导数中极值与最值基础测试题

导数中极值与最值基础测试题一、单选题1.函数小）=于在，（处取得极值，则（）1.函数小）=于在，（处取得极值，则（）A.C.。=1,A.C.。=1,且一为极大值点24=—1，且工为极大值点2B.。=1,且巳为极小值点2D.。二一1，且工为极小值点2B.在x=lB.在x=l时，/（》）取得极大值)C.在（4,5）内/（x）是增函数D.在x=2时，f（X）取得极小值3.已知函数/（x）=o?+灰+i的图象在点（Im+%+1）处的切线斜率为6,且函数/（X）在x=2处取得极值，则4+6=（）A,26

TB.722C.—3D.26

T4.已知函数则/（力）的极大值点为（A,26

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T4.已知函数则/（力）的极大值点为（A.B.x=4C.x=-2D.5.设/(Mn^V+COSX,则函数f(x)(A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值6.如图是穴x）的导函数/（X）的图象，则儿I）的极小值点的个数为（6.A.1B.2C.A.1B.2C.3D.7.函数/（X）=-Sinx在X=0处有极值，则a的值为（7.A.-1B.0C.D.8.当函数y=x・2’取极小值时，x的值为（A.-1B.0C.D.8.当函数y=x・2’取极小值时，x的值为（A,1

ln2B. 1112C.1x12D.-11129.函数y=x・e-］在xw［2,4］上的最小值为（9.A,1B.-C.D.10.设/W是区间［凡与上的连续函数，且在（出与内可导,则下列结论中正确的是A./（x）的极值点一定是最值点B.fW的最值点一定是极值点A,1B.-C.D.10.设/W是区间［凡与上的连续函数，且在（出与内可导,则下列结论中正确的是A./（x）的极值点一定是最值点B.fW的最值点一定是极值点C./（x）在区间［a,b］上可能没有极值点D./（x）在区间［a,b］上可能没有最值点11.C.a<0,b<0,c>0,11.C.a<0,b<0,c>0,d>0B.。>0,b<0,c<0,d>Q函数儿t）=aF+bF+u+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）D.。>0,b>0,c>0,d<0.函数〃力=Y一36一。在（0,1）内有最小值，则。的取值范围为（）B.0<avlA,0<a<lB.0<avlD.0<a<-2二、填空题.若函数/*）=（一/一工+5）・炉在区间（4M+2）上有极大值，则。的取值范围是.己知曲线/（无）=一片+3V:+91+。与％轴只有一个交点，则实数。的取值范围为.函数/'（x）=XS1HX+cosx（0<x<2/r）的最大值为..若函数/（x）=ar—lnx,对于任意的再，&£（l,xo）（其中西。公）不等式（占_玉）［/（占）_/（a）］<0恒成立，则〃的取值范围为.三、解答题.函数/（x）=x5+ax2+bx+ci曲线y=/（x）上点P（l,7（1））处的切线方程为了=3.r+l（1）若》=/（1）在％=-2时有极值，求函数y=/（x）在［-3,1］上的最大值；（2）若函数y=/（x）在区间［-2,1］上单调递增，求人的取值范围..已知函数/⑶=d-3x+l.（1）求曲线y=/（x）在点（0,/（O））处的切线方程：（2）求“X）在［1,2］上的最大值和最小值..函数/"）=xlnx-ar+l在点A（1J（1））处的切线斜率为-2.（1）求实数。的值；（2）求“X）的单调区间和极值..己知函数/（xbrTFfx+Z.（1）求函数/（X）的单调区间；（2）求函数/（X）在区间［-2,2］上的最小值..己知函数伍c£H）,且f=f⑶=0.（1）求。一6的值；（2）若函数“外在［-2,2］上的最大值为20,求函数f（x）在上的最小值..已知函数/（X）=ax-e-1（«^0）.（1）求函数/*）的单调区间；（2）已知。>0且文£［1,+8）,若函数/（x）没有零点，求a的取值范围.1.B【分析】先求导，再根据题意得参考答案0,由此求得。=1,再根据导数研究函数的极值.【详解】:•/'(X:•/'(X)=-SillX-COSX+«-yfl.7t

