2022年北京二中初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京二中初二（上）期末数学考查目标：1.知识：八年级上册第十一章《三角形》、第十二章《全等三角形》、第十三章《轴对称》、第十四章《整式的乘法与因式分解》、第十五章《分式》．2.能力：几何直观能力，数学运算能力，阅读理解能力，逻辑推理能力，实际应用能力，数形结合能力．考生须知：1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共14页；其中第1卷3页，第Ⅱ卷5页，答题卡6页．全卷共三道大题，28道小题．2.本试卷满分100分，考试时间120分钟．3.在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．4.考试结束，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1.新型冠状病毒（2019-nCoV）通过突起接触人类细胞表面，与血管紧张转化酶作用钻入细胞内部，复制出更多的病毒RNA侵占人的肺部．某病毒研究所公布了它在电子显微镜下的图象，新型冠状病毒粒子形状并不规则，最大的直径约0.00022毫米．0.00022用科学记数法表示（）A.2.2×10-3 B.2.2×10-4 C.2.2×10-5 D.22×10-62.下列运算正确的是（）A B.C. D.3.下列分式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.4.若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（）A.4 B.6 C.8 D.105.若，，则（）A.11 B.18 C.29 D.546.如图，是中的角平分线，于点，，，那么的面积是（）A.10 B.12 C.16 D.247.一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（）A. B. C. D.8.根据下列已知条件，不能画出唯一的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，9.如果关于的分式方程无解，则的值为（）A.5 B.3 C.1 D.－110.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（每题2分，共16分）11.计算：__________．12.有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式值为0.请写出同时满足以上两个条件的一个分式__________．13.等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为__________．14.分解因式：__________．15.如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．16.如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是__________．17.在平面直角坐标系中，，，，，则点的坐标为__________．18.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是_______．三、解答题（共54分）19.计算：．20.解分式方程：．21.如图，在中，，．（1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中；求的度数．解：∵垂直平分线段，∴，（_________）（填推理依据）∴，（__________）（填推理依据）∵，∴，∵，∴__________，∴__________，∵平分，∴__________．22.先化简，再从－2，－1，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值．23.如图，是的中线，分别过点、作及其延长线的垂线，垂足分别为、．（1）求证：；（2）若的面积为8，的面积为6，求的面积．24.如图，是的平分线上一点，于，于，连接交于点，若．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段长．25.列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．26.在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．例：已知，求代数式的值．解：∵，∴即，∴．（1）请继续完成上面问题的求值过程；（2）请仿照上述方法解决问题：已知，求的值．27.已知：在中，，平分．延长到，使，为中点，连接，过作的平行线与延长线交于点，连接，交于点．（1）补全图形；（2）用等式表示线段，与的数量关系并证明；（3）若，用等式表示线段与的数量关系并证明．28.对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：线段上所有的点到轴的距离的最大值叫线段的界值，记作．如图，线段上所有的点到轴的最大距离是3，则线段的界值．（1）若A（-1，-2），B（2，0），线段的界值__________，线段关于直线对称后得到线段，线段的界值为__________；（2）若E（-1，m），F（2，m+2），线段关于直线对称后得到线段；①当时，用含的式子表示；②当时，值为__________；③当时，直接写出取值范围．

参考答案第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1.新型冠状病毒（2019-nCoV）通过突起接触人类细胞表面，与血管紧张转化酶作用钻入细胞内部，复制出更多的病毒RNA侵占人的肺部．某病毒研究所公布了它在电子显微镜下的图象，新型冠状病毒粒子形状并不规则，最大的直径约0.00022毫米．0.00022用科学记数法表示（）A.2.2×10-3 B.2.2×10-4 C.2.2×10-5 D.22×10-6【答案】B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00022=2.2×10-4

