随机过程的基本概念

随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念2.4随机过程的联合分布和互相关函数第2页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.1联合分布函数和联合概率密度设随机过程X(t)的N维分布函数为Y(t)的M维分布函数为定义X(t)和Y(t)的N+M维联合概率分布函数为第3页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.1联合分布函数和联合概率密度定义X(t)和Y(t)的N+M维联合概率密度为如果则称X(t)和Y(t)是相互独立的第4页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.1联合分布函数和联合概率密度如果X(t)和Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X(t)和Y(t)是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关第5页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.2互相关函数及其性质互相关函数互协方差函数X(t)和Y(t)相互正交X(t)和Y(t)不相关第6页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.2互相关函数及其性质如果则称X(t)和Y(t)是广义联合平稳的。第7页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.2互相关函数及其性质（1）联合平稳随机过程互相关函数性质（2）第8页,共43页，2024年2月25日，星期天2.4.2互相关函数及其性质（3）若X(t)和Y(t)是联合平稳的，则Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质如果X(t)和Y(t)不相关，则如果X(t)和Y(t)相互正交，则第9页,共43页，2024年2月25日，星期天第二章随机过程的基本概念2.5随机过程的功率谱密度第10页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱信号s(t)的频谱密度（简称频谱）：频谱存在的条件信号s(t)用频谱表示：第11页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱信号s(t)的能量谱密度（简称能谱密度）：表示单位频带内信号的能量能谱密度存在的条件Parseval定理能量型信号能量有限的信号第12页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号对随机过程而言，一般不满足频谱和能量谱存在的条件，所以其频谱和能谱都不存在。→对随机过程引入功率谱的概念第13页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱功率谱的定义：随机过程的样本函数及其截尾函数

第14页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱的傅里叶变换的平均功率第15页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱令则的功率谱密度的平均功率第16页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况第17页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱功率谱密度与相关函数关系维纳-辛钦定理条件:功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程）第18页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱性质：对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；第19页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱性质：相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。总的平均功率第20页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1第21页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱物理功率谱（物理谱）定义：第22页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.1连续时间随机过程的功率谱例2.18：已知谱密度为求相关函数。解：由因式分解由公式：第23页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.2随机序列的功率谱对于平稳随机序列X(n)，如果其自相关函数满足其功率谱密度功率有限周期为2π第24页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.2随机序列的功率谱Z变换形式：自相关函数是偶函数自相关函数z变换的收敛域是一个包含单位圆的环形区域，即所以第25页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.2随机序列的功率谱自相关函数用功率谱的z反变换表示其中C是收敛域内包含z

平面原点逆时针的闭合围线第26页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.2随机序列的功率谱平稳随机序列功率谱性质（1）实的偶函数自相关函数是偶函数，所以（2）非负第27页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.3互功率谱两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱其中：若X(t)及Y(t)联合平稳，绝对可积，有互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。第28页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.3互功率谱性质：（1）互功率谱并非是非负的实偶函数与是的奇函数；是的偶函数；与（2）（3）第29页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.4非平稳随机过程的功率谱对平稳和非平稳都适用其它定义:1)广义功率谱缺乏明确的物理意义第30页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.4非平稳随机过程的功率谱2)时变功率谱如果采用对称相关函数，即则上式定义的功率谱称为韦格纳-威利(Wigner-Ville)谱，这种功率谱是实偶函数（因为相关函数是的偶函数）。第31页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.4非平稳随机过程的功率谱3)对时变谱求时间平均等价于第32页,共43页，2024年2月25日，星期天2.5.4非平稳随机过程的功率谱例2.21：

噪声调制的振荡信号其中N(t)是平稳噪声，求X(t)的功率谱第33页,共43页，2024年2月25日，星期天第二章随机过程的基本概念2.6典型的随机过程第34页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.1白噪声加性噪声独立于有用信号噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声噪声分类：确知噪声、随机噪声随机噪声分类单频噪声（外台，窄带）：并不总是存在脉冲噪声（点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽）：安静期长，对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码起伏噪声（热、散弹、宇宙）：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度第35页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.1白噪声平稳白噪声：随机过程X(t)均值为0，自相关函数为平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数

第36页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.1白噪声白噪声相关系数：第37页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.1白噪声带限白噪声只有以频率2f0对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关第38页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.2正态随机过程如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。一维分布N维分布第39页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.2正态随机过程平稳正态过程

设X(t)是正态随机过程，若有

则X(t)称为广义平稳正态过程。第40页,共43页，2024年2月25日，星期天2.6.2正态随机过程性质：1.对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；2.对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；3.一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。4.若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满