sinx+—+aI4JTT又/⑴在“二处取得极值,，/令芋。，271-^2sin|x+—+1rw=4J由/'(x)<0得，—JIsinx+=+1<0,即sisinx+丁容九7九7 万37，—+2k7r<x+—<——+2k兀、keZ,即2A7r<x<g+2&4,k£Z,同理，由/'。）＞0得，g+2k兀＜x＜兀+2k7t,ksZ,・•・/'（X）在;1=g处附近的左侧为负，右侧为正,工函数/⑴在x=3处取得极小值,故选:B.【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题.C【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项:3对于A,在(-3,-万)上，r(x)VO,/(x)为减函数，A错误；3对于B,在(一,，2)上，r(A-)>0,/(x)为增函数，X=1不是/(x)的极大值点，B错误；对于C,在(4,5)上，f(X)>0,f(J)为增函数，C正确；3对于D,在(一一，2)上，f(x)>0,/(x)为增函数，在(2,4)上，f(x)VO,f2(A)为减函数，则在X=2时/(%)取得极大值，D错误；故选：C.【点睛】本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.C【分析】计算/(x),然后根据可得出人，最后可得结果.J(1尸。【详解】由题可知：/(x)=3ax2+Z?,3。+方=6, 2…j八解得。=一；，b=8.12。+〃=0, 32经检验，当。=一§，b=8时，“X)在x=2处取得极大值,•22所以〃+/?=——.3故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.4.C【分析】求出函数= 的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由/(x)=+3-4x,得：r(x)=x2-4.由f(x)=厂一4>。，得：x<—2,或x>2.由/'(工)=/一4<0,得：一2cx<2.所以函数的增区间为(口,-2),(2,+8).函数/(x)的减区间为(-2,2).所以，x=-2是函数的极大值点，x=2是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.A【分析】求出r(x)=x-sinx,二次求导可得r(x)单调递增且r(0)=0,从而判断出函数的单调性，进而得到极值点.【详解】/z(x)=x-sinx,/ff(x)=l-cosx>0,・・・/'(x)单调递增且7(0)=0,工当x<0时，/'(x)<0,函数/(九)单调递减，当x>0时，r(x)>0,函数/(九)单调递增，故/(x)有唯一的极小值点.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题.A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.【详解】由导函数/Q)的图象知在％=—2处/(—2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，x=-2是极大值；在％=—1处/(—1)=0,且其两侧导数符号为左负右正，工=-1是极小值；在％=—3处*2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，％=2是极大值；所以大刈的极小值点的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.C【分析】根据导数与极值的关系可知/'(0)=0,解方程求得结果.【详解】由题意得：f\x)=aes-cosx,//(x)在x=0处有极值 /./z(0)=6/-cos0=6f-l=0,解得：a=l经检验满足题意，本题正确选项：C【点睛】本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.B【解析】分析：对函数求导，由)，'=2'+十2，〃2=(1+1/〃2)・2'=0,即可得出结论.详解：y=2'+x?2'7〃2=(1+x/〃2)?2、=0,BP1+xlnl=0,x=———./〃2故选B.点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题C【分析】求导，讨论原函数在xw［2,4］上的单调性，然后求最小值.【详解】,ex-xex1-x因为尸当xw［2,4］时，y<0,即函数了=木6-、在［2,4］上单调递减,故当x=4时，函数有最小值为故选：C.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，属于基础题.C【分析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断.【详解】根据函数的极值与最值的概念知，/（X）的极值点不一定是最值点，"X）的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A,B,D都不正确，若函数/（M在区间口力］上单调，则函数在区间［名句上没有极值点，所以C正确.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题.A【分析】由图像知人0）=心■（），先对函数求导，由图像可知/'（#=3”?+2队+c=0有两个不相等的正实根苍,毛，且/（M在（―,内）,（七,包）单调递增，在（丸,天）上单调递减,从而可得心0,再结合根与系数的关系可判断得答案【详解】由图像知人0）=心0,因为f（x）=3"2+2加:+c=0有两个不相等的正实根不刍，且/（X）在(Y，』)，。'，”)单调递增，在(网，々)上单调递减，一一 2b c所以。>0,x,+x,= >0, =—>03a-3d所以从0,O0,所以a>0,b<0,c>0,d>Q.故选：A【点睛】此题考查导函数与原函数的图像关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题.B【分析】对f(x)进行求导，要求函数f(x)=x3-3ax-aa(0,1)内有最小值，说明f(x)的极小值在(0,1)内，从而讨论a与0大小，从而进行求解.【详解】二•函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，/.f(x)=3x2-3a=3(x2-a),①若aWO,可得P(x)20,f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a>0,f(x)=0解得x=土而，当x>6,f(x)为增函数，OVxvJ彳为减函数，f(x)在x=&处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在(0,1)内，符合要求.综上所述，a的取值范围为(0,1)故答案为B【点睛】此题主要考杳利用导数研究函数的单调性及其应用，注意本题(0,1)是开区间，不是闭区问・【分析】求导，得出导函数取得正负的区间，从而得出原函数的单调性，从而得出当X=1时，函数/（X）取得极大值/（1）,再由己知得出不等式组，解之可求得范围.【详解】由/（X）=（-丁-X+5）•《得f\x）=（-x2-x+5\ex=（-x2-3x+4）-婷=一（工十4）@-1）.所以在（一8,—4）和（1,+8）上，/（x）＜0,在（一4,1）上，f（x）＞0,所以函数在（口，-4）和（1,+8）上单调递减，在（一4,1）上单调递增，所以当x=l时,函数/（x）取得极大值/（1）,若函数/。）=（一/一工+5卜-在区间（4,4+2）上有极大值，则兴1且〃+2＞1,解得-iqvi,则。的取值范围是一1＜4＜1,故答案为：—.14.{。|。＜一27或。＞5}【分析】先利用导数求出函数的极值，然后画出函数的图像，如图所示，要使/（M的图像与入轴只有一个交点，只需极大值小于o（如图1）或极小值大于0（如图2）,然后解不等式可得答案【详解】解析广。）=-3y+6x+9.令fXx）=0，解得x=-l或x=3.当x发生变化时，f\x）,/W的变化情况如下表：XS-1)-1(T3)3(3,2)—0+0-极小值/极大值