．故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】由同底数幂的除法运算可判断A，由同底数幂的乘法运算可判断B，由单项式乘以单项式可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案.【详解】解：故A不符合题意；故B不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，单项式乘以单项式，掌握幂的运算法则是解本题的关键.3.下列分式中，是最简分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，为最简分式，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．4.若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【分析】先根据多边形的外角和是360度求出多边形的内角和的度数，再依据多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：多边形内角和是：3×360=1080°．设多边形的边数是n，则（n-2）•180=1080，解得：n=8．即这个多边形的边数是8．故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．5.若，，则（）A.11 B.18 C.29 D.54【答案】D【分析】利用同底数幂以及幂的乘方的逆运算进行求解即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题主要是考查了同底数幂以及幂的乘方的逆运算，熟练掌握对应运算的计算法则，是求解该题的关键．6.如图，是中的角平分线，于点，，，那么的面积是（）A.10 B.12 C.16 D.24【答案】B【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作于点，是中的角平分线，于点，，，，的面积是，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．7.一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．【详解】由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；故选：A．【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．8.根据下列已知条件，不能画出唯一的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【分析】根据三角形存在的条件去判断．【详解】∵，，，满足ASA的要求，∴可以画出唯一的三角形，A不符合题意；∵，，，∠A不是AB，BC的夹角，∴可以画出多个三角形，B符合题意；∵，，，满足SAS的要求，∴可以画出唯一的三角形，C不符合题意；∵，，，AB最大，∴可以画出唯一的三角形，D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9.如果关于的分式方程无解，则的值为（）A.5 B.3 C.1 D.－1【答案】C【分析】先将分式方程化成整式方程，再根据分式方程无解可得，然后将代入整式方程求出的值即可得．【详解】解：，方程两边同乘以化成整式方程为，关于的分式方程无解，，即，将代入方程得：，解得，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程无解得出方程的增根是解题关键．10.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.【点睛】本题考查了三角形外角性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（每题2分，共16分）11.计算：__________．【答案】3【分析】根据实数的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的运算法则，掌握负整指数幂，零指数幂的运算性质是解本题的关键．12.有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0.请写出同时满足以上两个条件的一个分式__________．【答案】答案不唯一，【分析】当时，分式有意义，说明分母为x-1；当时，分式的值为0，说明分子为x+2，写出分式即可．【详解】∵时，分式有意义，∴分母为x-1；∵时，分式的值为0，∴分子为x+2，故分式为；故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逆用条件是解题的关键．13.等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为__________．【答案】7.5【分析】根据腰长是否为5，分两类情况进行求解即可．【详解】解：当腰长为5时，由周长可知：底边长为10，且故不满足三边关系，不成立，当腰长不为5时，则底边长为5，由周长可得：腰长为满足三边关系，故腰长为7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练根据腰长来进行分类讨论，这是解决本题的关键．14.分解因式：__________．【答案】【分析】先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15.如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为__________．【答案】2【分析】利用角平分线以及平行线的性质，得到和，利用等边对等角得到，，最后通过边与边之间的关系即可求解．【详解】解：如下图所示：、分别是与的角平分线，，，，故答案为：2．【点睛】本题主要是考查了等角对等边以及角平分线和平行的性质，熟练根据角平分线和平行线的性质，得到相等角，这是解决该题的关键．16.如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是__________．【答案】48【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME=MN，∴CM+MN=CM+ME=CE．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴，∴10CE=6×8，∴CE=4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使CM+MN最小时的动点M和N．17.在平面直角坐标系中，，，，，则点的坐标为__________．【答案】或##或【分析】按照在x轴的上下方，分成两类情况讨论，如解析中的图像所示，分别利用边和角证明和成立，然后根据对应边相等，即可求出两种情况对应的点B的坐标．【详解】解：如下图所示：由，可知：，．当B点在x轴下方时，过点B1向x轴作垂线，垂足为E．，在与中：，点坐标为当B点在x轴上方时，过点B2向x轴作垂线，垂足为D．由题意可知：在与中，点坐标为故答案为：或．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及坐标点的求解，熟练利用全等三角形证明边相等，进而利用边长求解点的坐标，这是解决该题的关键．18.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是_______．【答案】①③④【分析】①根据等边对等角，可得∠APO=∠ABO、∠DCO=∠DBO、则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，据此即可求解；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，，∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确；②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠0PE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，在△OPA和△CPE中，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；∴正确的结论有：①③④．