cos(—n)cos(—n)=—[cos(—jm)+cos(—与(a)同理，x[n]具有周期

24244

31

性，对cos(—加)存在M=8,对cos(—加J)存在N?=8,基波周期V=8

(e)与上题同理，N]=8,N2=16,N3=4,周期N=16

1.27a)系统具有线性性与稳定性；

e).系统具有线性性，时不变性与因果性与稳定性；

1.28c)系统是无记忆的，线性的，因果的；

e)系统是线性的，稳定的

g).系统是线性的，稳定

1.31

解：(a)々⑺=菁⑺一番«—2).,.%«)=%⑺一%。一2)如图PS2.17(a)所示。

1.33

1)正确。设x(")的周期为N。如果N为偶数，则的周期为N/2；如果N为

奇数，则必须有2N0=2N,才能保证周期性，此时％(九)的周期为No=N。

2)不正确。设了(“)=g(〃)+〃(“)，其中g(〃)=sin——,对所有“，

4

1Y★

7—，〃奇

丸(九)=(3)显然x(“)是非周期的，但外(〃)是周期的。

0,“偶

3)正确。若x(〃)的周期为N,则%(〃)的周期为2N。

4)正确。若%(")的周期为N,则N只能是偶数。x(〃)的周期为N/2。

1.37a)%«)=+=

b)久⑺二窿(T),奇部为零。

c).%(。=九。—丁)血(。=落«)

1.42解:

(a)结论正确。设两线性时不变系统如下图所示级联。当%(7)=叼(。+/«2。)时，则有

似。=a吗⑺+6吗(。，于是丁⑺=4%(1)+6％(，)，因此整个系统是线性的。

若输入为xQ-幻，则由于时不变性可知系统1的输出为限f-务)，这正是系统2

的输入，因此总输出为yQ-办)。即整个系统是时不变的。

(b)结论不对。如系统1为•(，)=%(，)+3~系统2为y«)=似。—3人虽然两系统都不

是线性的，但它们的级联y(t)=式。却是线性的。

c)设系统1的输出为w(n),系统2的输出为z(n).

y(〃)=z(2〃)=w(2n)+—w(2n-1)+—w(2n-2)

24

=x(n)+；x(ji-1)+；x(ji-2)

1.46解：a).y(ri)=S(n—X)—y(n-1),n=O,y(n)=O,n=1,y(n)=l,n=2,y(n)=-l;

y(n)=(-l)n-1u(n-l)

b).y(n)=〃(九一1)一y(n-1),

n=O,y(n)=O,n=1,y(n)=1,n=2,y(n)=0;n=3,y(n)=1,n=4,y(n)=0,n=5,y(n)=l.......;

1.47解：

a)%(〃)=S{玉(〃)+c}=L{芯(〃)}+C,C为系统的零输入响应。

y(〃)=S{石⑺+x(叫一切⑺

=£{芯(〃)+%(明+C-%(几)

=L{.(〃)}+£{x(n)}+C-yi(n)=L{尤⑺}

1〃/2,neven

1,%(〃)=〃，2,%(〃)=

c)[(n-l)/2,noad

3.非增量线性系统；4.y(t)=x(t)+tdx(t)/dt,非增量线性系统

5.增量线性系统，y(n)=cos2(7rn)

Chapter2

2.1解：(a)%[n\-x[n]*H[ri\=%[O]/z[n]+x[T]h[n—1]+x[3]/z[n—3]

=23[n+1]+4b[川+28[n—1]+—2]—2况〃—4](图略)

(b)y2[n\=x[n+2]*h[n\=yi[n+2]

=26[n+3]+43[n+2]+26[n+1]+2)川—2况〃—2](图略)

(c)为IXI=RXI*例〃+2]=%[川(图略)

9

2.5解：y[n\=x[k]h[n-k],由y[4]=5可知:N>4

k=o

由叉14]=0可知：9+N+K14,即：NK4

所以：N=4

2.11W：(a)时，y(t)=0

3时，y(t)=〃Q-3)*/z(，)=£u(j--T)dz

,1i-3(?-3)