所以当X=—1时，/(刈有极小值，且极小值为当x=3时，/(X)有极大值,且极大值为/(3)=。+27.画出大致图象，要使的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小图I 图2所以。+27＜0或〃—5＞0,解得々＜—27或。＞5.故实数。的取值范围为{。|。＜—27或。＞5}.故答案为：{。|。＜一27或。＞5}乃15.—2【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：f\x)=siiix+xcosx-sinx=xcosx,.,•当时,/'(x)＞0J(x)单调递增,(乃3乃、当三士时，f(x)＜0,/(x)单调递减，(3乃3、 ，当亍,24时，/(x)＞0J(x)单调递增，•・•/'(gJQ乃)=1,・•・/W的最大值为J.故答案为：一.2【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分

类讨论，基础题.口,+8）.【分析】转化条件为。NL在（Lx。）上恒成立，求得2<1即可得解.X X【详解】由题意，函数/W在（1,+8）上是单调递增函数，所以广（M=。一！之0即。>1^（1,403）上恒成立，X X因为当X£（l,+s）时，i<l,所以。之1,X所以，的取值范围为［L+S）.故答案为：［L+8）.（1）/（X）在［-3,1］上最大值为13（2）0+8）.【分析】（1）由/（X）=.F+aF+6x+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数/（X）在戈=-2时有极值即可列出关于n,b,c的方程，求得小b,c的值，从而得到/（x）的表达式,求函数的导数r（X）,通过ra）>0,及r*）V。，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可.（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间［-2,1］上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出ra）的最小值，令最小值大于等于o,求出〃的范围.方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间［-2,1］上恒成立，分离出参数4构造新函数机（x）,利用基本不等式求出加（X）的最大值，令人大于等于小（X）的最大值即可.【详解】解：(1)由/(x)=xi+ax2+bx+c,求导数得/(1)=3/+2ax+b,过y=/(x)上点P(1,/(I))的切线方程为：y-/(1)=f(1)(a-1),3+2。+/?=3