故填：①③④．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题（共54分）19.计算：．【答案】【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：，，，【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确应用多项式的乘法法则及完全平方公式是解题的关键．20.解分式方程：．【答案】．【分析】先两边同乘以将方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．【详解】解：，方程两边同乘以，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，经检验，是分式方程的解，故原方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程需进行检验．21.如图，在中，，．（1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中；求的度数．解：∵垂直平分线段，∴，（_________）（填推理依据）∴，（__________）（填推理依据）∵，∴，∵，∴__________，∴__________，∵平分，∴__________．【答案】（1）①图见解析；②图见解析；（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，等边对等角，110，80，40．【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；②先连接，再根据角平分线的尺规作图即可得；（2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得．【详解】解：（1）①作边的垂直平分线交于点，交于点如图所示：②连接，作的平分线交于点如图所示：（2）∵垂直平分线段，∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∴，（等边对等角）∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键．22.先化简，再从－2，－1，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值．【答案】，【分析】先将分子分母因式分解，再进行计算，然后选择合适的数代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：不能取，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．23.如图，是的中线，分别过点、作及其延长线的垂线，垂足分别为、．（1）求证：；（2）若的面积为8，的面积为6，求的面积．【答案】（1）见解析（2）面积为20．【分析】（1）根据已知条件得到、，然后利用全等三角形的判定，进行证明即可．（2）分别根据和的面积，用CF表示AF、DF，通过，得到，，用CF表示出AE的长，最后利用面积公式求解即可．【小问1详解】（1）解：由题意可知：是的中线在与中．【小问2详解】解：的面积为8，的面积为6．，即，即由（1）可知：，．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练根据条件证明三角形全等，利用其性质，证明对应边相等，这是解决本题的关键．24.如图，是的平分线上一点，于，于，连接交于点，若．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）9【分析】（1）先根据角平分线的性质定理得到DE=CE,然后再根据HL证明Rt△ODE≌Rt△OCE可得OD=OC,然后根据顶角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明结论；（2）由（1）得Rt△ODE≌Rt△OCE可得∠EOA=∠EOB,进而求得∠EOD=30°，再根据直角三角形30°所对的边是斜边的一半，进而求得OE;再运用勾股定理求得OD,然后再求出DF，最后运用勾股定理．【小问1详解】证明：∵是的平分线上一点，于，于∴DE=CE在Rt△ODE和Rt△OCE中DE=EC,OE=OE∴Rt△ODE≌Rt△OCE∴OD=OD∵∴是等边三角形．【小问2详解】解：∵Rt△ODE≌Rt△OCE∴∠EOA=∠EOB∵∴2∠EOA=，即∠EOA=30°∵DE=6∴OE=12∴OD=∵∠EOA=30°∴DF=∴OF=．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解答本题的关键．25.列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．【答案】港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．根据“从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列方程，求解即可．【详解】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．依题意得：解得：．经检验：是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键是找出相等关系，根据相等关系列方程．26.在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．例：已知，求代数式的值．解：∵，∴即，∴．（1）请继续完成上面问题的求值过程；（2）请仿照上述方法解决问题：已知，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）按照材料的方法计算即可；【小问1详解】【小问2详解】∵∴∴∴∴【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据材料使用倒数法进行计算．27.已知：在中，，平分．延长到，使，为中点，连接，过作的平行线与延长线交于点，连接，交于点．（1）补全图形；（2）用等式表示线段，与的数量关系并证明；（3）若，用等式表示线段与的数量关系并证明．【答案】（1）见解析（2）AF=CD+DE，见解析；（3）CG=BD，见解析【分析】（1）根据题意不全图形即可；（2）根据“AAS”证明△AOF≌△COE即可；（3）连接CF，AE，先证明先证明AD=AE，再四边形AECF是平行四边形，然后证明，△ACD≌△FDC，可得∠CDG=∠DCG，然后可证结论成立．【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】AF=CD+DE，理由：∵AF//BC，∴∠CAF=∠ACE，∵中点，∴AO=CO．在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE．∵CE=CD+DE，∴AF=CD+DE；【小问3详解】CG=BD，理由：连接