•e-^dT=—^——

33

3

%〉5时，y(t)=[(t-3)-u(t-5)]u*h(t)=£屋。-)dt=

3

0,r<3

因此:-,3<t<5

-3«-5)

------,t>5

(b)^^=5(—。-5)

dt

g(t)=*h(t)=h(t-3)-h(t-5)=e-a”3)—_5)

dt

/、dy(f)

(c)gQ)=F

2.13解:(a)将〃[〃]=(I)”[川代入式子得:u[n]-Au[n-X\=d[n\

即：(讥川—5A讥〃一i])=am

从而可得：5A=1,即：A=|

(b)由(a)可知：力[川一;可〃-1]=6[n\

则5的逆系统S2的单位脉冲响应为：h^n\=5[n\-^§[n-\]

2.16解：(a)对。若〃—乂<修，即：n<N,+N2,则同处与〃[”—灯没有公共部分，显

然有x[n]*h[n]=0。

(b)错oy[n-1]=£x[k]h[n-l-k]=x[n]*h[n-1]

k=-CO

r+oo

(c)对。y(-t)=x(r)h(—t-r)dr,令r二-4,则：

.J—00

/•—oor+oo

y(—/)=Ix(_.).(4—=I%(_几)飘2=X(T)*〃(T)

'J4-00J—co

(d)对。若H则没有公共部分,故方>£+=时,x(t)*h(t)=O.

1a

2.19a).y(ji)=ay(ji-1)+/3w(ji),w(n)=—y(n)+—y(ji-1)

将w⑻代入后经比较可得：

b).根据书上例题2.15,利用递推算法，可求得系统SI,S2的脉冲响应为:

"(n),似〃)="⑺

则总系统的单位脉冲响应为力(“)=4(〃)*/22(〃)=

Bn+l-an+1(8/9)(—1/8)44",

2.21(a).y(n)=-----------u(ji);c).'(")=<

P-a[(8/9)(—1/2)”,〃〉6

2.22.(b)当时，y⑺=J：e2")d7-J；e2(T%7=g[e2'-2e2g)+e2(T)]

当K3时，y⑺=J：e2(fdr—J；e2^dr=^[e2-2e2^+e2^]

当3</<6时，y«)=；[e2((-5)-e2]

当，〉6时，y(1)=0

(e).x«)是周期信号，由此可推知y⑺=%(/)*〃«)也是周期的，且周期也为2。因

此只需求出y«)的一个周期。

当一,</<5时，y(?)=J2—(1—/+r)iZr+J।(1—/+T)d.T=—+?+/2

2.24解：a)①⑺)=3(n)+3(n-1),

h(ri)=4(九)*%(〃)*%.)=\(〃)*(3(〃)+28{n-1)+8[n-2))；

/z(〃)=%(〃)+24(〃-1)+"(〃一2),根据h(n)的图形可推出hi(n):

瓦(0)=1,:hi(l)=3,:hi(2)=3,hi(4)=l,:hi(5)=0.n>5,h(n)=0.

b).y(ji)=h(ji)—h(ji—1)

2.28解:(a)=u[n]

+00s

当〃<0时，h[n]=0,因而是因果的。SM=7<8,因而是稳定的。

k--co4

(c)h[n]=u[-n]

4-004-00

当〃<0时，h[n]0,因而是非因果的。0网=汴|=8,因而是

女=-00左=-00

非稳定的。

(e)〃[川=u[n]+(1.01)Hu[-n-1]

J~oo

当〃<0时，h[n]=Q,因而是因果的。Z帆灯1=°°，因而是非稳定的。

k=—<x)

(g)川川=u[n-l]

J-00_(1、左

当"<0时，h[n]=Q,因而是因果的。Z恤到=Z%—=3<8,因

k=-<^*=113J

而是稳定的。

2.29解:(b)/z«)=e%(3T)

/<0时，h(t)0,因而是非因果的。J|/z(r)|t/r=je~6Tdr=cc,因而

是非稳定的。

(d)h(t)=e~'u(—1—7)

