人教A版新教材高中数学第二册教学设计1：9.1.2分层随机抽样

9.1.2分层随机抽样

课题9.1.2分层随机抽样单元第九单元学科数学年级高一

教材本节内容是在简单随机抽样的基础上学习另外一种抽样方法——分层随机抽样，是比简单随

分析机抽样更加具有代表性的一种抽样方法，也是将简单随机抽样进行的拓展延伸.

1.数学抽象：利用分层随机抽样将总体分布具体化；

教学2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

目标3.数学建模：掌握分层随机抽样，利用分层随机抽样统计数据估计总体.

与核4.直观想象：通过样本平均数等数据直观估计总体平均数等数据；

心素5.数学运算:能够正确选择抽样方法；

养6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学生

认识到数学知识的逻辑性和严密性.

占

分层随机抽样，获取数据的途径

难点分层随机抽样

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课问题导入：学生利用问题设置问题情境，

问题一：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课回顾上节课知回顾上节课知

桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身识点的同时，引识点，同时激发

高，以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中出本节新课内学生学习兴趣，

学高一年级有712名学生，其中男生有326名，女容——分层随培养学生严谨

生有386名.如果要通过抽查的方法调查高一年级机抽样.的逻辑思维能

学生的平均身高，你有什么办法？应该怎么抽取样力,并引出本节

本？新课.

可以用简单随机抽样的抽签法或者随机数法.

抽签法：

先给712名学生编号，例如b712进行编号；

然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片

（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些

小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌；

最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的

编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的

人数.

随机数法：

先给712名学生编号，例如1~712进行编号；

用随机数工具产生1~712范围内的整数随机数，把

产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学

生进入样本；

重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数.

问题二：针对以上抽样方法，你发现了什么不足之

处？

抽样调查最核心的问题就是样本的代表性.

简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的

机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现

比较“极端”的样本.

例如，在问题一的调查中，可能出现样本中50个

个体大部分来自高个子或者矮个子的情形.

这种“极端”样本的平均数会大幅度偏离总体平均

数，从而使得估计出现误差.

问题三：在树人中学高一年级有712名学生，其中

男生有326名，女生有386名.针对以上不足，能否

利用这个额外信息改进简单随机抽样方法，减少

“极端数据”，从而提高对整个年级平均身高的估

计？

我们知道，影响身高的因素有很多，性别是一个主

要因素.高中男生普遍高于女生，而相同性别的身高

差异相对较小.

那我们就可以利用性别和身高的这种关系，把高一

年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的

群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇

总作为总体的一个样本.

由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个

体，这样就能有效地避免“极端”样本.

思考：对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本

量在男生、女生中应分别分配？

显然，为了使样本的结构与总体的分布相近，人数

多的群体应多抽一些，人数少的应少抽一些.

因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行

分配是比较合理的方式.

即男生样本量=X总样本量，

全体学生数

女生样本量=X总样本量.

全体学生数

这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都

相等.当总样本量为50时，可以计算出从男生、女

生分别应抽取的人数为〃男=孝|*50*23,

386.cr

n.=----x50p27.

女r712

我们按照上述方法抽取了一个容量为50的样本，

其观测数据如下（单位：cm）

男生

1710174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0

172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0

167.0170.0175.0

女生

16X0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5

154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148・0

172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别

为170.6,1606根据男生、女生身高的样本平均数

以及它们各自的人数，可以估计总体平均数为

170.6x326+160.6x386

--------------------------------«165.2.

712

即估计树人中学高一年级学生的平均身高在

165.2cm左右.

讲授新课知识探究(一)：分层随机抽样学生根据上述利川问题情境

上面我们按照性别变量，把高一年级学生划分为男问题，探究分层探究得出分层

生、女生两个身高差异较小的子总体分别进行抽随机抽样定义.随机抽样的定

样，进而得到总体的估计.义，培养学生探

分层随机抽样(或类型抽样)定义索的精神.

一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子

总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总

体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样

方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小

成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

问题一：根据以上定义，你能总结出分层随机抽样

的步骤吗？

分层抽样的步骤：学生分组合作

(1)将总体按一定的标准分层；思考相关的问通过分组合作

(2)计算抽样比；题，探究得出分交流，培养学生

(3)按抽样比确定各层应抽取的样本容量；层随机抽样的合作的精神和

(4)在每一层进行简单随机抽样；步骤以及特别探索的能力.

(5)综合每层抽取的样本，组成总样本.注意的方面.

问题二：抽样比怎样计算？关于分层随机抽样，你

认为还有那些需要特别注意的？

抽样比-样本容量

抽样比-总体量,

(1)分层通常是根据总体的差异来分层;将同类型

的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个

个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵

循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每

层个体数量的比与抽样比相等或相近.

由此可见：当总体是由差异明显的几个部分组成

时，往往选用分层随机抽样的方法.

问题三：在分层随机抽样中，我们可以直接用样本

平均数估计总体平均数吗？

我们用X2，…,X”表示第1层各个个体的变量值，

用苦,小,…,4表示第1层利用上节课的

样本的各个个体的变量值；

探索题，让学生

用?八….，几表示第I层各个个体的变量值，

用,,当…•，y”表示第2层样本的各个个体的变量值；对分层随机抽利用上节课的

则第1层的总体平均数和样本平均数分别为

样进一步进行探索题让学生

V_X|+X2+…+X”_1y.

X-M""Y

探索.探究本节课的

一X]+X,+…+X1(

1=-=工七问题，让学生形

第2层的总体平均数和样本平均数分别为成知识体系，培

N-N小养学生整体思

还小+…+乂」%,考的能力.