[a+b+c-2=l即V-(a+b+c+1)=(3+2。+/?),3+2。+/?=3

[a+b+c-2=l2a+b=0即”+c=3':有在A-2时有极值,故r（-2）=o,2a+b=0A-4a+b=-12,则<4+6+c=3,解得a=2,b=-4,c=5,-4。+/?=-12/(x)=炉+2炉-4工+5.f(x)=3x2+2i7x+Z?=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)A-3(-3,-2)-2(-2,A323<!'1)1ra)+0—0+/(x)8增函数极大值13减函数极小值增函数4/(x)极大=/(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13/(1)=U+2X1-4X1+5=4.V(A-)在［-3,1］上最大值为13.(2)方法一：y=f(x)在区间［-2,1］上单调递增，又/(x)=3142"+/?,由(1)知2a+b=0,:.f(x)=3a2-bx+b9依题意/(X)在［-2,1］上恒有/(x)20,即g(x)=3x--bx+b，0在［-2,1］上恒成立.①在时，即方26,g(X)最小值=g(1)=3-b+b>0,：.b26,6②在x=2<—2时，即〃W-12,g(x)最小值=g(-2)=12+2H/?20,则反0,6③在-2V^V1时，即-12VbV6,g(j)最小值=12〃-)6 12综合上述讨论可知，力取值范围是：［0,+8).解法二：(l)y=/(x)在区间［-2,1］上单调递增，又/(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0,.\f(x)=3x2-bx+b9依题意/(X)在［-2,1］上恒有/(x)20,即g(A-)=3/-阮+心0在［-2,1］上恒成立3%2 3/./?> =3(x-1)H +6(xWl),x-l x-1TOC\o"1-5"\h\z3 1 I (I\令〃？(x)=3(x-1)+ =-3［-(x-1)+( )］W-3(2-(x-l)x- )x-l x-1 NIX-l)=-6,(xWl),3 3a,".*.3(x-1)+——+6最大值为0, (.^―)max=0,X-l x-l・•"取值范围是：［0,+8).【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识,考查计算能力，属于中档题.(1)3x+y-i=0；(2)最大值/(2)=3,最小值/(1)=一1.【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程：(2)结合导数与单调性关系可分析出函数在［1,2］上的单调性，进而可求最值.【详解】解：(1)由/(乃=］3-3工+1得，f\x)=3x2-3,所以7(0)=1，/'(0)=-3,所以曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程y-l=-3(x—0)即3x+y-l=0.(2)令/'(x)>0可得x>l或x<—1,此时函数单调递增，令/(x)<0可得Tvxvl,此时函数单调递减，故函数/W在U，2］上单调递增，所以/W的最大值/(2)=3,最小值/(1)=-1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性的关系，属于基础试题.(1)3；(2)增区间为(后,+8),减区间为(0,/).极小值l—e"无极大值.【分析】(1)根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数。的值；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：(1)函数/(x)=xlnx-4x+l的导数为/'(x)=lnx+l—。，在点A(l,/(1))处的切线斜率为攵=1—4=2,・ =-2,即1—♦=—2,二。=3；(2)由(1)得，f\x)=lnx-2,xe(0,-i-co),令得令r(x)<0,得0<x<e?，即f(x)的增区间为(e\+s),减区间为(0,e?).在工=/处取得极小值1一百，无极大值.【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题.(1)/3的单调递增区间是(-8,-1),(3,+8)；单调递减区间是(-1,3)：(2)-20.【分析】(1)求导后，令r(冷二。，得4T或23,再列表，由表格可得结果；(2)根据函数/(X)在区间［-2,2］上的单调性可求得最小值.【详解】fr(x)=3.炉-6%-9=3(x+1)(厂3),令r(x)=0,得4T或a-3,当工变化时，ra),/a)在区间r上的变化状态如下：X(-00,-1)-1(T3)3(3,+8)尸(X)+0一0+/W/极大\极小/所以/(x)的单调递增区间是(-8,-1),(3,+8)；单调递减区间是(T,3)；(2)解：因为/(-2)=0,/(2)=-20,再结合了(%)的单调性可知，函数/(x)在区间［-2,2］上的最小值为-20.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，属于基础题.(1)-6；(2)-9【分析】(1)先对函数/(M求导，然后由f(T)=f⑶=0,列出关于。川的方程组，解方程组可求出凡6的值；(2)由函数/(X)在［-2,2］上的最大值为20,求出c的值，然后由函数的单调性求函数/(x)在［—1,4］上的最小值.【详解】解：(1)因为/(工)=一丁+0¥2+/?.丫+(7,所以/'(.1)=一3炉+2ov+/?,因为f(T)=f(3)=0,所以一3乂(一1『+2。*(一1)+〃=0,一3又32+2。乂3+/?=0。=3解得＜Cb=9所以。一b=3—9=—6.(2)由(1)可知/(1)=一工3+3亡+9x+c,则/'(工)=一3片+61+9,令/'(x)=0，得x=Tx=3,x和/W