/<0时，h(t)不0,因而是非因果的。j\h(T)\dr=je11dr=^e~2<co,

因而是稳定的。

⑴.因果的，稳定的。

2.31.解：系统最初松弛，.•.当〃<—3时，y(")=0

由y(n)=x(ri^2x(42^圆丘可递推得出

y(-2)=x(—2)+2x(—4)—2y(—3)=1

X-D=%(-1)+2x(-3)-2y(-2)=0,

y(0)=x(0)+2x(-2)-2X-l)=5,

Xl)=x(l)+2x(-l)-2X0)=-4,

y(2)=x(2)+2x(0)-2y(1)=16,

y(3)=x(3)+2Ml)-2y(2)=-27,

y(4)=x(4)+2x(2)-2y(3)=58,

y(5)=x(5)+2M3)-2/4)=-114,

“26时，y(ri)=-114(-2)n-5

2.40解：(a)y«)=fe~(t~T)x(r-2)dr=fxK)/(-)do=x«)*e~(t~2)u(t-2)

J-ooJ-00

//⑺=e")M«—2)

(b)由图PS3.7知,当时，y(t)=x(t)*h(t)=0

当l<r<4时，y⑺=j,e-(r-2)dT=l-e-(t-1}

当t>4时，y(t)=e~(T~2)dr=e~(t~4)

2.44a).b).

T^—TX+T2N^~N2,My=Mx+Mh-l

2.47(a)x(r)=2x0(r),h(t)=%(t)

2%(如图(a)所示。

•••丁⑺=。*&«)=2y0(t)

(b)%。)=x0⑺一天Q—2),h(t)=%⑺

(b)

y(t)=y0(t)-y0(t-2)如图所示。

(c)*0。)*%。+1)=%。+1)，/。一2)*%。+1)=%。-1)

y(r-l)(c)

y(t)=x0(t-2)*h0(t+l)=0如图所示。

(d)信号不能确定；

=x=Jx0=jx

e).y(t)。)*h(t)0(一九(T-f)dz0(工丸(-t-T)dz-yQ(T)

(f)

八y⑷

Ay。)

•1

2

-200

e

2.48解：(a)正确。/z⑺为周期性非零函数时，「风川山=8。

(b)错误。若系统的冲激响应为—%)/o>O,则其逆系统的冲激响应为5。+/°)，显然

是非因果的。

(c)错误。若"(〃)=〃(〃)，显然风〃)|<1；但Z|人(〃)|=8，因此系统不稳定。

n=-co

00

(d)正确。//(“)为有限长时，必然有|/z(n)|<00o

n=-co

(e)错误。若〃«)=〃«),显然系统是因果的，但由于J；］/ZQ)|=8,因此系统不稳定。

(f)错误。若系统A的冲激响应4⑺=排>+3),系统B的冲激响应也⑺=3«—5);系

统A非因果，系统B因果；但它们级联后有/z(f)=/iA(f)*//B(/)=b(f-2),显然

是因果的。

(g)错误。若某系统的力⑺=-％(7),显然该系统稳定，但其阶跃响应

5(0=£eTdT=(1-厂)"(/)并不绝对可积。

88

(h)正确。”(附=£35-卜)，S(ri)=£h(n-k),如果〃<0时，S(〃)=0,则必有

女=0女=0

〃<0时，/I(M)=0,从而系统是因果的。反之，若系统因果，则〃<0时，//(〃)=(),从

n

而必有〃<0,s(n)=Zh(k)=0o

k=-co

2.50解：(a)系统B是系统A的逆系统，.•.图P3.12所示的整个系统是恒等系统。系统

A对

a\⑺+bx2(t)的响应为ayl(/)+)%(，)，因此系统B对输入ay1(t)+by2(t)的响

应为叫⑺+bx2(t)o

(b)系统A对尤］Q-T)的响应是x(/-r),

系统B对X(/-T)的响应是、。

第Aye二—■早-ft-.

