2022年北京东城初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京东城初二（上）期末数学一、选择题（本题共10小题）1.在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（）A B. C. D.3.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.5.下列分式中是最简分式的是（）A. B. C. D.6.如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（）A.10° B.20° C.30° D.50°7.如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（）A. B.C. D.8.如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（）A.11 B.16 C.17 D.189.若运算结果中不含项和常数项，则m，n的值分别为（）A.， B.，C， D.，10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（）A.EF B.AB C.AC D.BC二、填空题（本题共8小题）11.分解因式：_______．12.当x______时，分式有意义.13.___．14.若一个正多边形的每一个外角都等于，则这个正多边形的边数为______________．15.如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为________．16.如图，BD，CE是等边三角形ABC中线，BD，CE交于点F，则______°．17.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．18.如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于_____秒时，与全等．三、解答题（本题共10小题）19.如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．（1）使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；（2）通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；（3）若，则周长为______．20.计算：．21.（1）已知：，求代数式的值．（2）先化简，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．22.解分式方程：．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．

（1）若与关于y轴对称，画出；（2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为______．24.如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．25.如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．（1）求证：；（2）若，求BE的长．26.列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？27.在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．（1）如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，将点到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为．即：如果，那么；如果，那么．例如：点的“相对轴距”．（1）点的“相对轴距”______；（2）请在图1中画出“相对轴距”与点的“相对轴距”相等的点组成的图形；（3）已知点，，，点M，N是内部（含边界）的任意两点．①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围；②将向左平移个单位得到，点与点为内部（含边界）的任意两点，并且点与点的“相对轴距”之比的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共10小题）1.在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2.肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.【详解】解：0.0000007=7×10−7.

故选C

.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可．【详解】解：A、a2、a4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解：A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B选项右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．5.下列分式中是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简分式的定义逐一判定即可解答.【详解】解:A.,故A不是;B.,B是最简分式;C.=,故C不是;D.=x+1,故D不是故答案为:B【点睛】本题考查最简分式，约分，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．6.如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（）A.10° B.20° C.30° D.50°【答案】B【解析】【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．7.如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是时，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．8.如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（）A.11 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，所以AB=AC=5，据此可计算出的周长．【详解】解：垂直平分AE，，，，，的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，故选：B．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9.若的运算结果中不含项和常数项，则m，n的值分别为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；【详解】解:==∵结果中不含项和常数项∴3-m=0，3n=0∴，故答案为D【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（）A.EF B.AB C.AC D.BC【答案】C【解析】【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可得BK+CK的最小值是的长．【详解】如图，连接，是AB的垂直平分线BK+CK当三点共线时，BK+CK取得最小值，则BK+CK的最小值是的长．故选C【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题（本题共8小题）11.分解因式：_______．【答案】b（a+2）（a-2）【解析】【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.【详解】.故答案为：b（a+2）（a-2）.【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.12.当x______时，分式有意义.【答案】≠【解析】【详解】试题分析：分式有意义的条件：分式的分母不为0时，分式才有意义.由题意得，．考点：分式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成.13.___．【答案】4【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：4故答案为：4．【点睛】本题考查了负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握其运算法则是解题关键．14.若一个正多边形的每一个外角都等于，则这个正多边形的边数为______________．【答案】6【解析】【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于60°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】解：∵360°÷60°=6，∴这个多边形为六边形，故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，关键是明确多边形的外角和为360°．15.如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为________．【答案】6【解析】【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】∵△ABD≌△ACE，∴，∵BC=12，BD=3，∴；故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．16.如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则______°．【答案】120【解析】【分析】等边三角形中线与角平分线合一，有，，由可求得结果．【详解】解：∵是等边三角形∴∵BD，CE是等边三角形ABC的中线∴又∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角度的计算．解题的关键在于熟练利用等边三角形三线合一的性质．17.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．【答案】【解析】【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【详解】解：由图可知，图1的面积为：x2−12，图2的面积为：（x＋1）（x−1），所以x2−1＝（x＋1）（x−1）．故答案为：x2−1＝（x＋1）（x−1）．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．18.如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于_____秒时，与全等．【答案】2或或12【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得CP=CO，然后分不同情况求解关于t的方程即可．【详解】解：∵△PEC≌△CFQ∴PC=CQ分以下五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥1，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠OCF，要使△PEC≌△CFQ，则需PC=CQ，∵PC=6-t,CQ=8-2t，∴6-t=8-2t，解得：t=2；②如图2，P在BC上，Q在AC上，∵PC=t-6,CQ=2t-8，∴t-6=2t-8，解得：t=2；③如图3:当P、Q都在AC上时，∵CP=6-t,CQ=2t-8，∴6-t=2t-8，解得：t=；④当Q到A点停止，P在BC上时，PC=AC=6，QC=t-6∴6=t-6，解得：t=12；⑤P和2都在BC上的情况不存在∵P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，∴P和Q都在BC上的情况不存在．故答案为:2或或12．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键．三、解答题（本题共10小题）19.如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．（1）使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；（2）通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；（3）若，则的周长为______．【答案】（1）见解析（2）垂直平分线；等腰（3）8【解析】【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定的形状；（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．【小问1详解】解：作图如下所示：【小问2详解】解：由（1）作图过程可知，DE垂直平分AB且AF=AH，即△AFH是等腰三角形．故答案为：垂直平分线，等腰．小问3详解】解：由（1）基本作图方法得出：DE垂直平分AB∴AF＝BF，∵AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得到AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解答本题关键．20.计算：．【答案】【解析】【分析】原式根据同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式除以单项式的运算法则计算出各项后再合并即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．21.（1）已知：，求代数式的值．（2）先化简，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．【答案】（1）13；（2），1【解析】【分析】(1)通过得出,化简原式,将代入即可．(2)化简原式,选择合适的值代入即可．【详解】（1）解：．∵，∴．∴原式．（2）解：．∵且，∴取代入上式，原式．【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.解分式方程：．【答案】【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x−5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：去分母，得．化简，得．解得．检验：把代入最简公分母．所以是原分式方程的解．【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．

（1）若与关于y轴对称，画出；（2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为______．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，先得到A、B、C关于y轴对称的对应点、、的坐标，然后在坐标系中描出、、三点，最后顺次连接、、三点即可得到答案；（2）作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】解：如图所示，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求，由图可知点P的坐标为（3，3）．

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特征，轴对称—最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键．24.如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．【答案】【解析】【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．【详解】解：∵AD是的高∴∵∴∵CE是的角平分线∴∵∴∴在中，．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．25.如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．（1）求证：；（2）若，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)利用是的外角,以及证明即可．(2)证明≌,可知,从而得出答案．【小问1详解】证明：∵是的外角，∴．又∵，∴．【小问2详解】解：在和中，，∴≌．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．26.列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？【答案】约1.5吨【解析】【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食亩产量约为x吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x吨由题意，得．解得．经检验，是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．27.在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．（1）如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）（2）或，见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．【小问1详解】解：，，∴∠B=∠ACB=45°，∵，∴，即∠BAD=∠CAE，∵，，∴△B