则总体平均数和样本平均数分别为

MN"1〃

_之Xj+£匕—Ex-+Ex-

W=---------—;W=卫------—,

M+Nm+n

由于第1层的样本平均痂诃以估计第1层的总体平均蛎，

用第2层的样本平均版可以估计第2层的总体平均航

因此我们可以“竺土凶=」一1+上-用计总体平均数W

M+NM+NM+N

在比例分配的分层随机抽样中,"■=工=上上工，

MNM+N

/M-N-m-〃一一

口J得---------x+---------y=-------x+-------y=w.

M+NM+N"m+nrn+n

因此，在比例分配的分层随机抽样中，

我们可以直接用样本平均数估计总体平均数，

思考：与考察简单随机抽样估计效果类似，小明也

想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效

果.他用比例分配的分层随机抽样，从高一年级的学

生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本

平均数如下表所示.与上一节“探究”中相同样本量

对比简单随机

的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的

抽样和分层随

发现.你是否也有所发现？

机抽样.同类知识点进

a9.i-2

抽博停号行对比，找出异

5I6—"

13

478910

男生样率的平均收170.0170.7169.8同点.

171.7172.7171.9171.6170.6172.6170.9

女生怦木的平均数162.2160.3IS9.7

158.1161.1158.4159.7160.0160.6160.2

■

2杯*的平均政165.8165.1165.2]

164.3164.3166.4164.6161.9166.116s.]

我们把分层随机抽样的平均数与简单随机抽样的

平均数用下图进行对比，其中红线表示整个年级学

生身高的平均数.

从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总

体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层

抽样并没有明显优于简单随机抽样.

但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度

更均匀，简单随机抽样中出现了（第2个）偏离总

体平均数的幅度较大的样本平均数，即出现了比较

“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.

实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取

的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异

不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽

样，也好于很多其他抽样方法.

分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，

而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估

计.

在实际抽样调查中，由于实际问题的复杂性，除了

要考虑获得的样本的代表性，还要考虑调查实施中

人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样

方法组合起来使用.例如，在分层抽样中，不同的层

内除了用简单随机抽样外，还可以用其他的抽样方

法，有时层内还需要再进行分层，等等.

问题四：对比简单随机抽样和分层随机抽样，你能

找到什么异同？

共同点

(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽

样.

各自特点：

简单随机抽样：从总体中逐个抽取.

分层随机抽样：将总体分成几层，分层进行抽取

联系：各层抽样时采用简单随机抽样.

适用范围：

简单随机抽样：总体个数较少.

分层随机抽样：总体由差异明显的几部分组成.学生探索获取

例一个单位有职工人，其中不到岁的有

50035数据的途径.

125A,35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以让学生踊跃发

上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态

言，提高学生自

有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本，

主学习的能力.

若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

解：用比例分配的分层随机抽样来抽取样本，步骤

如下：

(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35

岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以

上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为瑞=/则

在不到35岁的职工中抽取125x/=25(人)；

学生和教师共

在35岁至49岁的职工中抽取280xg=56(人)；

同探究完成7

在50岁及50岁以上的职工中抽取95x/=19(人).

个练习题.通过这7个题，

(3)在各层分别按随机数法抽取样本.巩固基础知识，

(4)汇总每层抽样，组成样本.发散学生思维，

总结：用比例分配的分层随机抽样抽取样本的操作培养学生思维

步骤：

的严谨性和对

数学的探索精

9A按某种特征将总体分成若干部分(层)

A神.

抽样比*=1

V

按抽样比确定每层抽取的个体数

>—各层分别按的单随机抽样的方法抽取样本

—综合各层抽样，组成样本

小试牛刀

1.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二

年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽

取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年

级抽取的人数分别为（）

A.15,5,25B.15,15,15

C.10,5,30D.15,10,20

『『答案MD

2.某班有男生36人，女生24人，从全班抽取一个

容量为10的样本，分析某种身体素质指标，已知

这种身体素质指标与性别有关.问应采取什么样抽

样方法？并写出抽样过程.

解：因为这种身体素质指标与性别有关，所以男生，

女生身体素质指标差异明显，因而采用分层抽样的

方法.

具体过程如下：

（1）将60人分为2层，其中男，女生各为一层.

（2）按照样本容量的比例随机抽取各层应抽取的

样本.

36x1=6（人）,24xi=4（人）

66

因此男，女生各抽取人数分别为6人和4人.

（3）利用简单随机抽样方法分别在36名男生中抽

取6人，24名女生中抽取4人.

（4）将这10人组到一起，即得到一个样本.

知识探究（二）：获取数据的途径

问题一：如果要了解某电视节目在你所在地区（城

市、乡镇或村庄）的收视率，那么需要获取相关的

数据.你认为有哪些途径可以获取数据？

获取数据的途径：

1.通过调查获取数据；

2.通过试验获取数据；

3.通过观察获取数据：

4.通过查询获取数据.

课堂巩固

1.下列问题中，采用怎样的抽样方法比较合理：

①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；

『『答案JJ简单随机抽样

②某学校有160名教职工，其中教师120名，行政

人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校

在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的

样本.

『『答案』』分层随机抽样

2.某工厂生产4、B、C三种不同型号的产品，产品

数量之比为2:3:5,现用分层抽样方法抽取一个容量

为〃的样本，样本中A型产品有16种，那么此样

本容量n=________.

『『答案』』80

3.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000

人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容

量为"的样本，已知女学生中抽取的人数为80,则

n=_________.

r『答案』』192

4、某大学数学系共有本科生5000人，其中一、二、

三、四年级的学生比为4：3：2：1,用分层抽样的

方法抽取一个容量为200人的样本，则应抽取三年

级的学生为______人.

「「答案」」40

5、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学

生450人，高三年级有学生7