3.5解:

由于当⑺只是对西⑺做了平移变换

所以，cox=a>2

j

而由傅立叶级数的性质有，bk=bkl+bk2=57柄+ake-^

=e-(a_*+4)

3.8解：

由1,a；=-以，应是虚的奇函数

由2,T=2,co==n

由3,其。至多有三个非零傅立叶级数系数，

1「

又g=—x(t)dt=0,a7=-a

T打x

j7a

二.x(，)=ax(e，*—e~)

由4,利用parseval定理，*:+|^J2=1,即==g

/.x(t)=±V2sin(R)

3.11解：

由1,%是实偶函数

由2,3可知，N=10,a”=5=>%=a_i=5

1995

由％而£|N川|=Eh|=50=>£4「=50

1U〃=ok=ok=-5

又％=a_]=5

J5,k=N±l

一如一]o,左取其它值

综上，同m==>4J%〃=10cos(-n)

k=(N)k=-55

IT

故有，4=10,5=-,C=0

3.22解：

(a).(a)T=2,x(t)是实的奇函数，4=0

1

,(D

2jk/cjkJik/c

-i00

7(-1)Ajut+7rt

cIJ(_lp1

^=-00k/ck=-\k/c

]_

b).T=6,%

2

0keven

00

a=akoddxo=EakeJkw°T

4=一8

、k7i

c).T=3,^0=l

"2"/3sin(42万/3)+2*门sin(左1/3)]，(左w0)

乙KTC

00

jkaa，

x(0=Eake

女=-oo

3.28解:

-j—k57r

7

162冗ijsin(yJt)

a),a)N=7,ak=-^x^eJ11

/n=07sin(yk)

-j—k

,J3

1(-卓n11-e

b).N=6,—•---

6-j-k

6n=00n=0

1-e3

<—k27r

2sin‘女

2

31〈kV5;

6

sin-A;

6

.2〃？.7t..兀[2兀i

1g-j-kn1i——ki—k-i—k-i——k

3333

c).ak=->x[n]e=-[-e■+2e3+l+2e-e]

6n“=一-26

127i127r7

一+—cos—7左——cos——k,Q<k<5

63333

1,1.1

「r1.沏1I丁—j—n

c).(c)x[n]=l-sin—=l----(ze4e4),(0<n<3)

42j

1-j—knJ-j—.

22

'〃=0GJn=Qn=0

_J_.I-/?-_

“"J卓52cos工人-亚

2

1Q_B

即：aQ=1--(1+72)=---,

以--(-1)^+1(1+V2cos

.71,.1,,3.111.713.

111-J-kn111-J-n(k-)1l-J~n(k+~)

(d)a=­S,oo2_|_______o2

k—24jy乙

n=0n=024j

11—eH成11-e+L

121-肃2幻一2句1-e1/%/+%)

1l-e-j27rk1

12-曲6

1-e6

6

即:

«o62-V212

k7i,

cos——+1

16

ak=-=~~1<^<11

12

122cos工人-五cos一左

63

3.30N=6,a).a0=1,6^=a_x=1/2,b).b{=bef，2,

2

j7r,j7rl

c).q=£岫1，可求得：c。=cos(;r/4)/2,cx—c_x-e~^/2,c2=c*_2=e~^/2

Z=-2

00

jkmot

3.34解：设y(t)=Zbke,则bk=6〃左/);其中ak、bk分别是x。)和y(t)的傅里叶

k二—oo

级数系数。

H(jco)=「e~^e-ja,dt=Y—

J人疗+16

00

(c)x。)=Z(-；T=2,a>0=71\

n--co

1-,,1|0.k偶

a\。r田r⑺-5Q-3e-加力=](1-*)=]

k奇

fO,k偶

b1

k=\k奇

4+jkn'

(d)由图所示x(t)可得：T=1,a>0=2万

11sin(左"/2)+1*0

a=—,a.=------------,k=±1,±2,

Q°2/2版72

[0,k偶，kwO

bo=-，bk='sin(版72)卜奇

(左〃(4+j2k7i)‘

3.36解：d丽7H(d①)d由，将此代入差分方程中可得：

eja,nH(eja))--e-jaeja''H{ejo>)=eja,n,求得H(*)=—]——

41-1/。

4

a).N=8,信号中的谐波分量为正负3次谐波，可得g=a二=1/2,

输出信号中的傅立叶级数系数为

jM4

b3=%8(""/4),砥=a_3H(e-)

b).N=8,信号中的谐波分量为正负1次谐波与正负2次谐波，可得

q=a_]—1/2,a2==1

输出信号中的傅立叶级数系数为

/2

bi=q"(e"4),%=a]//(6一"4)也=a2H(/兀’?"?=ci_2H(e~^)

3.43解：

TTT

(a)ak=—£x(t)edt=—£x(t)edt+dt

T1fT/2-jk—t,「772-jk—t

若工⑺二一元0+5)，则为=7£x[t}eT力一(一I)"[。x(t)eTdt

T/2

2c-Jk—Tt

当k为奇数时，4=—J()%⑺edt

当k为偶数时，ak=0

只有奇次谐波

(b)x(?):T=2,奇谐信号,x(Z)=-x(t-y)

t,0<?<1

/.X(0=<

-(1+0,-i<?<0

x(t)如下图所示。

a.=['tejU,dt=---te-井忖+「一「林

网〔兀」°,(k为奇数)

12

jkji(k兀丫

ak=0,(k为偶数)

3.44解:

,_r,口27rTC

由T=6,可将00=于

jk-t®修(t-3)

33

由条件4可知，Z0*e=~^ake

即，(—I)"”=1,所以k为奇数

由于当k=0和k>2时，有氏=0

所以当k=2时，。2=0且"_2=。

产£一百

因此，x(0-axe^+a_re§

又由x(0为实信号可知，。：=a_x=%

]31

由条件5,6可知一J卜⑺/力==2〃；=—

632

以a_i~/—

2

TT

则，A=1,B——,C=0

3

3.48解:

i2412427

I«—«-7K---nI-.—ik—m—ik,—n

aNNN

(a)k=~^4n-n0]e=—^4m]e

Nn=<N>mxN>

[-'k—n-'k—

a=--'N

(b)k

N〃xN>

八1N-jk—n_0keven

NJ71

c).])e=ak~ake~=<

Nn=<N>2kodd

(d)

八_jk%n

2NN

ak=­Z(x[n]+x[n+—])e

Nn=<N/2>2

N—1..4%、

NglN-j也-jk—n

+Ex[n+—]eN

Ex[〃]eN

n=02n=N/2}

2AT/2-1Nt喏〃yN

令机=w=2a2k+Xn-\----Nxm-\----

N=Q■-X

n2m=02

2TV/2-1~jk—nc

=2a2k+~£%eNe-J^

Nn=0

..以=242A

i-»乙冗i.i乙冗

Ix一,-ik——nIy—,ik——n

e).^=—Z%*[-〃kN=[Xx[-n]eN]*=%*

Nn=<N>n=<N>

i”乃i...N2%

n1N2N

Dak=—Z(-l)M«]e"^—-[±M〃]J"]^aN

N餐〉N餐)("万)

(k=0,l,2,.........N-l)

1N、-jk—n1、一,-jk—n

g)ak=—£(-l)"M〃]eN=EMn]e，・*

ZNn=<2N>ZNn=<2N>

iN-l-声心）2N-14兀k-N

诟WM〃]eN2+八2]

/IV〃=0n=N

iN-l_&(k_NN-l_.女(k-N

=—[^x[n]e~J^n~+£力i+N1》r

2N„=0n=0

-1〃(1上。f(k-N)、

(l+e)

a：%，k为奇数

0,k为偶数

(h)y(")=g(X

对信号x(n)周期为偶数时，y(n)的周期大小不变，仍为N,直接利用变换性质即可,

1「一

4=力ak+Cl,N

2L七」

对信号x(n)周期为奇数时，此时y(n)的周期性发生了变换，周期为2N,傅立叶级数系数为

15~jk—n

n

ak=—£(x(n)+(-l)x(n))e

27Vn=<2N>

再分成前后两部分，

ifN-l_%红2N-T_&红、

；2A，w

ak=(%(«)+(-l)"x(n))e+(x(〃)+(—l)"x(〃))e'>

2N[〃=on=N,

经整理后得：

ifN-l_%空N-l_%2冗

n1n12N

ak=—^(x(n)+(-l)x(H))e2N+^(x(H)-(-l)x(«))e(-1)^>

ZNn=0